МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ДГТУ

Кафедра «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем»

«ПОВТ и АС»

УТВЕРЖДАЮ

Зав. каф. Нейдорф Р.А.

«__» ___________ г.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовой работе по дисциплине «Методы вычислений»

на тему: «Разностные формулы для вычисления частных производных »

Автор курсовой работы: Лазченко Сергей Русланович

Группа: ВБМО21

Специальность: 010500 « Математическое обеспечение и администрирование информационных систем»

Руководитель работы: /Медведева Т.А./

Ростов-на-Дону

2013 г.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………… …3

1 ОБЗОР………………………………………………………………………… . 4

1. Теоретический обзор……………………….……………....……….….. 4

2. Разностные формулы…………………...………………………………..5

1.3 Постановка задачи………………………………………………………. 7

2 АЛГОРИТМИЧЕСКОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ……………………………..8

2.1 Общий алгоритм работы……………………………………………...….8

2.2 Блок-схема основной программы.……………….. ……………………..8

3 ПРОГРАММНОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ…………………………………..9

3.1 Выбор среды программирования ………………………………………9

3.2 Принцип работы ……………………………………...…………………11

3.3 Программы для нахождения приближенного значения………………12

4 РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ ПРОГРАММНОГО СРЕДСТВА……………… ..16

4.1 Описание тестовых примеров...……….………………………………..16

4.2 Результаты тестирования……………………………………………….16

4.2.1 Контрольный пример №1………………………………………......16

4.2.2 Контрольный пример №2…………………………………………..25

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………… 34

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ…………………………… …35

Введение

Задача приближенного вычисления производной может возникнуть в тех случаях, когда неизвестно аналитическое выражение для исследуемой функции. Функция может быть задана таблично, или известен только график функции, полученный, например, в результате показаний датчиков параметров технологического процесса.

Иногда, при решении некоторых задач на компьютере, из-за громоздкости выкладок может оказаться более удобным вычисление производных численным методом, чем аналитическим. При этом, разумеется, необходимо обосновать применяемый численный метод, т.е. убедиться в том, что погрешность численного метода находиться в приемлемых границах.

Одним из эффективных методов решения дифференциальных уравнений является разностный метод, когда вместо искомой функции рассматривается таблица ее значений в определенных точках, при этом производные приближенно заменяются разностными формулами.

[1, c. 170]

ОБЗОР

1. Теоретический обзор

В математическом анализе, частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.

В явном виде частная производная функции f определяется следующим образом:

Следует обратить внимание, что обозначение следует понимать как цельный символ, в отличие от обычной производной функции одной переменной , которую можно представить, как отношение дифференциалов функции и аргумента. Однако, и частную производную можно представить как отношение дифференциалов, но в этом случае необходимо обязательно указывать, по какой переменной осуществляется приращение функции:

 , где  — частный дифференциал функции f по переменной x. Часто непонимание факта цельности символа является причиной ошибок и недоразумений, как, например, сокращение в выражении .

Геометрически, частная производная является производной по направлению одной из координатных осей. Частная производная функции f в точке по координате равна производной  по направлению , где единица стоит на k-ом месте.

[4]

1.2 Разностные формулы

Разностные формулы для частных производных аналогичны разностным формулам для обыкновенных производных.

(1.1)

(1.2)

(1.3)

Отношение (1.1) иногда называют правой разностной производной в точке . Так же отношение (1.2) называют левой разностной производной в точке, а (1.3) – центральной разностной производной в точке

Разностная формула для второй производной (разностная производная второго порядка) имеет вид:

Пусть функция двух переменных u=f(x,y) определена в прямоугольной области ,.

Определение.

Назовем сеточной областью множество точек , где

На рис. 1.1 изображена сеточная область для = 5,, которая состоит из 36 точек.

Рис.1.1

Введем обозначение .

Тогда для частных производных первого и второго порядка по переменной x можно записать разностные формулы (1.1)-(1.4):

(2.1)

.

(2.2)

.

(2.3)

.

(2.4)

.

Аналогичные разностные формулы можно записать и для частных производных первого и второго порядка по переменной y:

(3.1)

.

(3.2)

.

(3.3)

.

(3.4)

.

Запишем разностные формулы для смешанных производных:

[1, c. 172]

1.3 Постановка задачи

Дана обыкновенная функция и табличные значения в сеточной области. Необходимо найти частные производные этой функции 1-го и 2-го порядка с помощью разностных формул, а также сравнить полученные приближенные значения производных с точными значениями и найти относительную погрешность приближенных значений.

АЛГОРИТМИЧЕСКОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ

2.1 Общий алгоритм работы

Входными данными для программы служит функция u, начальные координаты сеточной области a1 и a2, шаги значения h1 и h2 и число шагов n1,n2.

На первом шаге программа находит сеточную область . Далее происходит расчет приближенных значений с помощью разностных формул. Затем идет вывод значений на экран в виде таблицы.

2.2 Блок-схема основной программы

Начало

Ввод

u,a1,a2,n1,n2,h1,h2

i:=0..n1-1

j:=0..n2-1

i:=1..n1-1

Вывод

j:=1..n2-1

Разностная формула

Вывод

Конец

ПРОГРАММНОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ

3.1 Выбор среды программирования

Для сокращения времени программирования создано большое количество прикладных пакетов, области использования которых в значительной степени перекрываются. Для наиболее эффективного использования вычислительной техники необходимо правильно выбрать наилучший пакет программ на самой ранней стадии решения прикладной задачи.

Широкую известность и заслуженную популярность еще в середине 80-х годов приобрели интегрированные системы для автоматизации математических расчетов класса MathCAD, разработанные фирмой MathSoft (США). MathCAD — математически ориентированные универсальные системы. Помимо собственно вычислений они позволяют с блеском решать задачи, которые с трудом поддаются популярным текстовым редакторам или электронным таблицам. С их помощью можно не только качественно подготовить тексты статей, книг, диссертаций, научных отчетов, дипломных и курсовых проектов, облегчают набор самых сложных математических формул и дают возможность представления результатов, в графическом виде.

MathCAD совмещает в себе несколько компонентов:

• мощный текстовый редактор, позволяющий вводить, редактировать и форматировать как текст, так и математические выражения;

• вычислительный процессор, умеющий проводить расчеты по введенным формулам, используя встроенные численные методы;

• символьный процессор, позволяющий проводить аналитические вычисления и являющийся, фактически, системой искусственного интеллекта;

• огромное хранилище справочной информации, как математической, так и инженерной, оформленной в качестве интерактивной электронной книги.

Отличительной чертой Mathcad от большинства других современных математических приложений является его построение по принципу WYSIWYG ("What You See Is What You Get" — "что вы видите, то и получите"). Поэтому он очень прост в использовании, в частности, из-за отсутствия необходимости сначала писать программу, реализующую те или иные математические расчеты, а потом запускать ее на исполнение. Вместо этого достаточно просто вводить математические выражения с помощью встроенного редактора формул, причем в виде, максимально приближенном к общепринятому, и тут же получать результат. В соответствии с проблемами реальной жизни, математикам приходится решать одну или несколько из следующих задач:

1. ввод на компьютере разнообразных математических выражений (для дальнейших расчетов или создания документов, презентаций, Web-страниц или электронных книг);

2. проведение математических расчетов (как аналитических, так и при помощи численных методов);

3. подготовка графиков с результатами расчетов;

4. ввод исходных данных и вывод результатов в текстовые файлы или файлы с базами данных в других форматах;

5. подготовка отчетов работы в виде печатных документов;

6. подготовка Web-страниц и публикация результатов в Интернете;

7. получение различной справочной информации из области математики.

Со всеми этими (а также некоторыми другими) задачами с успехом справляется MathCAD:

• математические выражения и текст вводятся с помощью формульного редактора MathCAD, который по возможностям и простоте использования не уступает, к примеру, редактору формул, встроенному в Microsoft Word;

• математические расчеты производятся немедленно, в соответствии с введенными формулами;

• графики различных типов (по выбору пользователя) с богатыми возможностями форматирования вставляются непосредственно в документы;

• возможен ввод и вывод данных в файлы различных форматов;

• документы могут быть распечатаны непосредственно в MathCAD в том виде, который пользователь видит на экране компьютера, или сохранены в формате RTF для последующего редактирования в более мощных текстовых редакторах (например, Microsoft Word);

• возможно полноценное сохранение документов MathCAD в формате RTF-документов.