Суждение об устойчивости системы.

Исключительно важную роль в этой области сыграли работы А.В. Михайлова, которые были выполнены во Всесоюзном электротехническом институте в 1936. Он предложил вместо критерия Гауса – Гурвица использовать специально выстраиваемую в комплексной плоскости по передаточной функции системы кривую – годографа Михайлова. Оказалось, что по протеканию годографа можно с силой необходимых и достаточных условий определить, устойчива ли линеаризованная система регулирования.

Совершенно не зависимо частотные методы разрабатываются Гарри Найквистом (1932).

Развивая эту идею, Ю.И. Неймарк (1947 - 1948) разработал идею так называемого D-разбиения, которое представляет собой отображение мнимой оси в плоскости полюсов передаточной функции (или, что все равно, корней характеристического уравнения) на плоскость одного или двух параметров, входящих в параметрическое уравнение исследуемой системы линейно.

При расчете и проектировании систем автоматического регулирования иногда бывает необходимым исследовать влияние ее параметров на устойчивость. Для решения этой задачи служит построение областей устойчивости, т. е. Построение таких областей значений параметров, при которых система оказывается устойчивой.

Для построения таких областей на плоскости двух параметров А и В необходимо нанести линии, соответствующие границе устойчивости.

Для уравнений любого порядка удобно использовать критерий Михайлова. Колебательной границе устойчивости в этом случае соответствует равенство нулю характеристического комплекса D(jw, A,B) = X (w,A,b) + jY (w,A,B) = 0, т. е. Прохождение кривой Михайлова через начало координат.

Для границы устойчивости колебательного типа уравнение D (jw,A,B) = 0 распадается на два уравнения:

X (w,A,B) = 0

Y (w,A,B) = 0.

Два последних выражения представляют собой параметрические уравнения границы устойчивости при соблюдении дополнительного условия отрицательности вещественных частей всех остальных корней, кромечисто мнимых Полная же совокупность всех кривых на плоскости параметров, разбивающая всю плоскость на области с определенным распределением корней, называется D разбиением плоскости параметров.

Отдельно возникла самостоятельная задача о структурной устойчивости линеаризованных систем регулирования, т. е. о нахождении необходимых и достаточных условий того, чтобы система, имеющая определенную структуру, могла или, наоборот, не могла быть сделана устойчивой за счет выбора параметров ее элементов. Эта задача была поставлена и полностью решена М.А. Айзерманом (1948) для одноконтурных систем, т. е. для систем, показанных на рис.308 при отсутствии внутренних обратных связей и при любом числе элементов в системе. Для систем такого рода была доказана важная теорема о критическом значении коэффициента усиления: оказалось, что для любой одноконтурной системы имеется такое значение коэффициента усиления К_КР, что система устойчива при любом положительном К<К_КР и не устойчива при любом К>К_КР.

Качество процесса регулирования.

Под понятием «качество процесса» понимают совокупность некоторых характеристик, свойственных линеаризованным дифференциальным уравнениям процесса регулирования, если на какой-нибудь элемент схемы действуют внешние воздействия, т. е. заданная извне функция времени, например единичная функция Хевисайда. Такими параметрами являются: статическая ошибка, т. е. отклонение регулируемой координаты от нуля при t ->; наибольшее отклонение регулируемой величины в ходе переходного процесса; колебательность или монотонность процесса и т. д. Оценку этих параметров, не интегрируя линеаризованные дифференциальные уравнения процесса, делают либо по расположению в комплексной плоскости нулей и полюсов передаточной функции системы, либо по протеканию частотных характеристик системы или, наконец, применяя так называемые интегральные оценки.

Пусть в комплексной плоскости размещены все полюсы передаточной функции, т.е. нули характеристического уравнения исследуемой системы. Расстояние от мнимой оси до ближайшего полюса называется степенью устойчивости и позволяет косвенно оценить время переходного процесса. Значение наименьшего угла в комплексной плоскости с вершиной в начале координат, имеющего отрицательную действительную ось своей биссектрисой и содержащего внутри угла все полюсы передаточной функции, позволяет оценить наибольшее отклонение регулируемого параметра, которое в технических задачах называется перерегулирование.

Иной путь, также имеющий обширную литературу, связан с оценкой параметров переходного процесса по протеканию частотной характеристики системы. Оказывается, по виду частотной характеристики можно судить о многих особенностях процесса. Более того, используя основную идею интеграла Фурье, можно с помощью одной квадратуры в действительной области построить переходной процесс в линеаризованной системе любого порядка. Важнейшими результатами, полученными в данном направлении, являются: обобщение частотного метода на нулевые начальные условия и широкий класс типовых воздействий, установление свойств критериев и теорем, позволяющих судить о качестве и характере переходного процесса непосредственно по виду частотных характеристик, разработка метода трапецеидальных частотных характеристик для построения переходных процессов, и создание метода синтеза корректирующих устройств при помощи логарифмических частотных характеристик (В. В. Солодовников, конец 40х - начало 60х годов).

Идея интегральных оценок связана с тем, что интеграл от переходного процесса во времени в любой линеаризованной системе либо от квадрата отклонения регулируемой величины, либо даже связанной с ней квадратичной формы, можно подсчитать, не зная самого переходного процесса, например по частотным характеристикам.

Первое применение метода интегральных оценок в теории регулирования было сделано Виктором Сергеевичем Кулебакиным, предложившем в 1940 оценивать качество переходного процесса по ограничиваемой им площади. Позже этот метод получил существенное развитие в работах Александра Аркадьевича Красовского и Александра Ароновича Фельдбаума.

Как важные прикладные задачи, так и стройность симметрии общетеоретических построений привели к необходимости аналогичного рассмотрения систем, которые описываются не дифференциальными, а разностными уравнениями. Благодаря основополагающим работам и книгам Э. Джури (1958) и Я.З. Ципкина все основные результаты, полученные для непрерывного случая, были перенесены на дискретные задачи. Более того, было показано, что в дискретных задачах возникают новые методы и результаты, которые не имеют непосредственных аналогов в непрерывном случае.

В 1948 Я.З. Ципкин предлагает частотный критерий устойчивости дискретных систем, а затем на основе дискретного преобразования Лапласа создает основы общей теории таких систем, формально подобную теории линейных непрерывных систем. Начиная с 1952, им успешно решены проблемы качества и динамической точности дискретных систем. В 1958 выходит книга «Теория импульсных систем», в которой Я.З. Ципкин с единых позиций излагает общую теорию анализу и синтеза дискретных систем управления. Изложенное исчерпывает в общих чертах то, что получило название классической теории линеаризованных систем автоматического регулирования и было в основном закончено к 70м годам ХХв; дальнейшее построение теории регулирования в ХХв было связано с анализом нелинейных задач и с использованием тех возможностей, которые были привлечены в систему регулирования и управления техникой электронных вычислительных машин.

Нелинейные задачи теории автоматического регулирования и управления.

Создание линеаризованных систем регулирования было отмечено тем, что полное решение таких систем может быть легко выведено, а аппарат преобразования Лапласа и Фурье удобен для их анализа. Иначе дело обстоит в нелинейных задачах, когда дифференциальные уравнения звеньев, а значит, и системы в целом не линеаризуются переходом к малым колебаниям около положения исследуемого равновесия. Не только построения общего решения, но даже поиск периодических решений – сложная и не всегда доводимая до окончательного решения задача.

С нелинейными задачами исследователи столкнулись еще в 19в, когда при изучении центробежных регуляторов паровых машин возник вопрос об учете сухого (подчиняющегося закону Кулона) трения в сочленениях регулятора. Характеристика такого трения разрывна, его физическая природа обуславливает остановки («зоны застоя») муфты регулятора на отдельных этапах движения. И.А. Вышнеградский пренебрег наличием сухого трения, и это сделало его работу предметом критики. В дальнейшем к анализу влияние сухого трения на процесс регулирования обращались Л. Лекорню, Н.Е.Жуковский, Я.И.Грозина, Н.Э.Рерих и др. исследователи, но в конечном счете дело сводилось к сложным числовым расчетам, которые в те времена требовали огромных затрат времени.

К классическим задачам такого рода вернулся Александр Александрович Андронов (и его сотрудники), который точно сформулировал смысл, вкладываемый в слова «полное решение нелинейной задачи». Для А.А.Андронова это означало выявление всех возможных топологических структур фазового пространства в исследуемых задачах, т.е. всех возможных аттракторов, сепаратрисс, их взаимных расположений и т.д., разбиение пространства параметров системы на области, каждая из которых соответствует конкретной топологической структуре фазового пространства. Для классически задач о влиянии сухого трения и некоторых иных более сложных кусочно–линейных задач такое полное решение удалось построить благодаря изобретению метода точечных изображений, при которых для каждой области фазового пространства, где нелинейная характеристика не терпит разрыва, фазовые траектории осуществляют точечное отображение одной гиперплоскости в другую, которая поддается изучению.

Совершенно иной путь анализа нелинейных систем был связан с привлечением т.н. «метода малого» типа известных методов Пуанкаре, Ван дер Поле, Н.Н.Боголюбова, и др. Применительно к задачам регулирования эти методы использовал Лев Семенович Гольдфарб. Для применения этих методов им была разработана простая форма графического построения, в которой участвуют частотная характеристика линейной части системы и специальная характеристика, выстраиваемая для нелинейного элемента. Метод Гольдфарба широко вошел в литературу, т.к. позволял легко найти периодические режимы, а в некоторых случаях даже судить об их устойчивости.

В 1934 Н.М.Крыловым и Н.Н. Боголюбовым была предложена идея метода гармонической линеаризации. Другие названия этого метода-метод гармонического баланса, метод описывающих функций, метод эквивалентной линеаризации. Он позволяет определять условия существования и параметры возможных автоколебаний в нелинейных системах.

Трудности, связанные с общим решением нелинейных систем, сделали естественным выделение класса задач, для которых сама постановка казалась более простой и доступной. Рассмотрим систему, показанную на рис.309.

Она состоит из произвольной линейной части, описываемой уравнением D(p)x=K(p)y, которая замкнута нелинейной обратной связью y=f(x).

Если в системах такого рода положить просто f=kx, то в плоскости x,f(x) может быть проведен луч через начало координат, такой, что при любом К из этого луча соответствующая линейная система устойчива. Означает ли это, что при замене y=kx на у=f(x) при условии, что такое стационарная или нестационарная характеристика не выходит за рамки этого луча, фазовое пространство соответствующей нелинейной системы топологически эквивалентно фазовому пространству устойчивой линейной системы. Такие системы были названы абсолютно устойчивыми. Для исследования таких систем стали применятся методы Ляпунова. Оказалось, что функции Ляпунова в виде квадратичной формы определяют достаточно широкий угол, обеспечивающий абсолютную устойчивость.

В 1960 румынский ученый В.М. Попов обнародовал неожиданный результат: оказывается, может быть построен аналог частотной характеристики линейной части системы, знание которого достаточно для того, чтобы определить луч, в котором обеспечивается абсолютная устойчивость.

Перечисленные результаты в основном исчерпывают то, что принято называть классической теорией управления, и дальнейшее ее разбиение было связано с кардинальным изменением самой постановки задачи и, соответственно, сменой привлекаемого для решения ее математического аппарата - классического вариационного исчисления и его дальнейшего развития.

Вариационный подход к задачам управления.

Во всех предшествующих работах внешнее воздействие на регулируемый объект рассматривалось как нагрузка или помеха и задача регулятора (т.е. замыкание системы обратной связи) рассматривалось как способ скомпенсировать это воздействие или, иначе говоря, по возможности удержать отклонение регулируемой величины вблизи заданного значения.

В первые послевоенные годы, главным образом в связи с задачами военной техники (управление первыми реактивными снарядами, радарами, системами слежения и наведения в артиллерии и т. д.) привели к совершенно иной постановке задачи. Воздействие f(t) начали рассматривать не как помеху или нагрузку, а как управляющее воздействие в полном смысле этого слова. Его задача состояла в том, чтобы перевести координату x из одного значения в другое в некотором смысле наилучшим образом. Заданные дифференциальные уравнения системы, все равно исходные нелинейные или линеаризованные, рассматривались как ограничение; именно на их решения искалась экстремаль задачи. Помимо того, ограничения могли быть заданы какими-либо равенствами или не равенствами на сами значения координат x (типичный пример – ограничения на фазовые координаты). Первоначально задачи такого типа ставились не для общей задачи управления, а для некоторых специальных задач, в которых вид функционала очевиден. Так, например, А.Я.Лернер поставил задачу о переводе системы из одного состояния в другое в кратчайшее время. А.А. Фельдбаум понял ее общий характер для задачи управления и поставил вопрос о ее решении перед математиками (Лев Семеонович Понтрягин, Ревоз Валерианович Галкрелидзе, В.Г. Балтянский, Е.Ф. Мащенко), которые предложили ее элегантное решение, получившее во всем мире название принципа максимума Понтрягина.

Независимо от этой серии русских работ и несколько ранее в США Ричард Беллман предложил применить вариационный подход для несколько другой проблемы – для проблемы оптимального размещения ресурсов. Однако вскоре Р.Беллман понял, что речь идет об общевариационной постановке задачи управления, и разработал свой метод решения таких задач, получивший название метода динамического программирования (1961-1962). Появление работы Р.Беллмана вызвало огромное количество публикаций разных авторов во многих странах мира и сделало как вариационную постановку задачи теории управления, так и метод динамического программирования весьма популярным.

Л.И.Розоноэр, опубликовавший первым доказательство принципа максимума Понтрягина, обратил внимание на далеко идущую аналогию между принципом максимума Понтрягина и динамическим программированием Беллмана с одной стороны, и между управлениями Гамильтона и Гамильтона-Якоби классической механики, с другой стороны.

После этой работы, которая принципиальную ясность в проблему, дальнейшее развитие теории оптимального управления было связано с развитием техники вычисления экстремали, переносом результатов на дискретный случай, с постепенным усложнением задачи, учетом нового типа ограничений и с нахождением различных новых областей применения оптимизационных задач.