§ 1. Примеры комбинаторных задач и общие принципы комбинаторики

•Составление слова из восьми букв можно представить как заполнение буквами клеток следующей таблицы:

•На первое место можно поставить любую из восьми букв, на второе - любую из семи оставшихся и т.д. вплоть до заполнения единственным способом клетки № 8 последней оставшейся буквой. Число способов заполнения таблицы будет равно 8·7·6·5·4·3·2·1=8!

•Напомним, что символом п! (читается «эн факториал») обозначается произведение всех натуральных чисел от 1 до п: n!=1·2·...·(n-1)·n.

•Ответ: n!= 1 • 2 • ...• (n -1) • п.

•Пусть множество А ={a1,...,ат} состоит из т элементов, а множество В = {b1,...,bn} - из n элементов. Рассмотрим множество, состоящее из всевозможных упорядоченных пар (а,b), где элемент а принадлежит множеству А, а элемент b принадлежит множеству В (такое множество называется декартовым произведением множеств А и В и обозначается A×В). Иными словами, рассматривается множество, элементами которого являются

•«карточки» вида а b

•Слово «упорядоченные» в определении А×В особенно важно, когда в А и В есть одинаковые элементы. Например, если А = В = {a,б,...,я}

•— русский алфавит, то элементы А×В можно считать словами, а ax и xa - разные слова!

•Правило произведения: множество A×В содержит тn

элементов.

•

Доказательство этого утверждения почти очевидно, т.к. все элементы-карточки можно расположить в виде прямоугольной таблицы, в которой т строк и n столбцов.

•Множество А×В×С, состоящее из упорядоченных троек, содержит тnр элементов (р - число элементов в множестве С). Действительно, карточек вида abc1 столько, сколько элементов в А×В, т.е. тn, столько же карточек вида abc2 и т.д. В этом случае А× В×С можно представить в виде прямоугольного параллелепипеда.

•Множество А1×А2×...×Ар состоит элементов, где n1- число элементов в А1, n2 - в А2 и т.д. Доказывается это утверждение индукцией по р аналогично рассмотренному выше переходу от p=2 к p=3.

•Пусть объект а1 можно выбрать n1, различными способами, после каждого выбора объекта а1 объект а2 можно выбрать n2 различными способами,..., после каждого выбора объектов а1, а2,..., аp-1 объект аp можно выбрать nр различными способами. Тогда количество способов, которыми можно выбрать а1, а2, ..., аp

равно n1n2...np.

•Доказательство: если Ак - множество состояний, из которых выбирается объект ак, то nк - число элементов множества Ак (k=1,2,...,р), и мы получаем известную нам формулировку правила умножения.

•Пусть а1 - первая буква слова, тогда ее можно выбрать 8 способами, т.е. n1 = 8; вторую букву а2 можно выбрать 7 способами, т.е. n2 = 7 и т.д. По правилу умножения число всех комбинаций равно

8·7·. .. ·2·1.

•Пример 2. Сколько четырехбуквенных «слов» можно составить из карточек «в», «е», «ч», «н», «о», «с», «т», «ь»?

•Пусть ак - к -я буква слова (к =1,2,3,4). Тогда n1 = 8,n2 = 7, n3=6, nА = 5 и по правилу произведения сразу получаем ответ:

8·7·6·5 = 1680.

•Ответ: 1680.