Нечеткие алгоритмы

Понятие нечеткого алгоритма, впервые введенное Л.А. Заде, является важным инструментом для приближенного анализа сложных систем и процессов принятия решений. Под нечетким алгоритмом понимается упорядоченное множество нечетких инструкций (правил), в формулировке которых содержатся нечеткие указания (термы).

Например, нечеткие алгоритмы могут включать в себя инструкции типа:

а) "х = очень малое";

б) "х приблизительно равно 5";

в) "слегка увеличить х";

г) "ЕСЛИ х - в интервале [4,9; 5,1], ТО выбрать у в интервале [9,9; 10,1]";

д) "ЕСЛИ х - малое, ТО у - большое, ИНАЧЕ у - не большое". Использованные здесь термы "очень малое", "приблизительно равно", "слегка увеличить", "выбрать в интервале" и т.п. отражают неточность представления исходных данных и неопределенность, присущую самому процессу принятия решений.

Две последние инструкции (г-д) представляют собой правила (или нечеткие высказывания), построенные по схеме логической импликации "ЕСЛИ-ТО", где условие "ЕСЛИ" соответствует принятию лингвистической переменной х некоторого значения А, а вывод (действие) "ТО" означает необходимость выбора значения В для лингвистической переменной у:

(х= А)→(у= В).

Указанные правила получили широкое распространение в технике. Механизм построения правил принятия решений в конкретной задаче выглядит при этом следующим образом. На основе заданной цели (рис.2.6) с помощью механизма упрощения, позволяющего выделить наиболее существенные и отсечь второстепенные факторы, определяется начальное состояние системы, желаемое конечное состояние и правила действий, переводящих систему в желаемое конечное состояние.

Набор таких правил, обеспечивающих получение "хорошего", как правило, приближенного решения поставленной задачи, реализуется с помощью механизма вывода.

Рассмотрим особенности выполнения нечетких правил на следующем простом примере. Допустим, что необходимо регулировать открытие охлаждающего вентиля φ_вых в зависимости от измеренного значения температуры воздуха Т_вх.

Рис 2.6 Построение правил принятия решений

Воспользуемся для этих целей двумя правилами, записанными в лингвистической форме, 1-е из которых имеет следующий вид:

ПРАВИЛО 1: "ЕСЛИ Температура = низкая, ТО охлаждающий вентиль = полуоткрыт".

Будем полагать, что нечеткие подмножества A₁ ("Температура = низкая") и B₁ ("Вентиль = полуоткрыт") определяются функциями принадлежности, приведенными на пис.2.7.

Рис.2.7. Функции принадлежности нечетких подмножеств А₁ и В₂

Если измеренное значение температуры Т_вх равно, например, 18 °С, то степень принадлежности этого значения подмножеству A₁ в данном конкретном случае составляет 0,2. Полагая, что меньшее значение степени выполнения условия "ЕСЛИ" должно сопровождаться уменьшением значений функции принадлежности вывода "ТО", ограничим возможные значения функции на уровне 0,2, т.е. получим

(2.18)

(Соответствующая функция выделена в правой половине рис.2.7 заштрихованной площадью).

Сформулируем 2-е лингвистическое правило следующим образом: ПРАВИЛО 2: "ЕСЛИ Температура = средняя, ТО охлаждающий вентиль = почти открыт".

Функции принадлежности и, где А₂ и B₂ обозначают соответственно нечеткие подмножества, содержащиеся в условии и выводе правила 2, показаны на рис.2.8.

Рис.2.8. Функции принадлежности нечетких подмножеств A₁и В₂

Степень принадлежности измеренного значения Т_вх = 18 °С подмножеству А₂ здесь равна уже 0,5. Следуя тому же приему, для функции принадлежности получаем

(2.19)

Заметим, что приведенные выше правила 1 и 2 действуют совместно и связаны друг с другом с помощью союза "ИЛИ", т.е. можно записать: ПРАВИЛО 1: "ЕСЛИ Температура = низкая, ТО охлаждающий вентиль = полуоткрыт" ИЛИ

ПРАВИЛО 2: "ЕСЛИ Температура = средняя, ТО охлаждающий вентиль = почти открыт".

Но тогда результирующая функция принадлежности для переменнойнаходится по формуле

(2.20)

График полученной функции принадлежности представлен на рис. 2.9. Использованный в данном случае механизм логического вывода, выражающийся через операции нахождения минимума и максимума (2.18)-(2.20), получил название метода Максимума-Минимума (MAX-MIN- Inference).

Рис. 2.9. Функция принадлежности нечеткого множества

На практике часто используется еще один метод построения функции принадлежности выходного нечеткого множества, получивший название метода Максимума - Произведения (MAX-Product-Inference).

Суть этого метода заключается в следующем. При вычислении функций принадлежности вывода (заключения) "ТО" для каждого из правил осуществляется не ограничение их на уровне выполнения соответствующего условия "ЕСЛИ" (как это делалось в методе Максимума-Минимума), а пропорциональное уменьшение их значений в соответствии с уровнем выполнения указанного условия (рис. 2.10,а) с последующим использованием операции "ИЛИ" (рис. 2.10,6).

Важно отметить, что при использовании любого из указанных выше методов вывода (рис. 2.9, 2.10) результатом выполнения правил 1-2 является не конкретное число , а некоторое нечеткое множество, описываемое функцией принадлежности. В то же время данное решение не может считаться окончательным, поскольку сохраняется неопределенность выбора значения искомой переменнойвнутри рассматриваемого интервала - носителя нечеткого множества.

Переход от полученного нечеткого множества к единственному четкому значению ()_о, которое и признается затем в качестве решения поставленной задачи, называется дефаззификацией (defuzzyfication).

Рис. 2.10. Построение механизма вывода с помощью метода