•Пример 11. Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 7 защитников и 10 нападающих. Сколькими способами тренер может образовать стартовую шестерку, состоящую из вратаря, двух защитников и трех нападающих?
•Вратаря можно выбрать способами, защитников
способом, нападающих
способами. Всего, по правилу произведения, существует 2 · 21 · 120 = 5040 способов выбора стартовой шестерки.
• Ответ: 5040.
•Пример 12. На плоскости проведены n прямых, среди которых нет ни одной пары параллельных прямых и ни одной тройки прямых, пересекающихся в одной точке. Найти число точек пересечения этих прямых и число треугольников, образованных этими прямыми.
•Число точек пересечения прямых равно числу способов выбора
неупорядоченной пары прямых, т.е. . Аналогично, каждый треугольник определяется тройкой прямых, поэтому общее число треугольников равно .
•Ответ: и .
•Пример 13. Для проведения письменного экзамена по комбинаторике надо составить 4 варианта по 7 задач в каждом. Сколькими способами можно разбить 28 задач на 4 варианта?
C77
•Задачи для первого варианта |
|
можно выбрать28 |
способами. |
C7 |
|
После этого останется 21 задача, |
||
так что второй вариант можно |
||
|
|
C7 |
составить |
|
21 |
способами. Для |
||
третьего варианта задачи можно |
||
|
C7 |
|
|
14 |
а для |
выбрать способами,7 |
||
|
C7 |
|
четвертого - |
= 1 способом. |
|
•По правилу произведения |
|||||
получаем21число |
|
. Но |
|||
C287 C7 C7 |
C7 |
|
|
||
14 |
14 |
|
|
||
так как варианты равноправны, то |
|||||
полученное число надо разделить |
|||||
на 4! 4!1 C287 C217 |
C147 C147 |
4!(7!)4 . |
|||
|
|
|
|
28! |
|
•Ответ: |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||
•Свойства чиселCnk |
: |
||
•1°. n |
n |
, если 0≤к≤n; |
|
Ck Cn k |
|
, если 0≤к≤n+1; |
|
•2°. n 1 |
n |
n |
|
Ck 1 |
Ck 1 |
Ck |
|
•3°.Cn0 Cn1 Cn2 ... Cnn 2n.
•Свойство 1°
Cnn k |
n! |
|
|
|
n! |
Cnk |
||
|
|
|
|
|
||||
(n k)!(n |
(n k))! |
(n k)!k! |
||||||
|
|
|
||||||
•Свойство 2°
k 1 |
k |
|
n! |
|
|
n! |
|
||||
Cn |
Cn |
|
|
|
|
|
|
|
|||
(n k )!(n k 1)! |
k!(n k )! |
|
|||||||||
|
n!((n k ) (k 1)) |
|
(n 1)! |
|
|
k 1 |
, |
||||
|
|
|
|
Cn 1 |
|||||||
(k 1)!(n k )! |
(k 1)!(n k )! |
||||||||||
• |
C0 C1 1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
C20 C22 1, |
C21 C10 C11 2, |
||
C30 C33 1, |
C31 C20 C21 3, |
C32 C21 C22 3, |
|
С40 С44 1, C41 C30 C31 4, C42 C31 C32 6, C43 C32 C33 4