Копия ДГТУ_1_курс / Математика / 1 семестр 2011-2012 / Белушкина / К.р.МЗД11,МЗДS11

Задания к контрольной работе для студентов-заочников

групп МЗД11 и МЗДS11

по курсу «Математика»

1. Линейная алгебра.

Задание 1. Найти произведения матриц и .

1.1 ; . 1.2 ; .

1.3 ; . 1.4 ; .

1.5 ; . 1.6 ; .

1.7 ; . 1.8 ; .

1.9 ; . 1.10 ; .

Задание 2. Решить по формулам Крамера систему линейных уравнений, расширенная матрица которой имеет вид:

2.1 2.2 2.3

2.4 2.5 2.6

2.7 2.8 2.9

2.10

Задание 3. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений, расширенная матрица которой имеет вид:

3.1 3.2 3.3

3.4 3.5 3.6

3.7 3.8 3.9

3.10

II. Теория вероятностей и математическая статистика.

Задание 4. В партии из n изделий m бракованных. Из партии для контроля выбирают k изделий. Найти вероятность того, что все выбранные изделия не бракованные.

4.1 n=30, m=5, k=4.

4.2 n=25, m=3, k=5.

4.3 n=20, m=2, k=3.

4.4 n=30, m=4, k=5.

4.5 n=20, m=4, k=5.

4.6 n=35, m=6, k=5.

4.7 n=25, m=4, k=2.

4.8 n=24, m=4, k=3.

4.9 n=30, m=6, k=3.

4.10 n=26, m=3, k=4.

Задание 5. В первой урне n₁ белых и n₂ черных шаров, а во второй урне m₁ белых и m₂ черных шаров. Из каждой урны удалили по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью урну. Найти вероятность того, что случайно выбранный из третьей урны шар окажется белым.

1. n₁=2, n₂=8, m₁=5, m₂=3.

5.2 n₁=4, n₂=6, m₁=3, m₂=7.

5.3 n₁=5, n₂=5, m₁=4, m₂=6.

5.4 n₁=7, n₂=3, m₁=6, m₂=2.

5.5 n₁=6, n₂=4, m₁=5, m₂=4.

5.6 n₁=3, n₂=7, m₁=4, m₂=4.

5.7 n₁=8, n₂=2, m₁=2, m₂=6.

5.8 n₁=1, n₂=9, m₁=5, m₂=5.

5.9 n₁=2, n₂=8, m₁=2, m₂=4.

5.10 n₁=5, n₂=6, m₁=2, m₂=8.

Задание 6. По выборке объема n=50 составлен вариационный ряд. Найти: а) частоту n₃; б) среднюю выборочную ; в) исправленную дисперсию ; г) стандартное отклонение ; д) начертить полигон частот.

xi	2	5	6	10	12	13
ni	4	7	n3	15	10	3

6.1

xi	-1	0	3	6	9	11
ni	3	9	n3	11	8	5

6.2

6.3

xi	-6	-3	-2	1	5	12
ni	2	8	n3	13	8	4

6.4

xi	1	4	5	8	12	16
ni	9	5	n3	3	7	10

6.5

xi	-4	-2	-1	6	8	15
ni	4	10	n3	1	9	6

6.6

xi	-2	0	2	7	10	13
ni	11	9	n3	6	5	4

6.7

xi	-10	-5	-3	0	4	10
ni	3	10	n3	11	8	6

6.8

xi	4	5	7	10	14	17
ni	10	11	n3	11	8	3

6.9

xi	-1	2	3	6	11	14
ni	3	12	n3	4	10	5

6.10

xi	-7	-3	-1	6	10	12
ni	5	9	n3	15	8	4

Образец решения задач контрольной работы.

Задание 1. Найти произведения матриц и .

; .

Решение. Каждый элемент матрицы С =вычисляется по формуле:

,

где – элементы -ой строки матрицы А,

– элементы -ого столбца матрицы В. Вычислим все элементы матрицы С по этому правилу:

.

.

По этому же правилу вычислим все элементы матрицы :

.

Задание 2. Решить по формулам Крамера систему линейных уравнений, расширенная матрица которой имеет вид:

Решение. Если выполняется условие: , то неизвестные вычисляются по формулам Крамера:

где: – определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, – определитель, в котором столбец с номером заменен столбцом свободных членов. Вычислим эти определители:

= = =

= 4-23+39 = 20;

= ==

=-4-40+84=40;

== == -80-46+186 = 60;

== = =56-62+26 = 20;

Задание 3. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений, расширенная матрица которой имеет вид:

Решение. Расширенную матрицу системы с помощью элементарных преобразований приведем к треугольному виду. Преобразования обозначать будем так: – означает, что к строке №2 прибавили строку №1, умноженную на 3.

~ ~~~

~.

Проведем обратный ход метода Гаусса, чтобы матрица системы стала единичной:

~ ~

Сделаем проверку, подставив найденные значения неизвестных в каждое уравнение системы. Получим:

Проверка выполнена, решение системы вычислено верно.

Задание 4. В партии из 30 изделий 2 бракованных. Из партии для контроля выбирают 6 изделий. Найти вероятность того, что все выбранные изделия не бракованные.

Решение. Обозначим событие А – «все выбранные изделия не бракованные». Вероятность этого события вычислим по формуле классической вероятности: где N – количество всех возможных исходов опыта, а M – количество исходов опыта, благоприятствующих событию А.

Количество не бракованных изделий равно: 20 – 2 = 18. Тогда:

Задание 5. В первой урне 5 белых и 3 черных шара, а во второй урне 6 белых и 4 черных шара. Из каждой урны удалили по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью урну. Найти вероятность того, что случайно выбранный из третьей урны шар окажется белым.

Решение. В этой задаче опыт производится в два этапа: сначала шары удаляются из урн и ссыпаются в третью урну, а потом из третьей урны берется один шар. Такие задачи решают с помощью формулы полной вероятности:

.

В первой урне 5 + 3 = 8 шаров; во второй: 6 + 4 = 10 шаров.

1. Сформулируем гипотезы:

Н₁: из первой урны удалили белый шар, из второй – белый;

Н₂: из первой урны удалили белый шар, из второй – черный;

Н₃: из первой урны удалили черный шар, из второй – белый;

Н₄: из первой урны удалили черный шар, из второй – черный;

Проверка: .

2. Событие А – из третьей урны взят белый шар. В первой урне осталось 8 – 1 = 7 шаров, во второй: 10 – 1 =9 шаров. В третью урну ссыпали 7+9 = 16 шаров. Найдем условные вероятности:

; .

По формуле полной вероятности:

Задание 6. По выборке объема n=50 составлен вариационный ряд. Найти: а) частоту n₃; б) среднюю выборочную ; в) исправленную дисперсию ; г) стандартное отклонение ; д) начертить полигон частот.

xi	6	8	12	13	17
ni	11	9	n3	12	10

Решение. а). Сумма всех частот равна объему выборки: , то есть 50 = 11 + 9+ +n₃+ 12+10, поэтому n₃= 50 - (11+9+12+10) = 8;

б) средняя выборочная находится по формуле: ;

== 11.2;

в) исправленная дисперсия находится по формуле: ;

=

==

г) стандартное отклонение находится по формуле: = = ;

д) начертить полигон частот.