Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донской Государственный Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика конс.2 семестр

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.05.2015

Размер:

575.67 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

t∂xij (a) X

спостоянными коэффициентами. Решение последней находится по формуле Коши.∂

ТЕОРЕМА Пусть x ≡ a - положение равновесия НСОДУ X ′ = F (t, x) , то естьF (t, a) ≡ 0
0					t
					t
1) (теорема Ляпунова) Если линеаризация в окрестности этого положения имеет
	∂fi					F (t, x) −B X


постоянную матрицу коэффициентов B :=			(t, a)	≡const	и lim		= 0	,
постоянную матрицу коэффициентов B :=			(t, a)	≡const	и lim		= 0	,
	∂x				X →A	ρ( x, a)
	∂x	j			X →A	ρ( x, a)
		j

где F (t, x) непрерывна в цилиндрической области G :={(t, x) : t ≥t0 , ρ( x, a) <ε}, то:

а) если все собственные числа матрицы B имеют отрицательные вещественные части, то положение равновесия a асимптотически устойчиво;

б) если хотя бы одно собственное число имеет положительную вещественную часть, то положение равновесия a неустойчиво.

2) (лемма Ляпунова) Пусть НСОДУ X ′ = F (t, x) удовлетворяет условиям теоремы

существования и единственности в "трубе" G :={(t, x) : t ≥t0 , ρ( x, a) <ε}. Пусть на шаре

n	: ρ( x, a) <ε} существует непрерывно дифференцируемая функция Ляпу
D(a, ε) :={x R
	n	∂v
нова v( x) со свойством: x D(a, ε) \ {a} v( x) >0, v(a) =0, (t, x) G ∑		∂v	fi (t, x) ≤0 .
		∂x	fi (t, x) ≤0 .
	i=1	i

Тогда a есть устойчивое положение равновесия.

Ортогональные системы функций и ряды Фурье

Опр. Внешней мерой Лебега множества S (−∞, +∞) называется точная нижняя грань

µ (S ) сумм длин конечного или счетного множества интервалов, покрывающих S

Пр. µ (Q∩(α, β)) = 0 .

Опр. Внутренней мерой Лебега множества S (α, β) называется число

µ (S ) :=β−α−µ ((α, β) \ S ) .

Пр. µ (I∩(α, β)) :=β−α−µ (Q∩(α, β)) =β−α,

Опр. Ограниченное множествоS называется измеримым (по Лебегу), если µ (S ) = µ (S )

В этом случае мерой Лебега множества S называется число µ(S ) :=µ (S ) =µ (S ) . Опр. Свойство выполняется почти всюду на множестве, если оно выполняется во

всех точках этого множества за исключением подмножества точек меры 0. Опр. Функция f ( x) на отрезке [α, β] , называется измеримой, если она конечна почти

всюду на [α, β] и c R измеримо множество {x [α, β] : f ( x) ≤c}.

Пр. Непрерывная на [α, β] функция измерима.

Опр. Эквивалентные функции - измеримые функции, которые совпадают почти всюду ЗАМЕЧАНИЕ (свойства измеримых функций) 1) Если функция f ( x) измерима, то измерима и функция | f ( x) | . Обратное, вообще говоря, неверно, как показывает пример функции 2 f A ( x) − 1.

2) Если функции f , f		измеримы, то измеримы функции a f +b f			,	f	f		,	f1	, причем в
	2			2				2
1			1			1				f2

последнем случае предполагается, что x [α, β] f2 ( x) ≠ 0 .
3) Пусть последовательность измеримых на [α, β] функций			fk ( x) сходится почти всюду
к почти всюду конечной на [α, β] функции f ( x) . Тогда f ( x)			измерима на [α, β] и ε> 0

f ( x) , а сама функция – суммируемой

найдется измеримое подмножество Eε с мерой µ(Eε ) ≥β−α−ε, на котором { fk ( x)} сходится к f ( x) равномерно (теорема Егорова).

4) (теорема Лебега) Если последовательность измеримых на [α, β] функций fk ( x) схо дится почти всюду к почти всюду конечной на [α, β] функции f ( x) , то она сходится к

f ( x) по мере: ε>0 lim µ {x :	f		( x) − f ( x)	≥ε			= 0 . Обратное, вообще говоря, не верно.
f ( x) по мере: ε>0 lim µ {x :	f		( x) − f ( x)	≥ε			= 0 . Обратное, вообще говоря, не верно.
k→∞ (		k				)
k→∞ (		k				)
(теорема Рисса) Если последовательность измеримых функций								fk ( x) сходится к f ( x)
по мере, то {kn } подпоследовательность { fk					n	( x)} сходится к f ( x)		почти всюду на [α, β]
					n

5) Измеримая функция совпадает почти всюду с пределом некоторой последовательно

сти многочленов (теорема Фреше).
	_____
Опр. Пусть f ( x) измерима и ограничена на [α, β] , A := inf			f ( x) , B := sup f ( x) . Разобьем
	[α ,β ]		[α ,β ]
			[α ,β ]
отрезок [ A, B] точками T :={yk	: A =: y0 <... < yn := B} и обозначим измеримые множества
Sk :={x [α, β] : yk−1 < f ( x) ≤ yk },	k =1, 2,..., n . Выберем произвольно точки
			n
E :={ηk : ηk [ yk−1 , yk ]}, и образуем интегральную сумму S (T , E) := ∑ηk µ(Sk ) . Тогда
			k =1
		β
конечный предел (можно показать, что он существует)		∫	f ( x)dx := lim S (T , E )
		∫	d (T )→0
		α

называется интегралом Лебега функции (интегрируемой по Лебегу) на отрезке [α, β] .

Пр. Было доказано, что функция Дирихле d ( x) не интегрируема по Риману на отрезке [0,1] . Показать, что она интегрируема по Лебегу.

ЗАМЕЧАНИЕ (свойства интеграла Лебега)

1)Измеримая функция f ( x) суммируема тогда и только тогда, когда суммируема| f ( x) |

2)Если f ( x) интегрируема по Риману на [α, β] , то она измерима, интегрируема по Лебегу и эти интегралы равны. f ( x) интегрируема по Риману на [α, β] тогда и только тогда, когда она ограничена на [α, β] и непрерывна почти всюду на нем (теорема Лебега).

3)	α, β R для любых суммируемых функций f1 ( x), f2 ( x) на измеримом множестве S
	∫ (αf1 ( x) +βf2 ( x))dx =α∫ f1 ( x)dx +β∫ f2 ( x))dx .
	S	S	S
Опр. Измеримая на измеримом множестве S			функция f ( x) называется суммируемой
со степенью p ( p ≥1), если функция \| f ( x) \| p		суммируема на S .
ЗАМЕЧАНИЕ (свойство суммируемых со степенью p функций)
1)	p > q ≥1 суммируемая со степенью p будет суммируемой со степенью q .
2)	Для любых суммируемых со степенью p		функций f , g a, b R функция a f +b g

тоже суммируема со степенью p .

Обозначение Разобьем множество всех суммируемых со степенью p на [α , β ] функций

на классы	эквивалентных функций. Интегралы представителей	одного класса
совпадают,	и согласно замечанию множество Lp [α, β] этих классов удовлетворяет
аксиомам векторного пространства.
Опр. Lp [α, β] - пространство суммируемых со степенью p функций.		L[α, β] := L1 [α, β] -

пространство суммируемых функций.

ЗАМЕЧАНИЕ (свойства пространства Lp [α, β] )

Величина

является

нормой в

[α, β] ,

нормированное

∫

f ( x)

пространство Lp [α, β]

является полным и значит банаховым.

Если последовательность { fk ( x)} Lp [α , β ]

сходится в среднем со степенью p к

f ( x) Lp [α , β ] ,

то есть

lim

− f

= 0 ,

то она сходится

к f ( x)

по мере.

Обратное,

k →∞

вообще говоря, не верно.

L2 [α, β]

является

гильбертовым

пространством

относительно

скалярного

произведения

f , g

:= ∫ f ( x) g ( x)dx ,

то есть оно является

банаховым

пространством

относительно нормы

2 :=

f , f .

____

Опр. Бесконечная последовательность элементов {ek } евклидова пространства

(E, , ) называется ортогональной, если ее элементы попарно ортогональны:

i ≠ j ei , e j = 0 , и ортонормированной, если дополнительно эти элементы

нормированы: i ei = 1 , то есть i, j xi , x j = δi , j .

Обозначение E(a, a + 2l) - пространство функций имеющих разрывы только первого рода на отрезке [a, a + 2l ] и правые и левые производные в каждой точке непрерывнос

a +2l

ти. f , g :=

∫

f ( x) g ( x) dx

- скалярное произведение в E(a, a + 2l) .

Пр.

Обозначение exi = cos x + sin x i -

формула Эйлера (короткое обозначение комплексно

го числа вида cos x + sin x i,

i :=

−1 .

:= a − bi -сопряженное к комплексному числу

z = a + bi .

kπ

} |k+∞=−∞ , ортонормированна относи

ЗАМЕЧАНИЕ Последовательность функций{

e l

a +2l

тельно скалярного произведения

f , g := ∫

f ( x) g ( x) dx

на множестве комплекснознач

ных функций f (t ) : [a, a + 2l] → C.

Опр. Пусть {ek } -ортогональная последовательность в евклидовом пространстве E .

Числа

x, ek

k = 1, 2, ... , называются коэффициентами Фурье элемента x по системе

ek , ek

x, ek

∞

x, ek

{ek } . Сумма

Sn ( x) := ∑

называется n -ой частичной суммой, а ряд ∑

e , e

k =1

k =1 k

- рядом Фурье элемента x E .

∞

kπ

1 a+2l

kπ

1 a+2l

kπ

Пр. Ряд

∑ak cos

x +bk sin

x ,

где a0 =

∫

f (t)dt, ak =

∫

f (t) cos

tdt, bk =

∫ f (t)sin

tdt

k=1

называется тригонометрическим рядом Фурье функции f ( x) E(a, a + 2l) по

ортогональной системе 1, cos

x, sin

x,... с коэффициентами {a , a , b ,...} . Ряд

∞

kπ

a+2l

−

kπ

∑ ck e l , где ck =

∫

f (t )e

dt , называется рядом Фурье в комплексной форме

k =−∞

kπ

функции f ( x)

по ортогональной системе {e l } |+∞

с коэффициентами {c , ±c ,...} .

k =−∞

0 1

Опр. Член ak cos

kπ

x + bk

sin

kπ

x называется k -ой гармоникой тригонометрического

∞

kπ

ряда

+ ∑ak

cos

x + bk

sin

x . Если положить Ak :=

ak2 + bk2

и определить угол

k =1

cosϕk

Ak , то k -ю гармонику можно записать в виде

ϕk (−π , π ] из системы

sin ϕ

−bk

Ak cos

kπ

+ ϕk .

∞

kπ

∞

cos

kπ

x + ϕk

Опр. Пусть

+ ∑ak

cos

x + bk sin

x =

+ ∑ Ak

есть тригонометриче

k =1

ский ряд Фурье T := 2l -периодической функции f ( x) . Последовательность {ak , bk } или {Ak ,ϕk } называется спектром периодической функции f ( x) ; Ak - амплитудой k -ой

гармоники; ϕk - фазой k -ой гармоники. ν 0

- основная частота; ν k

- k -

T 2l

ая гармоническая частота. ω

2π

- основная круговая частота; ω

2π k

π k

- k -

T l

ая круговая частота функции

f ( x) .

ТЕОРЕМА (свойства поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье)

1) Для функции f ( x) E(a, a + 2l) ее тригонометрический ряд Фурье в каждой точке x

сходится к числу

f ( x − 0) + f ( x + 0)

. 2) Пусть 2l -периодическая на всей оси функция

f ( x)

имеет разрывы только первого рода и имеет правые и левые производные в

каждой точке. Тогда ее тригонометрический ряд Фуре в каждой точке x

сходится к

числу

f ( x − 0) + f ( x + 0)

В условиях предыдущего пункта f ( x)

представима в этом

∞

kπ

же смысле в виде ряда Фурье в комплексной форме ∑ ck e l

причем

c−k

ck и

k =−∞

коэффициенты a

, b , c

связаны равенством c =

− bk i

. 4) Если функция

f ( x)

четная

(нечетная) на [−l, l ] и удовлетворяет условиям пункта 2), то k ≥ 1

bk = 0 ( k ≥ 0

= 0) ,

то

есть она разлагается

ряд по косинусам

(по синусам)

на оси.

При

этом

f (t) cos(

kπ

t)dt,

f (t) sin(

kπ

t)dt .

∫

ЗАМЕЧАНИЕ (электротехнический смысл) Для функции f ( x) E(a, a + 2l) равенство

1 a+2l

∞ 1

Парсеваля принимает вид

2 =

∫

(t )dt =

+ ∑

(ak

+ bk ) . Для

k =1

периодического с периодом T

на [0, +∞) аналогового сигнала (тока, напряжения) f (t )

a+2l

величина A =

∫ f 2 (t)dt =

называется квадратическим (действующим)

значением сигнала. Нетрудно убедиться, что для k -ой гармоники Ak cos

kπ

x + ϕk

a2 + b2

= A2

такого сигнала квадрат действующего значения равен

. В

∞

этих обозначениях равенство Парсеваля принимает вид A2 = A02 + ∑

Ak2 . То есть

k =1

квадрат действующего значения сигнала равен сумме квадратов действующих

значений составляющих его гармоник.

КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Двойной интеграл

ограничено. Разобьем евклидову плоскость с ПДСК

Опр. Пусть множество D R

сеткой прямых x = i h, y = j h,

i, j Z, h ::= 2− N , на прямоугольники. Совокупность

прямоугольных ячеек, содержащихся в D , обозначим

′

и площадь последнего

DN ,

′

Совокупность прямоугольников, пересекающихся с D ,

множества обозначим sN .

′′

, и площадь последнего множества обозначим

′′

′

обозначим DN

. По построению {DN }

есть последовательность вложенных друг в друга множеств, и потому

′

{sN } есть неубы

′

вающая ограниченная сверху последовательность чисел. Ее предел si (D) = s

:= l i m sN

N →∞

называется нижней мерой Жордана множества D . Аналогично, последовательность

′′

se (D) = s

′′

называется верхней мерой Жордана

{sN } не возрастает и ее предел

:= lim sN

N →∞

множества D .

ЗАМЕЧАНИЕ По построению

′

′′

≤ si (D) ≤ se (D) ≤ sN .

Опр. Если si (D) = se (D) , то множество D называется измеримым (по Жордану), а

число s(D) = s := si (D) = se (D)

называется двумерной мерой Жордана (площадью)

множества D .

Определение Граница (D) имеет нулевую жорданову меру, если

se (

′′

′

′′

′

= 0 .

(D)) := lim s(DN

\ DN ) = lim (sN

− sN )

N →∞

ЗАМЕЧАНИЕ 1

Множество D измеримо (D)

имеет нулевую жорданову меру.

ЗАМЕЧАНИЕ 2 График f

непрерывной функции f ( x) ≥ 0

имеет нулевую жорданову

меру криволинейная трапеция

: a ≤ x ≤ b,

0 ≤ y ≤ f ( x)}

измерима.

D0, f (a, b) := {( x, y) R

ЗАМЕЧАНИЕ 3 Если граница (D)

множества

является кусочно гладкой

D R

кривой, то это множество измеримо.

_____

Опр. Диаметром множества

называется число d (D) := sup{ρ (M1 , M 2 ) : M1 , M 2 D} .

D R

Диаметром разбиения T := {D1 ,..., Dn } множества

на подмножества D1 , ..., Dn ,

D R

называется число d (T ) := max{d (D1 ),..., d ( Dn )} .

Опр. Пусть на ограниченном измеримом множестве D евклидовой плоскости R2 задана функция f ( x, y) . Разобьем D на измеримые попарно непересекающиеся подмножества: T := {D1 ,..., Dn } . Выберем точки M k Dk , E := {M1 ,..., M n } , и образуем

интегральную сумму S f (T , E ) := ∑ f (M k ) s(Dk ) . Если для некоторого числа s

k =1

ε > 0 δ > 0 T , d (T ) < δ , E | S f (T , E) − s |< ε , то это число s =: ∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f (M )ds

D D

называется двойным интегралом (Римана) от функции f ( x, y) на множестве D . При этом функция называется интегрируемой (по Риману) на множестве D .

Опр. Пусть на множестве D определены две функции g ( x, y) ≤ f ( x, y) . Цилиндрическим

	3	Gg , f (D) := {( x, y, z) : ( x, y) D,	g ( x, y) ≤ z		≤ f ( x, y)} .
телом называется множество точек в R		Gg , f (D) := {( x, y, z) : ( x, y) D,	g ( x, y) ≤ z		≤ f ( x, y)} .
Опр. Если существует двойной интеграл v(Gg , f (D)) := ∫∫( f (M ) − g (M ))ds , то он
		D
называется объемом цилиндрического тела.
СЛЕДСТВИЕ (геометрический смысл двойного интеграла) Функция f ( x, y) ≥ 0
интегрируема на ограниченном измеримом множестве D тогда и только тогда, когда
цилиндрическое тело G0, f (D) имеет объем.
Опр. Двумерной функцией Дирихле называется функция d ( x, y) :=			1,	x, y Q∩[0,1]
					.
			0,	x или y	I∩[0,1]
Щеткой Дирихле называется цилиндрическое телоG0, d :={(x, y, z) : 0 ≤ x ≤1,				0 ≤ y ≤1,	0 ≤ z ≤ d(x, y)}

ЗАМЕЧАНИЕ Щетка Дирихле не имеет объема.

ТЕОРЕМА (свойства двойного интеграла) 1) (теорема существования) Двойной интеграл ∫∫ f (M )ds от непрерывной функции f (M ) на ограниченном замкнутом

измеримом множестве D существует.

2) Если функции g ( x, y), f ( x, y) интегрируемы на множестве D , то интегрируема их линейная комбинация и α , β R ∫∫(α f (M ) + β g (M ))ds = α ∫∫ f (M ))ds +β ∫∫ g (M ))ds .

		D	D	D
3)	Если M D g (M ) ≤ f (M ) , то ∫∫ g (M (ds) ≤∫∫ f (M )ds .
		D	D
4)	Если f (M )	непрерывна на измеримом замкнутом ограниченном множестве D и
m := min f ( x, y),		M := max f ( x, y) , то m s(D) ≤ ∫∫ f ( x, y)dxdy ≤ M s(D) .
	D	D	D
			D

5) (теорема о среднем) В условиях предыдущего пункта M0 D ∫∫ f (M )ds = f (M0 ) s(D)

			D
6) В условиях пункта 4) для любого разбиения D на измеримые подмножества
D1 , ..., Dn	∫∫ f (M )ds = ∫∫ f (M )ds + ... + ∫∫ f (M )ds .
	D	D1	Dn
Опр. Пусть функции ϕ ( x), ψ ( x)	непрерывны на [a, b] , ϕ ( x) ≤ ψ ( x) и функция f ( x, y)

непрерывна на криволинейной трапеции Dϕ ,ψ (a, b) . Можно показать, что функция

ψ ( x )
Φ( x) := ∫ f ( x, y)dy	непрерывна на [a, b] . Тогда существует определенный
ϕ ( x )
b	b ψ ( x )

интеграл ∫Φ( x)dx := ∫ ∫ f ( x, y)dydx , который называется повторным интегралом

a a ϕ ( x )

ТЕОРЕМА 1) (формула сведения двойного интеграла к повторному) В условиях пре

b ψ ( x)

дыдущего определения имеет место равенство∫∫ f (M )ds = ∫ ∫ f (x, y)dydx , гдеD := Dϕ ,ψ (a, b)

D a ϕ ( x)

2) (формула замены переменных) Пусть непрерывно дифференцируемое отображение F := (ϕ(u, v), ψ (u, v)) : D′ → D отображает взаимно однозначно множество D′ с кусочно гладкой границей на множество D с кусочно гладкой границей. Пусть якобиан

отображения	∂(ϕ,ψ )	имеет постоянный знак на D′ и функция f ( x, y) непрерывна на D .
	∂(u, v)

			∂(ϕ,ψ )
Тогда ∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f (ϕ(u, v),ψ (u, v) \|				\| dudv .
			∂(u, v)
D		D′

ЗАМЕЧАНИЕ (алгоритм вычисления двойного интеграла) а) Область D разбить на

последовательность криволинейных трапеций D1 ,..., Ds .

б) Двойной интеграл представить в виде суммы интегралов функции f ( x, y) на этих трапециях по формуле ∫∫ f (M )ds = ∫∫ f (M )ds + ... + ∫∫ f (M )ds .

D D1 Ds

в) Вычислить полученные интегралы с помощью подходящей замены переменных и перехода к повторным по формулам теоремы.

_____

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Вычисление объема цилиндрического тела. ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Вычисление площади поверхности.

Опр. Пусть функция f ( x, y) имеет непрерывные частные производные на ограничен ном плоском множестве D с кусочно гладкой границей. Обозначим L поверхность с

уравнением z = f ( x, y) . Разобьем D на подмножества D1 , ..., Dn с кусочно гладкими
границами, и выберем точки M k = ( xk , yk ) Dk . Проведем касательные плоскости
Lk	: f x′(M k )( x − xk ) + f y′(M k )( y − yk ) − ( z − f (M k )) = 0 к поверхности L в точках
Nk	:= ( xk , yk , f (M k )), k = 1,..., n . Обозначим Dk′ часть касательной плоскости Lk ,
		где

расположенную над множеством Dk . Она измерима и s(Dk ) = s(Dk′ ) \| cos(n ( Nk ) OZ ) \| ,

n ( Nk ) есть вектор нормали к поверхности в точке Nk . С другой стороны из уравнения

(

( Nk ), k )

−1

касательной плоскости следует, что cos(n ( Nk ) OZ ) =

( Nk ) | | k |

f ′2

) + f ′2

) + 1

Поэтому площадь поверхности L приближенно равна

s(T , E ) := ∑s(Dk′ ) = ∑ f x′2 (M k ) + f y′2 (M k ) + 1 s(Dk ) .

k =1

Предел последовательности этих интегральных сумм при d (T ) → 0 существует в силу теоремы. Его естественно назвать площадью поверхности L и обозначить

s(L) := ∫∫ f x′2 (M ) + f y′2 (M ) + 1 ds .

ЗАМЕЧАНИЕ Площадь поверхности, задаваемой параметрически,

x = ϕ(u, v)
y = ψ (u, v) ,
y = ψ (u, v) ,	(u, v) D′ , вычисляется по формуле s(L) = ∫∫ A2 + B2 + C 2 dudv .
z = χ (u, v)	D′

ПРИЛОЖЕНИЕ 3 (масса неоднородной пластинки)

ПРИЛОЖЕНИЕ 4 (координаты центра масс неоднородной пластинки)

Опр. Пусть функция f ( x, y) определена на множестве D , причем либо f ( x, y) не ограничена, либо D не ограничена в R2 . Пусть существует расширяющаяся последовательность ограниченных измеримых подмножеств {Kn }, Kn D , которая

		∞
исчерпывает D : K1 K2 ...,		Kn = D . Если f ( x, y) интегрируема на каждом Kn , и
		n=1
существует и конечен предел		∫∫ f (M )ds := lim ∫∫ f (M )ds , то его естественно назвать
					n→∞
		D			Kn
сходящимся несобственным интегралом функции f ( x, y) на множестве D .

	Криволинейные интегралы и формула Грина

Опр. Пусть на спрямляемой кривой l			R	2	заданы две функция f ( x, y), g ( x, y) .

Разобьем ее последовательностью точек T := {A0 ,..., An }, Ak = ( xk , yk ) . T := {A0 ,..., An } .

	точку M k	, и обозначим E := {M k } . Образуем
Выберем на каждой дуге Ak −1 Ak	точку M k	, и обозначим E := {M k } . Образуем
	n		n
интегральные суммы Sx (T , E ) := ∑ f (M k )		xk ,	S y (T , E) := ∑g (M k )	yk	и положим
	r =1		r =1
d (T ) := max σ k . Если для некоторого sx ε > 0			δ > 0 T , d (T ) < δ ,	E	\| Sx (T , E) − sx \|< ε ,
k

то это число называется криволинейным интегралом второго рода (КИВР) функции f ( x, y) по переменной x на дуге l . Аналогично определяется криволинейный интеграл второго рода (КИВР) функции g ( x, y) по переменной y на дуге l . Если

указанные интегралы ∫ f ( x, y)dx := sx ,	∫ g ( x, y)dy := sy	существуют, то выражение
l	l
∫ f ( x, y)dx + g ( x, y)dy := ∫ f ( x, y)dx +∫ g ( x, y)dy
l	l	l

называется криволинейным интегралом второго рода (общего вида) (КИВР). ЗАМЕЧАНИЕ 1 Если кривая l кусочно гладкая и функции f ( x, y), g ( x, y) непрерывны на ней, то КИВР существует и вычисляется по формуле

∫ f ( x, y)dx + g ( x, y)dy := ∫( f (ϕ(t ),ψ (t))ϕ ′(t) + g (ϕ (t),ψ (t ))ψ ′(t) )dt .

l α

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Аналогично определяется и вычисляется КИВР на пространственной кривой.

ЗАМЕЧАНИЕ 3 Будем говорить что кривая l −1 с параметрическим заданием

x = ϕ(β − (β − α )t)	, t [0,1] , имеет ориентацию, обратную к ориентации кривой l . Из

y = ψ (β − (β − α )t )
определения КИВР следует равенство ∫		f ( x, y)dx + g ( x, y)dy = −∫ f ( x, y)dx + g ( x, y)dy .
	l −1	l

ПРИЛОЖЕНИЕ Работа по перемещению материальной точки вдоль кривой l под действием силы F (M ) (в силовом поле F (M ) ) вычисляется по формуле

∫F (M )dr :=∫ f ( x, y)dx + g ( x, y)dy .

l l

_____

Определение Открытое множество G R2 называется областью, если любые его две точки можно соединить ломаной, целиком лежащей в этом множестве.

ТЕОРЕМА (формула Грина) Пусть функции f ( x, y), g ( x, y) имеют непрерывные частные производные на замыкании D области, граница которой l является кусочно

	∂g		∂f
гладкой кривой. Тогда ∫∫		−		(M )ds = ∫ f ( x, y)dx + g ( x, y)dy .
	∂x
D			∂y		l

СЛЕДСТВИЕ В условиях теоремы равносильны утверждения.

1) Выражение f ( x, y)dx + g ( x, y)dy является полным дифференциалом: существует дважды непрерывно дифференцируемая функция u( x, y) со свойством:

du ≡ f ( x, y)dx + g ( x, y)dy в D . 2) M D ∂g (M ) = ∂f (M ) . 3) криволинейный интеграл

∂x ∂y

∫ f ( x, y)dx + g ( x, y)dy не зависит от пути интегрирования в D : для любых двух точек

M1 , M 2 D и любой соединяющей их кусочно гладкой кривой M1M 2 интеграл

∫ f ( x, y)dx + g ( x, y)dy зависит только концов M1 , M 2 этой кривой.

M1M 2

Тройной и поверхностный интегралы

Опр. Пусть множество G R3 ограничено. Разобьем евклидово пространство с ПДСК плоскостями x = i h, y = j h, z = k h, i, j, k Z, h := 2− N , на сеть кубиков. С их помощью определяем нижнюю и верхнюю меры Жордана vi (G) ≤ ve (G) множества G так же, как мы делали это в плоском случае. Множество G измеримо, если

vi (G) = ve (G) . Это число назовем объемом G .

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Из определения следует, что гребешок Дирихле не измерим по Жордану.

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Цилиндрическое тело Gg , f (D) измеримо, если замкнутое ограничен ное плоское множество D измеримо, и функции f ( x, y) ≥ g ( x, y) непрерывны на нем.

		3	естественно назвать число
Опр. Диаметром множества G R			естественно назвать число
d (G) := sup{ρ (M1 , M 2 ) : M1 , M 2 G} . Диаметром разбиения T := {G1 , ..., Gn } множества					G на
Опр. Пусть на ограниченном измеримом множестве G евклидова пространства					3
					R
задана функция f (M ) . Разобьем G на измеримые попарно непересекающиеся
подмножества: T := {G1 , ..., Gn } . Выберем точки M k Gk , E := {M1 ,..., M n } , и образуем
	n
интегральную сумму	S f (T , E ) := ∑ f (M k ) v(Gk ) . Если для некоторого числа			v
	k =1
ε > 0 δ > 0 T, d(T) < δ,	E \| Sf (T, E) − v \|< ε , то это число v = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz = ∫∫∫ f (M )dv
			G	G

называется тройным интегралом (Римана) функции f ( x, y, z) по множеству G . При этом функция называется интегрируемой (по Риману) на множестве G .

ТЕОРЕМА 1) (формула сведения тройного интеграла к повторному) Обозначим

D = {( x.y) : a ≤ x ≤ b, ϕ1 ( x) ≤ y ≤ ϕ2 ( x)} криволинейную трапецию, где функции ϕ1 ( x), ϕ2 ( x) непрерывны на [a, b] . Пусть функции ψ1 ( x, y) ≤ ψ 2 ( x, y) непрерывны на D , а функция

f ( x, y, z) в свою очередь непрерывна на измеримом цилиндрическом теле G = Gψ1 ,ψ 2 (D) .

Тогда тройной интеграл f (M ) на G существует и выражается через повторный по

		b	ϕ2 ( x )	ψ 2 ( x, y )	b	ϕ2 ( x )
формуле	∫∫∫ f (M )dv = ∫dx ∫			dy ∫	f ( x, y, z)dz := ∫	∫

	G	a	ϕ1 ( x )	ψ1 ( x, y )	a ϕ1 ( x )

ψ 2 ( x, y )

∫

ψ1 ( x , y )

f( x, y, z)dz dy dx .

2) (формула замены переменных) Пусть непрерывно дифференцируемое отображение f (M ) = (ϕ (M ),ψ (M ), χ (M ) ) : G′ → G, M = (u, v, w) , отображает взаимно однозначно

замкнутую ограниченную область G′ R3 с кусочно гладкой границей на замкнутую

f (M )

ограниченную область G с кусочно гладкой границей. Пусть якобиан отображения

∂(ϕ,ψ , χ ) имеет постоянный знак на G′ и функция непрерывна на G . Тогда

∂(u, v, w)

имеет место такая формула замены переменных в тройном интеграле

∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz = ∫∫∫ f (ϕ (M ),ψ (M ), χ (M ))		∂(ϕ,ψ , χ )	dudvdw .
		∂(u, v, w)
G	G′

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Масса измеримого тела G с непрерывной плотностью ρ (M )

вычисляется по формуле M (G) = ∫∫∫ρ (M )dv .

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Формулы координат центра масс тела аналогичны соответствую щим формулам для пластинки.

ПРИЛОЖЕНИЕ 3 (момент инерции тела относительно оси) Найдем момент инерции измеримого тела G с непрерывной плотностью ρ (M ) относительно оси l . С этой

целью разобьем его на малые области G1 ,..., Gn

и выберем точки M k

= ( xk , yk , zk ) Gk .

Плотность области Gk будем считать постоянной и равной ρ (M k ),

k = 1,..., n . Заменим

области Gk на материальные точки M k

с массами mk

= ρ (M k ) v(Gk )

соответственно. Так

как момент инерции материальной точки M k относительно оси l определяется

величиной J

) := d 2 (M

, l ) m = d 2

, l)ρ (M

) v(G ) , то момент инерции системы

материальных точек M1 ,..., M k

равен S (T , E) := ∑Jl (M k ) = ∑d 2 (M k , l ) ρ (M k ) v(Gk ) .

k =1

Предельное значение этой интегральной суммы Jl (G) := ∫∫∫d 2 (M , l ) ρ (M ) dv

называют моментом инерции тела G относительно оси l .

____

Определение Векторным полем на множестве

называется отображение G в

G R

какое-либо векторное пространство E .

ЗАМЕЧАНИЕ Всюду ниже G R , E = R и поле обозначаем F(M) ={f (M), g(M), r(M)}: G →R

Опр. Скалярным полем называется функция f (M ) : G → R.

ЗАМЕЧАНИЕ Оно изображается линиями уровня f

определен вектор нормали, и пусть

Опр. Пусть в каждой точке поверхности L R

при непрерывном движении точки по поверхности этот вектор непрерывно изменяет

свое направление. Поверхность L называется двусторонней, если при непрерывном

движении точки вдоль любой замкнутой кривой вектор нормали возвращается в

исходную точку с сохранением направления. В противном случае поверхность L

называется односторонней.

Пр. Лист Мебиуса.

Опр. Двусторонняя поверхность L называется ориентируемой, а выбор стороны, то

есть фиксация единичного вектора нормали N (M ) в какой-либо точке M L - ориента

цией поверхности. Такая поверхность определяет два непрерывных векторных поля

{A, B, C,}

нормалей N (M ) : L → R3 ,

N (M ) =

[

′,

′] =: {cosα (M ), cos β (M ), cos γ (M )}

A2 + B2 + C 2

[ru′, rv′]

Опр. Пусть на двусторонней гладкой поверхности L фиксирована ориентация N (M )

задано векторное поле

(M ) = { f (M ), g(M ), r(M )} : G → R3 . Разобьем D на куски D , ..., D

кусочно гладкой границей. На измеримых частях Lk

= F (Dk ) поверхности с площадью

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.03.202574.47 Кб2Матвеенко А.Н. БЭ-311.docx
#
10.11.20194.13 Mб21математика - Опорный конспект лекций 1,2 семес...doc
#
19.05.20152.27 Mб42Математика .docx
#
01.07.202566.4 Кб0математика глава 3. ответы.docx
#
01.07.2025585.33 Кб0математика готовое.docx
#
19.05.2015575.67 Кб31Математика конс.2 семестр.pdf
#
19.05.2015613.41 Кб27математика конспект.pdf
#
27.09.201991.19 Кб9Математика ответы.docx
#
23.09.201945.52 Кб3Математика экзамен.docx
#
19.08.2019574.98 Кб34математикаТВ 3 _Менеджмент+ГК.doc
#
19.05.20156.58 Mб46Математический анализ.doc