1-й сем-ДМ-слайды-ДГТУ / Графы, л.5-7 / Вершинная К раскраска графа
.docРаскраска графа. Хроматические полиномы. Алгоритм раскраски.
Вершинная К раскраска графа-присвоения его вершинам К различных цветов. Никакие 2 не должны быть одного цвета.
-- правильная 3-раскраска
Хроматическое число Х(G) –минимальное число К, для которого G вершина К –раскрашиваемый Х(G)=К –граф –хроматический.
К - раскраска графа G=(V,E) порождает разбиения (V1, V2, V3, ) множества V, где каждое -подмножество вершин, которым присвоен цвет i –независимо множества.
Теорема
Простой граф G –() раскрашиваемый ( - максимальная степень в графе G)
Очевидно, что Х = () для полных графов и циклов нечётные длины. Для остальных графов Х
Хроматические полиномы
Две раскраски графа считаются различными, если хотя бы одной вершине присваиваются разные цвета.
Хроматические полиномы Р(G,) имеют значения для каждого целого , равное числу различных правильных раскрасок графа G. ()
Раскрасим любым цветом из в один из оставшихся -1 цветов. Для каждой раскраски существует -1 различных способов раскраски вершин С.
Итак, граф () можно раскрасить различными способами, то хроматический полином графа равен
Хроматический полином пути на n вершинах равен
Пример. Рассмотрим граф c вершинами V1,V2,V3…….При наличии цветов V1- в любой из них , V2--1, V3 --2 и т.д.
Путь U и V – несмежные вершины G.
Пусть е(U,V) ; Если G* е- простой граф, получен из G замыканием вершин U и V и заменой получившегося множества параллельных рёбер на 1 ребро, а G+е – граф полученный добавлением к G ребра е то Р(G,)= Р(G+е, )+Р(G* е, )
Следствие
Если е(U,V)- ребро простого графа G, то Р(G,)= Р(G+е, )- Р(G* е, ) , где G-е – получается из G удаления ребра е , а G* е – замыканием вершин U и V
Если мы имеем полные графы : H1, Н2, Н3…. поэтому Р(G,)=Р(Н1, )+Р(Н2, )+….Р(,)
Итак, хроматический полином – линейная комбинация хроматических полиномов пустых графов.
Теорема
Хроматический полином. Р(G,) графа G на вершинах имеет степень n с главным членом
и const.=0 Все коэффициенты целые и чередуются …….
Пусть граф G с n вершинами и m рёбрами. е – ребро G .Тогда G- е -граф на n вершинах с m-1 рёбрами , а G* е - граф на n-1 вершинах с m-1 или менее рёбрами.
Оценки:
Нижние:
Верхние оценки:
Алгоритм раскраски
Пусть множество вершин упорядочено и -я вершина этого множества
-
окрасить в цвет 1
-
Каждую из оставшихся вершин окрасить : в цвет с наименьшим возможным номером ( не используя при окраске вершин смежной с .
Если граф G –К –раскрашиваемый , но не является (К-1)раскрашиваемым , а число К- хроматическое число графа G, обозначим Х(G)
4-хроматический граф, цвета ()
Теорема
Если наибольшая из степеней вершин графа G равна Р , то этот граф -раскрашиваемый.
Теорема Брукса
Пусть наибольшая из степеней вершин графа равна Р. Тогда G-P- раскрашиваемый, за исключением тех случаев ,когда
-
G содержит в качестве компонента граф или
-
Р=2 и цикл нечётной длинны является компонентой G
- полный граф степени Р+1
Теорема
Любой планарный граф G – раскрашиваемый.
Теорема
Каждый планарный граф 5 раскрашиваемый.
Гипотеза 4-х красок
Всякий планарный граф 4-раскрашиваемый.
-
Всякий планарный граф, имеющий менее 52 вершин -4раскрашиваемый
-
Любой, не содержащий треугольников планарный граф 3-раскрашиваемый
-
Гипотеза 4-х красок верна для гамильтоновых планарных графов.
Карта- связный плоский граф без мостов.
- 3-раскрашиваемый и вершинно 4-х раскрашиваемый
Всякая карта -4-х раскрашиваемая
Теорема
Карта G -2-х – раскрашиваемая тогда и только тогда , когда G – эйлеров граф.
Теорема Визинга
Пусть G –простой граф, а V и W – его несмежные вершины. Пусть граф получается из G путём соединения ребром вершин V и W, а граф -путём отождествления вершин V и W( и кратных рёбер , если они при этом получаются)Тогда
Дан граф
Многочлен имеет вид:
(а, в, с –положительный const.)
Пример.
=
+
Итак,
=
+
=
+
+
+
=
+
+2
+
Итак, (К)=К (К-1)(К-2)(К-3)(К-4)+3К (К-1)(К-2)(К-3)+2К (К-1)(К-2)=К (К-1)(К-2)=
Хроматический полином Р (G,) имеет значение для каждого целого , равное числу различных правильных -раскрасок графа G. Рассмотрим граф
Среди данных цветов мы можем выбрать любой для раскраски вершин а. Вершину b можно раскрасить в один из оставшихся -1 цветов. Для каждой раскраски вершины b существует -1 различных способов раскраски вершины С. Итак, данный граф можно раскрасить различными способами. Хроматический полином графа равен .Повторяя эти рассуждения , получим, что хроматический полином пути на n вершинах равен
Другим важным крайним случаем является полный граф , имеющий n вершин. При ….
цветов вершину можно раскрасить в любой из них, -в любой из оставшихся -1 цветов, вершину -в любой из оставшихся -2 цветов. Итак, Р ()= (-1), и (-n+1)
Выведем формулу для определения хроматического полинома графа G.
Теорема 7
Пусть U и V – несмежные вершины простого (без петель и циклов) графа G. Пусть е=(U,V)
Если G*e – простой граф полученный из графа G замыканием вершин U и V и заменой получившегося множества параллельным ребёр на одно ребро, а G+e – граф, полученный добавлением к графу G ребра е , то Р(G,)=Р(G+е, )+Р(G*e, ).
Док-во:
Любая - раскраска графа G , в которой вершинам U и V присваиваются различные цвета , соответствует -раскраска графа G+e , и наоборот .Аналогично, любая -раскраска графа G , в которой U и V присвоен 1 цвет, соответствует -раскраска графа G*e , и наоборот .
Следовательно, Р(G, )=Р(G+е, )+Р(G*e, ).
Можно сформулировать следствие
Если е=(U,V) –ребро простого графа G, то Р (G, )=Р(G-е, )+Р(G*e, ), где G-е получается из G удалением ребра е, а G*e определяется в теореме.
Если повторно применить формулу, приведённую в теореме 7 к графу G, то процесс закончится полных графах, например,поэтому Р(G, )=
С другой стороны, если использовать формулу следствия , то процесс закончится на пустых графах (без ребер), поэтому хроматический полином- линейная комбинация хроматических полиномов пустых графов.
Хроматический полином пустого графа на n вершинах
Следствие. Хроматические функции простого графа представляет собой многочлен.
Док - во: Повторим процедуру, описанную в теореме 7, выбирая несмежные вершины в G1 и в G2 и соединяя и отождествляя их, в результате получим 4 новых графа. Процесс заканчивается, когда каждый граф – полный. Итак, хроматическая функция графа G является суммой многочленов и поэтому сама должна быть многочленом.
- хроматический многочлен графа G.
Если G имеет n вершин, то степень равен n , т.к. на каждом шаге не возникает новых вершин, т.к. G –полный граф с n вершинами , то коэффициент при =1
Коэффициент при равен m , где m число рёбер в G. Знаки коэффициентов чередуются .Постоянный член хроматического многочлена равен 0 , т.к. если нет красок , то нельзя раскрасить граф.
Пример 1
=
+
=
+
+
Р=(-1)( -2)( -3)+2 (-1)( -2) + (-1) + (-1)=
(-1)= (-1)
=
+
=
+
+
+
=
+
+2
++
P(G)=К(К-1)(К-2)(К-3)(К-4)+3К(К-1)(К-2)(К-3)+2К(К-1)(К-2)= =
G- 3-хроматический граф.
Связь с задачей раскраски
Пусть нужно выбрать время проведения лекций по различным предметам с учетом того , что студенты желают посещать и те и другие. Строим граф. Вершины его- лекции по различным предметам , а рёбра соединяют те пары лекций, которые не должны назначаться на 1 время. Если каждому предмету для лекции времени сопоставить некоторый цвет, то раскраски- правильное расписание. Хроматический многочлен покажет, можно ли составить расписание требуемым образом , если да, то сколькими способами.
Пример
=
+=
+2
+=+3+На некотором шаге выбираем 2 вершины U,Vn: