lab_mehanika_1 / Лаб.раб.№7-колеб

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ФИЗИКИ

Исследование собственных колебаний струны методом резонанса

Методические указания к лабораторной работе № 7

(раздел «Механика»)

Ростов-на-Дону 2010

Составители: С.М. Максимов, А.Я. Шполянский, Н.В. Пруцакова

УДК 530.1

Исследование собственных колебаний струны методом резонанса: Метод. указания. - Ростов н/Д: Издатель­ский центр ДГТУ, 2010. - 10 с.

Указания содержат краткую теорию по стоячим волнам и колебаниям струны и порядок выполнения лабораторной работы.

Методические указания предназначены для выполнения лабораторной работы студентами всех форм обучения в лабораторном практикуме по физике (раздел «Механика»).

Печатается по решению методической комиссии факультета «Н и КМ»

Научный редактор проф., д.т.н. В.С. Кунаков

© С.М. Максимов, А.Я. Шполянский, Н.В. Пруцакова, 2010

© Издательский центр ДГТУ, 2010

Лабораторная работа № 7

Цели работы: получение на вертикальной струне стоячих волн, наблюдение картины распределения амплитуд и количественная проверка формулы для частот собственных колебаний струны.

Стоячие волны

Две когерентные и одинаковые по интенсивности волны, распространяющиеся навстречу друг другу, при определенных условиях могут создавать особого вида интерференционную картину, получившую название стоячих волн.

Интерференция – сложение в пространстве двух (или нескольких) волн, при котором в разных точках пространства происходит усиление или ослабление амплитуды результирующей волны. Интерференция возможна только для когерентных волн.

Когерентность – согласованное во времени и пространстве протекание колебательных или волновых процессов.

Стоячая волна представляет собой периодическое колебание с характерным пространственным распределением амплитуды – чередованием пучностей (максимумов амплитуды) и узлов (нулей амплитуды). Такая картина может возникать всякий раз, когда волна падает на хорошо отражающую преграду. Когерентность обеспечивается тем, что обе волны представляют собой раннюю и позднюю части одной и той же волны. Стоячие волны могут устанавливаться только при отсутствии затухания в среде и при полном отражении от границ.

Найдем уравнение стоячей волны, а также координаты ее узлов и пучностей. Пусть стоячая волна возникла при наложении двух встречных бегущих волн с одинаковыми скоростями , циклическими частотами и амплитудам Уравнения волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х, и волны, распространяющейся ей навстречу, имеют вид:

;

здесь и - смещения точки среды с координатой х в момент времени t, вызванные соответственно падающей и встречной волной.

Сложив уравнения и учитывая, что волновое число k связано с длиной волны : , получим уравнение стоячей волны:

. (1)

Из (1) видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания с той же частотой , что и у встречных волн, но с амплитудой, зависящей от координаты х рассматриваемой точки.

В пучностях амплитуда стоячей волны максимальна и равна сумме амплитуд складываемых колебаний , поэтому координаты пучностей определим из условия:

. (2)

В узлах амплитуда стоячей волны равна нулю, и координаты узлов определим из условия:

(3)

То есть в стоячей волне некоторые точки среды (пучности) колеблются с максимальной амплитудой, а некоторые точки (узлы) остаются неподвижными в течение всего колебательного процесса; остальные точки среды совершают колебания с некоторыми промежуточными амплитудами.

Можно видеть, что расстояние между соседними пучностями, как и расстояние между соседними узлами, равно . Расстояние между соседними пучностью и узлом равно (рис.1).

Множитель в уравнении стоячей волны при переходе через узел меняет знак, поэтому между двумя соседними узлами все точки среды колеблются синфазно, при переходе же через узел фаза изменяется на , то есть колебания по разные стороны от узла (в пределах полуволны) происходят в противофазе (рис.1).

Будет ли на границе отражения узел или пучность, зависит от соотношения плотностей сред. Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то в месте отражения возникает пучность (рис.1,а), если более плотная – узел (рис.1,б).

Отражаясь от более плотной среды, волна меняет свою фазу на противоположную и результат сложения этих колебаний дает узел (пример: в месте закрепления колеблющейся веревки получается узел). Этот факт принято называть «потерей полуволны».

Рис. 1. График стоячей волны. На рисунке: – амплитуда стоячей волны, - длина волны, х – направление распространения.

Отражаясь от менее плотной среды, волна не меняет фазы в месте отражения, поэтому потери полуволны не происходит; фазы падающей и отраженной волн одинаковы. В этом случае в результате сложения колебаний одинаковых фаз получается пучность (пример: свободный конец колеблющейся веревки образует пучность).

Как известно, бегущая волна в направлении ее движения переносит энергию колебательного движения. Стоячая волна энергию не переносит, поскольку падающая и отраженная волны, имея одинаковые амплитуды, несут одинаковую энергию, но в противоположных направлениях. Поэтому полная энергия результирующей стоячей волны, заключенной между узловыми точками, с течением времени остается неизменной. Только в пределах расстояний, равных половине длины волны, происходят взаимные превращения кинетической энергии в потенциальную и наоборот.

Колебания струны

В натянутой струне, закрепленной с обоих концов, при возбуждении произвольного поперечного возмущения может возникать стоячая волна. При этом на закрепленных концах струны должны выполняться определенные граничные условия: концы струны должны быть узлами стоячей волны. Это означает, что на длине струны укладывается целое число полуволн (рис. 2). Отсюда вытекает условие:

(4)

или

Этим длинам волн соответствуют частоты

(5)

где - фазовая скорость распространения бегущей волны в струне, которая может быть вычислена как

. (6)

Здесь - сила натяжения струны; - линейная плотность струны, то есть масса единицы длины струны, вычисляется через объемную плотность струны по формуле:; - площадь поперечного сечения струны. Таким образом, фазовая скорость бегущей волны вычисляется по формуле

(7)

и выражение для частоты стоячей волны приобретает вид

. (8)

Частоты называются собственными частотами струны, а соответствующие им гармонические колебания – собственными колебаниями, или гармониками. Частота называется основной частотой, а остальные частоты – обертонами.

Рис. 2. Распределение амплитуд отдельных точек струны при собственных колебаниях струны для различных значений .

В общем случае колебания струны представляют собой суперпозицию (наложение) различных гармоник. В струне можно возбудить колебания, соответствующие одной из собственных частот. В этом случае мы будем иметь условие резонанса струны.

Приборы и принадлежности: вертикальная стойка со струной, электромагнитный вибратор, источник напряжения, разновесы.

В работе исследуются колебания натянутой медной струны (гибкой однородной нити). Схема экспериментальной установки представлена на рис. 3. Внешнее периодическое воздействие на струну 1 осуществляется в верхней ее точке, где конец струны прикреплен к якорю электромагнитного вибратора 2. Электромагнитный вибратор питается от сети переменным током частотой 50 Гц. К нижнему концу струны прикреплена чашка весов 4, а сама струна пропущена через отверстие малого диаметра в пластинке 3, которая может перемещаться вверх-вниз вдоль стойки.

Если нагрузить чашку весов гирьками и включить в сеть электромагнитный вибратор, то якорь электромагнита начнет совершать колебания с частотой тока сети, и по струне будут распространяться поперечные волны, которые, отражаясь от пластинки 3, образуют встречные волны. При наложении прямой и обратной волны образуются стоячие волны, если выполняется условие:

Подбирая длину струны и степень ее натяжения, можно наблюдать образование стоячей волны в струне. Длину струны с установившейся стоячей волной изменяют перемещением вверх-вниз пластинки 3. Силу натяжения F струны изменяют, меняя гирьки в чашке весов 4 (рис. 3).

Рис. 3. Схема экспериментальной установки: 1 – струна, 2 – электро-магнитный вибратор, 3 – отражающая пластина, 4 - чашка весов.

Как видно из рисунка 3, в данной работе сила натяжения струны равна силе тяжести, действующей на чашку весов с грузом. То есть в формуле (8) , где - масса чашки грузом; , - масса чашки, - масса груза.

Таким образом, окончательно расчетная формула для частоты стоячей волны приобретает вид

. (9)

Измерения

1. Включить питание электромагнитного вибратора.

2. Нагрузить струну () и, изменяя длину струны, добиться устойчивых стоячих волн.

3. Изменяя длину струны, измерить координаты первого, второго и третьего узлов стоячей волны - , и .

4. Повторить эти измерения для четырех других значений , увеличивая через 50 г.

5. Для каждой серии опытов по формуле (4) найти длины волн , а также среднюю длину волны , ее среднюю абсолютную погрешностьи относительную погрешность , где

. (10)

6. Для каждой серии опытов, используя среднее значение длины волны , определить частоту колебаний по формуле (9).

7. По формулам (11) и (12) для каждой из этих частот вычислить относительные и абсолютные погрешности:

(11)

. (12)

№

m

l1

λ1

l2

λ2

l3

λ3

ν

Δν

-

м2

кг

м

м

м

м

м

м

м

м

м

м

м

%

с-1

%

с-1

1

2

3

4

5

Таблица

* Значения S и указаны на установке.

Контрольные вопросы

1. Что такое интерференция волн?

2. Как возникают стоячие волны?

3. Какие точки стоячей волны называют узлами? Пучностями?

4. Каковы координаты узлов и пучностей стоячей волны?

5. Переносят ли стоячие волны энергию?

6. По какой формуле находят собственные частоты колебаний струны?

7. Как получить условие резонанса струны?

Рекомендуемая литература

1. Трофимова Т.И. Курс физики. - М.: Высш. школа, 2001.

2. Савельев И.В. Курс общей физики. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. – СПб.: Лань, 2006.

3. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. - М.: Академия, 2008.

11