9 Группы результатов измерений

9.1 Основные положения

При проведении измерений параметра, особенно в течение длительного времени, меняются условия измерений, часто возникает необходимость в смене операторов, замене средств измерений. Это приводит к разной точности результатов измерений. На точность результатов будет также влиять число измерений.

Для получения единого результата таких групп измерений необходимо чтобы:

- границы не исключенных систематических погрешностей в группах результатов измерений были одинаковы;

- группы результатов измерений были однородны.

Порядок систематической обработки однородных групп результатов измерений зависит от их равноточности. Если группы равноточны, то они обрабатываются как единая совокупность результатов измерений, как показано в главе 8. Если группы неравноточны, то для каждой из них вводится дополнительная характеристика – статистический вес, с учётом которого проводится дальнейшая обработка результатов измерений. Проверку однородности и равноточности групп можно выполнить по критериям, представленным в таблице 9.1.

Таблица 9.1 – Критерии для проверки групп результатов измерений

Распределение дан- ных в груп- пах Число групп		По нормальному закону		По закону, отличному от нормального
		2	≥3	2	≥3
П Р О В Е Р К А	однородности	Стьюдента	Фишера	Уилкоксона	²
	равноточности	Фишера	Бартлетта	Сиджела-Тьюки	Сиджела-Тьюки (группы попарно)

Рассмотрим порядок проверки групп с помощью перечисленных критериев.

Критерий Стьюдента оценивает допустимость различия средних арифметических значений Ā и Āвгруппах. Это различие считается допустимым, если выполняется неравенство:

≤t (9.1)

где S, S – дисперсии в группах;

n, n – объёмы групп;

t – коэффициент Стьюдента (приложение А) для заданной доверительной вероятности Р и числа степеней свободы f=n+n-2.

Критерий Фишера оценивает допустимость расхождения дисперсий групп.

Две группы считаются равноточными, если выполняется неравенство:

, (9.2)

где F - значение критерия Фишера (приложение К) для уровня значимости и числа степенной свободы=n-1, =n-1.

Для оценки однородности нескольких (более двух) групп рассчитывают:

- межгрупповую дисперсию:

S=, (9.3)

где L – число групп;

n – объём j-той группы;

–среднее арифметическое значение результатов измерений в j-той группе;

–среднее арифметическое значение по всем группам:

, (9.4)

где N – общее число результатов измерений:

; (9.5)

- внутригрупповую дисперсию:

(9.6)

Группы считаются однородными, если выполняется неравенство:

, (9.7)

где - значение критерия Фишера для уровня значимостии числа степенней свободыи.

Критерий Бартлетта оценивает равноточность групп по соотношениям внутригрупповой дисперсии с дисперсией в группах, которые определяют значение ²:

, (9.8)

где , (9.9)

с=1, если во всех группах .

Группы становятся равноточными, если , где- табличное значение² (приложение Е) для уровня значимости q и числа степеней свободы f=L-1.

Для групп, в которых результаты измерений не подчиняются нормальному закону, применяются непараметрические (ранговые) критерии.

Критерий Уилкоксона оценивает расхождение средних арифметических значений групп по суммарному рангу результатов измерений в группе меньшего объёма:

, (9.10)

где – ранги (порядковые номера) результатов измерений группы меньшего объёма в вариационном ряду, включающем результаты измерений обеих групп.

Группы считаются однородными, если выполняется неравенство:

, (9.11)

где ; (9.12)

, (9.13)

где n – объём меньшей группы;

m – объём большей группы;

–квантиль функции Лапласа для значения функции ;

Р – доверительная вероятность.

Для групп малых объемов (n+m30) значения Т табулированы (приложение М).

Критерий Сиджела-Тьюки проверяет допустимость различия рассеяния результатов по группам по условию: если выполняется неравенство (9.11), то группы считаются равноточными. Предельные значения определяются по формулам (9.12) и (9.13). Для подсчёта Т по формуле (9.10) ранги в вариационном ряду присваиваются в следующем порядке: 1- наименьшему значению , 2 - наибольшему, 3 - предыдущему перед наибольшим значением,

4 - второму после наименьшего значения, 5 - третьему после наименьшего значения, 6 - третьему перед наибольшим значением и т. п.

Критерий предусматривает группирование экспериментальных данных по одной и той же системе. Например, системе изr интервалов, как показано в таблице 9.2.

Таблица 9.2 – Схема упорядочения данных для критерия 

Интервалы	Группа данных	Сумма по строкам
	1,…………….,j,…………….,L
1 . . . i . . . r	n,………,n,…………,n . . . n,…….....,n,………….,n . . .
Объёмы групп

–число значений из j-той группы, попавших в i-тый интервал;

–общее число данных, попавших в i-тый интервал.

Интервалы группировки принимают одинаковыми (кроме крайних). Число интервалов рекомендуется принимать равным: r = 8…12 при N = 100…2000, r = 10…15 при N = 200…500.

Рассчитывают по формуле:

. (9.14)

Группы считаются однородными, если, где_q² - табличное значение (приложение Е) для уровня значимостиq и числа степенней свободы:

. (9.15)

Порядок статистической обработки однородных групп результатов измерений представлен в таблице 9.3.

Таблица 9.3 – Определение результата групп измерений

Группы Ха- ракте- ристики		Равноточные			Неравноточные
		Разных объёмов		Одинаковых объёмов
Для каждой группы	Среднее арифметическое	(9.16.)
	СКО	(9.17.)
	Статистичес-кий вес	–			(9.18.)
Общие по группам	Среднее арифметическое	(9.19.)	(9.20.)		(9.21.)
	СКО среднего арифметического	(9.22.)	(9.23.)		= (9.24.)
	Число степеней свободы для коэффициента Стьюдента (приложение А)	(9.26.)			(9.27.)
	Доверительный интервал	(9.25.)

*n – объём наименьшей группы.