7. Контрольные суммы

Правила – Избыточность -Надежность

Хранение данных и их передача часто сопровождается или может сопровож­даться ошибками. Приемнику и передатчику информации необходимо знать, что данные в потоке должны соответствовать определенным прави­лам.Приводя реальный поток в соответствие с этими правилами, приемник может восстановить его исходное содержание. Количество и типы практиче­ски восстановимых ошибок определяются применяемыми правилами коди­рования. Понятно, что всегда существует (и во многих случаях может быть теоретически оценен) порог количества ошибок в сообщении, после кото­рого сообщение не поддается даже частичному восстановлению. Соответствие потока данных тем или иным правилам теория информации описывает как наличие статистических автокорреляций илиинформационной избыточности в потоке. Такие данные всегда будут иметь больший объем, чем эквивалентные, но не соответствующие никаким правилам (например, упакованные), т. е. помехозащищенность достигается не бесплатно. Естественные языки обеспечивают очень высокую (в письменной форме двух- трехкратную, а в звуковой еще большую) избыточность за счет применения сложных фонетических, лексических и синтаксических правил.

Правила кодирования, применимые в вычислительных системах, должны удовлетворять не только требованиям теоретико-информационной оптимальности, но и быть достаточно просты для программной или аппаратной реализации.

Дублирование данных

Простейшим способом внесения избыточности является полное дублирование данных. Благодаря своей простоте, этот способ иногда применяется на практике, но обладает многочисленными недостатками. Во-первых, избыточность этого метода чрезмерно высока для многих практических применений. Во-вторых, он позволяет только обнаруживать ошибки, но не исправлять их: при отсутствии других правил кодирования, мы не можем знать, какая из копий верна, а какая ошибочна.

Троекратное копирование обеспечивает еще более высокую избыточность, зато при его использовании для каждого расходящегося бита мы можем проводить голосование: считать правильным то значение, которое присутствует минимум в двух копиях данных (в данном случае мы исходим из того, что вероятность ошибки в одном и том же бите двух копий достаточно мала). Трехкратное копирование, таким образом, позволяет восстанавливать данные, но имеет слишком уж высокую избыточность.

Бит четности

Бывают коды, которые только обнаруживают ошибки, а бывают и такие, которые позволяют их восстанавливать. Далеко не всегда коды второго типа могут быть построены на основе кодов первого типа. Во многих случаях, например при передаче данных по сети, целесообразно запросить повтор испорченного пакета, поэтому коды, способные только обнаруживать ошибки, практически полезны и широко применяются. Все данные, с которыми могут работать современные вычислительные системы, представляют собой последовательности битов, поэтому все правила, которые мы далее будем рассматривать, распространяются только на последовательности.

Простейший из применяемых способов кодирования с обнаружением ошибок — это бит четности.Блок данных снабжается дополнительным битом, значение которого выбирается так, чтобы общее количество битов, равных единице, в блоке было четным. Такой код позволяет обнаруживать ошибки в одном бите блока, но не в двух битах (строго говоря — позволяет обнаружить живать нечетное количество ошибочных битов). Если вероятность ошибки в двух битах достаточно велика, нам следует либо разбить блок на два блока меньшего размера, каждый со своим битом четности, либо использовать более сложные схемы кодирования.

Циклически избыточный код

Самая распространенная из таких более сложных схем кодирования— это CRC (Cyclic Redundancy Code, циклический избыточный код).При вычислении CRC разрядности N выбирают число R требуемой разрядности и вычисляют оста­ток от деления на R блока данных (рассматриваемого как единое двоичное число), сдвинутого влево на N бит. Двоичное число, образованное блоком данных и остатком, делится на R, и этот факт можно использовать для про­верки целостности блока (но не для восстановления данных при ошибке!). Способность контрольной суммы обнаруживать ошибки логичнее измерять не в количестве ошибочных битов, а в вероятности не обнаружения ошибки. При использовании CRC будут проходить незамеченными лишь сочетания ошибок, удовлетворяющие весьма специальному условию, а именно такие: вектор ошибок (двоичное число, единичные биты которого соответствуют ошибочным битам принятого блока, а нулевые — правильно принятым) ко­торых делится на R. При случайном распределении ошибок вероятность этого может быть грубо оценена как 1/R, поэтому увеличение разрядности контрольной суммы в сочетании с выбором простых R обеспечивает доста­точно быстрый и дешевый способ проверки целостности даже довольно длинных блоков. 32- разрядный CRC обеспечивает практически полную га­рантию того, что данные не были повреждены, а 8-разрядный — уверен­ность, достаточную для многих целей. Однако ни четность, ни CRC не мо­гут нам ничем помочь при восстановлении поврежденных данных.

Параллельная четность

Простой метод кодирования, позволяющий не только обнаруживать, но и исправлять ошибки, называется блочной или параллельной четностью и со­стоит в том, что мы записываем блок данных в виде двухмерной матрицы и подсчитываем бит четности для каждой строки и каждого столбца. При одиночной ошибке, таким образом, мы легко можем найти бит, который портит нам жизнь. Двойные ошибки такая схема кодирования может обна­руживать, но не способна восстанавливать.

0	0	1	1	0	1	1	0	0	1	1	1	0	1
1	0	0	0	0	1	0	0	0	1	1	1	1	0
1	1	1	1	1	1	1	1	1	0	0	0	0	1
1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	1	1
1	0	1	1	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0
1	1	0	0	1	1	0	0	1	0	1	0	0	0
1	1	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	1
0	1	0	0	0	0	1	1	1	0	1	0	1

Параллельная четность

Широко известный и применяемый код Хэмминга (Hamming code) находится в близком родстве с параллельной четностью.. Идея алгоритма состоит в том, чтобы снабдить блок данных несколькими битами четности, подсчи­танными по различным совокупностям битов данных. При выполнении неравенства Хэмминга (1) сформированный таким образом код обеспечивает обнаружение и исправление одиночных ошибок либо гарантированное об­наружение (но не исправление!) двойных ошибок. Важно подчеркнуть гарантию обнаружения, в отличие от всего лишь высокой вероятности обна­ружения при использовании CRC.

d+p+1<=2^P, (1)

где d — количество битов данных, р — разрядность контрольного кода.

Код, использующий d и р, при которых выражение (1) превращается в равенство, называют оптимальным кодом Хэмминга.

Часто оказывается целесообразно сочетать упаковку данных с их избыточ­ным кодированием. Наиболее удачным примером такой целесообразности опять-таки являются тексты на естественных языках: статистический анализ такого текста показывает очень высокий, более чем двукратный, уровень избыточности. С одной стороны, это слишком много для большинства практически применяемых способов цифровой передачи и кодирования данных, а с другой — правила формирования этой избыточности слишком сложны и плохо формализованы для использования в современных про­граммно-аппаратных комплексах. Поэтому для длительного хранения или передачи по низкоскоростным линиям целесообразно упаковывать текстовые данные и снабжать их простыми средствами избыточности, например CRC.