Лабораторная работа № 211.

Логические операции, равносильность формул.

Цель работы. Изучить логические операции и основные равносильности алгебры логики, научиться составлять таблицы истинности для формул алгебры логики и преобразовывать формулы, используя основные равносильности и правила поглощения.

Задание 1. Построить таблицы истинности для высказываний

1); 2); 3); 4);

5); 6); 7); 8);

9); 10).

Методические указания.

Пример. Построить таблицу истинности для высказывания

X	Y	XY
0	0	0	1	1
0	1	1	1	1
1	0	1	0	0
1	1	1	0	0

Задание 2. Используя основные равносильности алгебры логики, доказать равносильность формул:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5);

6) .

Методические указания.

Основные равносильности алгебры логики:

1. — закон двойного отрицания

2. A&B≡B&A — коммутативный закон для конъюнкции

3. AB≡BA — коммутативный закон для дизъюнкции

4. (A&B)&C≡A&(B&C) — ассоциативный закон для конъюнкции

5. (AB)C≡A(BC) — ассоциативный закон для дизъюнкции

6. A&(BC) ≡ (A&B)(A&C) — дистрибутивные законы

7. A (B&C) ≡ (AB)&(AC)

8. A&A≡A — закон идемпотентности для конъюнкции

9. AA≡A — закон идемпотентности для дизъюнкции

10. — закон де Моргана

11. — закон де Моргана

12. A&1≡A — закон единицы для конъюнкции

13. A&0≡0 — закон нуля для конъюнкции

14. A1≡1 — закон единицы для дизъюнкции

15. A0≡A — закон нуля для дизъюнкции

Пример. Доказать, что .

Решение. Закон единицы для конъюнкции позволяет заменить Х на X&1 :

.

Используя дистрибутивный закон, вынесем Х за скобки:

.

Закон единицы для дизъюнкции гласит 1Y1 , а закон единицы для дизъюнкции Х&1Х позволяет получить искомое выражение:

, что требовалось доказать.

Задание 3. Используя основные равносильности алгебры логики, а также равносильности упростить формулы:

1); 2); 3); 4);

5); 6); 7);

8);

9).

Методические указания.

Пример. Используя основные равносильности алгебры логики, а также равносильности и ,

упростить формулу: .

Решение.

Ответ:

Задание 4. (обобщающее)

Методические указания.

Логическую операцию конъюнкция в формулах алгебры логики можно опускать, т.е. выражение A&B можно записывать в виде АВ.

Пример. Для заданного высказывания

1. построить таблицу истинности;

2. упростить высказывание, используя равносильные преобразования;

3. полученный результат проверить, построив для него таблицу истинности.

Решение.

1. Таблица истинности:

Пусть

Х	Y	Z		YZ			U
0	0	0	1	0	0	1	1
0	0	1	1	0	0	1	1
0	1	0	1	0	0	0	0
0	1	1	1	1	1	0	1
1	0	0	0	0	1	0	1
1	0	1	0	0	1	0	1
1	1	0	0	0	1	1	1
1	1	1	0	1	1	1	1

2. Выполним равносильные преобразования, используя и , имеем:

в последнем преобразовании для первого и третьего слагаемых использовали правило поглощения АВАА (1), далее используем другое правило поглощения (2), получаем

Еще раз использовали правило поглощения (2).

3. Для полученного выражения построим таблицу истинности

Х	Y	Z
0	0	0	1	1	1
0	0	1	1	1	1
0	1	0	0	0	0
0	1	1	0	0	1
1	0	0	1	1	1
1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	1	1
1	1	1	0	1	1

Результирующие (последние) столбцы в двух таблицах совпали, следовательно, выполненные преобразования верны.

Задания для самостоятельной работы

Для заданного логического выражения (высказывания):

1. построить таблицу истинность;

2. упростить высказывание, используя равносильные преобразования;

3. полученный результат проверить, построив для него таблицу истинности.

Вариант		Вариант

Контрольные вопросы.

1. Какие основные логические операции вам известны?

2. Перечислите основные равносильности алгебры логики.

3. Постройте таблицы истинности для основные логические операций.