9.2 Вопросы для самопроверки

1. Какие факторы могут влиять на точность иземрений?

2. Какие требования должны выполняться для обеспечения возможности совместной обработки групп результатов измерений?

3. Какие результаты измерений можно рассматривать как однородные?

4. По какой характеристике определяется точность результатов измерений?

5. Что характеризует статистический вес?

6. Какими критериями можно проверить: а) однородность групп результатов измерений; б) их равноточность?

7. Какие из критериев относятся: а) к параметрическим; б) к непараметрическим?

8. Что оценивается с помощью: а) внутригрупповой дисперсии; б) межгрупповой дисперсии?

9. Что является вариационным рядом?

10. Что такое «ранг»?

11. Приведите алгоритмы расчета результата однородных групп измерений: а) равноточных; б) неравноточных.

9.3 Примеры решения задач

Задача 9.3.1. Определите с доверительной вероятностью Р=0,95 значение электрического сопротивления по двум сериям нормально распределенных результатов измерений (таблица 9.4), из которых исключены систематические и грубые погрешности.

Таблица 9.4 – Результаты измерений электрического сопротивления

№ измерения	Электрическое сопротивление R, Ом
	Серия 1	Серия 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	12,06 12,02 11,99 11,98 12,03 12,05 12,04 11,89 11,95 12,08	12,01 12,00 11,96 11,97 11,93 12,02 12,08 12,06 11,95 12,04

Решение.

Рассчитываем для каждой группы результатов измерений (серий) среднее арифметическое значение (3.17.) и СКО (3.18.).

(Ом)

=

=0,057435954 (Ом)

(Ом)

+

=0,049396356 (Ом)

Проверяем однородность групп по критерию Стьюдента (9.1.):

Коэффициент Стьюдента для Р=0,95 и f=10+10-2=18 t=2,1 (приложение А).

0,323<2,1, следовательно, группы являются однородными.

Проверяем равноточность групп:

Предельные значения по приложению К для вероятности

Р=1-0,5+=0,975:

,

0,248139<1.352<4,03.

Следовательно, неравенство (9.2.) выполняется, и группы являются равноточными. Результаты измерений обрабатываем как единую совокупность данных.

Общее среднее арифметическое (9.20.):

(Ом)

СКО результатов измерений (9.23):

=(Ом)

Коэффициент Стьюдента для Р=0,95 и f=20-2=18  t=2,1 (приложение А).

Рассчитываем доверительный интервал (9.25.):

12,0055-2,1.

Задача 9.3.2. Определите с вероятностью 0,98 , диаметр отверстия детали по результатам многократных измерений тремя приборами – штангенциркулем, индикаторным нутромером, инструментальным микроскопом, указанным в таблице 9.5 и подчиняющихся нормальному закону распределения вероятностей.

Таблица 9.5 – Результаты измерений диаметра отверстия

№ измерения	Результаты измерений, мм, по группам, полученным средствами измерений:
	штангельциркуль, L	индикаторный нутромер, L	инструментальный микроскоп, L
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	18,15 28,05 27,95 28,10 28,00 27,90 28,05 28,10 28,05 27,85	28,12 28,01 27,99 27,98 28,08 28,06 28,02 27,97	28,135 28,005 27,995 28,015 27,985 28,125

Решение.

Рассчитываем для каждой группы результатов измерений среднее арифметическое значение (3.17) и СКО (3.18):

+0,094868329(мм)

Проверяем однородность групп по критерию Фишера. Рассчитываем:

- среднее арифметическое значение по всем группам (9.4):

-межгрупповую дисперсию (9.3):

внутригрупповую дисперсию:

Проверяем неравенство (9.7):

Число степеней свободы и.

Значение критерия Фишера для (приложение К).

Неравенство (9.7) выполняется:

0,17301038 < 0,173203121 < 5,78.

Следовательно, результаты измерений по группам являются однородными.

Проверяем равноточность групп по критерию Бартлетта. Рассчитываем коэффициент с (9.9):

Рассчитываем ² (9.8):

Табличное значение ² для уровня значимости q = 1-Р = 1-0,98=0,02 и числа степеней свободы f=L-1=3-1=2 по приложению Е.

²=7,38

Критерий Бартлетта выполняется:

2,426<7,38,

и группы результатов измерений являются равноточными.

Рассчитываем СКО среднего общее по группам (9.22).

Формулу (9.22) можно записать в виде:

(9.28)

=0,015097058 (мм)

Коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности Р=0.98 и числа степеней свободы (9.26) f=21 по приложению А: .

Рассчитываем доверительный интервал (9.25).

28,02875-2,33

Задача 9.3.3. Два оператора провели 14 независимых опытов по определению температуры воспламенения эмали однородного состава. Каждый оператор проверил 7 образцов (таблица 9.6). Определите с вероятностью 0.95, имеется ли различие между результатами, полученными каждым оператором, а также температуру воспламенения эмали, если результаты не подчиняются нормальному закону.

Таблица 9.6 – Результаты измерений температуры операторами

Оператор А	716	749	771	766	743	738	688
Оператор В	777	771	774	788	716	699	693

Решение.

Проверяем однородность групп по критерию Уилкоксона. Располагаем все экспериментальные данные в вариационный ряд и присваиваем им номера:

Таблица 9.7 – Результаты ранжирования экспериментальных данных

№ п.п.	1	2	3	4,5	4,5	6	7	8	9	10,5	10,5	12	13	14
Значение	688	693	699	716	716	738	743	749	766	771	771	774	777	788

Подсчитываем суммарный ранг для результатов оператора А (9.10.):

Рассчитываем критические значения критерия (9.12), (9.13). Квантиль функции Лапласа для вероятности Р=0,95:

, по приложению Б, таблица 1.

Неравенство (9.11) выполняется: 7,7<46<67,8.

Следовательно, результаты опытов являются однородными.

Проверим равноточность результатов по критерию Сиджела-Тьюки. Присваиваем ранги, как показано в таблице 9.8:

Таблица 9.8 – Ранги результатов опыта по критерию Сиджела-Тьюки

Резуль-тат, С	688	693	699	716	716	738	743	749	766	771	771	774	777	788
Ранг	1	4	5	8,5	8,5	12	13	14	11	10	7	6	3	2
Опера-тор	А	В	В	В	А	А	А	А	А	А	В	В	В	В

Суммарный ранг (9.10.) для оператора А:

Т=1+8,5+12+13+11+10+14=69,5

Гипотеза о равноточности групп по критерию Сиджела-Тьюки не выполняется, так как не выполняется условие (9.11.): 69,5>67,8.

Следовательно, группы результатов опытов являются неравноточными.

Для каждой группы рассчитываем статистические характеристики:

- среднее арифметическое значение (9.16.):

(716+749+771+766+743+738+688)=738,7142857 (С);

(С).

- дисперсию S (9.17.):

(С²);

(С²).

- статистический вес (9.18.):

Рассчитываем статистические характеристики общего среднего по двум группам результатов измерений:

- среднее весовое значение (9.21):

- СКО среднего весового (9.24):

=(С).

Для определения доверительного интервала коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности Р=0,95 и числа степеней свободы f=7-1=6 по приложению А: t=2,45.

Рассчитываем доверительный интервал (9.25.).

740,9448174-2,452,236197116 ≤ АВ ≤ 74,9448174+2,452,23619716

735,4661344 С ≤ АВ ≤ 746,4235004 С

735,5 С ≤ АВ ≤ 746,4 С.