ЗО Изд / 2012-2013 / Сист Счисл / Теория / Основы систем счисления Хабрахабр

Основы систем счисления / Хабрахабр var _gaq = window._gaq || []; window.onerror = function(msg, url, line) { //var preventErrorAlert = true; //_gaq.push(['_trackEvent', 'JS Error', msg, navigator.userAgent + ' -> ' + url + " : " + line]); //return preventErrorAlert; }; jQuery.error = function (message) { _gaq.push(['_trackEvent', 'jQuery Error', message, navigator.userAgent]); } .fb_hidden{position:absolute;top:-10000px;z-index:10001} .fb_invisible{display:none} .fb_reset{background:none;border-spacing:0;border:0;color:#000;cursor:auto;direction:ltr;font-family:"lucida grande", tahoma, verdana, arial, sans-serif;font-size:11px;font-style:normal;font-variant:normal;font-weight:normal;letter-spacing:normal;line-height:1;margin:0;overflow:visible;padding:0;text-align:left;text-decoration:none;text-indent:0;text-shadow:none;text-transform:none;visibility:visible;white-space:normal;word-spacing:normal} .fb_link img{border:none} .fb_dialog{background:rgba(82, 82, 82, .7);position:absolute;top:-10000px;z-index:10001} .fb_dialog_advanced{padding:10px;-moz-border-radius:8px;-webkit-border-radius:8px;border-radius:8px} .fb_dialog_content{background:#fff;color:#333} .fb_dialog_close_icon{background:url(http://static.ak.fbcdn.net/rsrc.php/v2/yA/x/IE9JII6Z1Ys.png) no-repeat scroll 0 0 transparent;_background-image:url(http://static.ak.fbcdn.net/rsrc.php/v2/y6/x/s816eWC-2sl.gif);cursor:pointer;display:block;height:15px;position:absolute;right:18px;top:17px;width:15px;top:8px\9;right:7px\9} .fb_dialog_mobile .fb_dialog_close_icon{top:5px;left:5px;right:auto} .fb_dialog_padding{background-color:transparent;position:absolute;width:1px;z-index:-1} .fb_dialog_close_icon:hover{background:url(http://static.ak.fbcdn.net/rsrc.php/v2/yA/x/IE9JII6Z1Ys.png) no-repeat scroll 0 -15px transparent;_background-image:url(http://static.ak.fbcdn.net/rsrc.php/v2/y6/x/s816eWC-2sl.gif)} .fb_dialog_close_icon:active{background:url(http://static.ak.fbcdn.net/rsrc.php/v2/yA/x/IE9JII6Z1Ys.png) no-repeat scroll 0 -30px transparent;_background-image:url(http://static.ak.fbcdn.net/rsrc.php/v2/y6/x/s816eWC-2sl.gif)} .fb_dialog_loader{background-color:#f2f2f2;border:1px solid #606060;font-size:24px;padding:20px} .fb_dialog_top_left, .fb_dialog_top_right, .fb_dialog_bottom_left, .fb_dialog_bottom_right{height:10px;width:10px;overflow:hidden;position:absolute} .fb_dialog_top_left{background:url(http://static.ak.fbcdn.net/rsrc.php/v2/yR/x/8YeTNIlTZjm.png) no-repeat 0 0;left:-10px;top:-10px} .fb_dialog_top_right{background:url(http://static.ak.fbcdn.net/rsrc.php/v2/yR/x/8YeTNIlTZjm.png) no-repeat 0 -10px;right:-10px;top:-10px} .fb_dialog_bottom_left{background:url(http://static.ak.fbcdn.net/rsrc.php/v2/yR/x/8YeTNIlTZjm.png) no-repeat 0 -20px;bottom:-10px;left:-10px} .fb_dialog_bottom_right{background:url(http://static.ak.fbcdn.net/rsrc.php/v2/yR/x/8YeTNIlTZjm.png) no-repeat 0 -30px;right:-10px;bottom:-10px} .fb_dialog_vert_left, .fb_dialog_vert_right, .fb_dialog_horiz_top, .fb_dialog_horiz_bottom{position:absolute;background:#525252;filter:alpha(opacity=70);opacity:.7} .fb_dialog_vert_left, .fb_dialog_vert_right{width:10px;height:100%} .fb_dialog_vert_left{margin-left:-10px} .fb_dialog_vert_right{right:0;margin-right:-10px} .fb_dialog_horiz_top, .fb_dialog_horiz_bottom{width:100%;height:10px} .fb_dialog_horiz_top{margin-top:-10px} .fb_dialog_horiz_bottom{bottom:0;margin-bottom:-10px} .fb_dialog_iframe{line-height:0} .fb_dialog_content .dialog_title{background:#6d84b4;border:1px solid #3b5998;color:#fff;font-size:14px;font-weight:bold;margin:0} .fb_dialog_content .dialog_title > span{background:url(http://static.ak.fbcdn.net/rsrc.php/v2/yD/x/Cou7n-nqK52.gif) no-repeat 5px 50%;float:left;padding:5px 0 7px 26px} body.fb_hidden{-webkit-transform:none;height:100%;margin:0;left:-10000px;overflow:visible;position:absolute;top:-10000px;width:100% } .fb_dialog.fb_dialog_mobile.loading{background:url(http://static.ak.fbcdn.net/rsrc.php/v2/yc/x/3rhSv5V8j3o.gif) white no-repeat 50% 50%;min-height:100%;min-width:100%;overflow:hidden;position:absolute;top:0;z-index:10001} .fb_dialog.fb_dialog_mobile.loading.centered{max-height:590px;min-height:590px;max-width:500px;min-width:500px} #fb-root #fb_dialog_ipad_overlay{background:rgba(0, 0, 0, .45);position:absolute;left:0;top:0;width:100%;min-height:100%;z-index:10000} #fb-root #fb_dialog_ipad_overlay.hidden{display:none} .fb_dialog.fb_dialog_mobile.loading iframe{visibility:hidden} .fb_dialog_content .dialog_header{-webkit-box-shadow:white 0 1px 1px -1px inset;background:-webkit-gradient(linear, 0 0, 0 100%, from(#738ABA), to(#2C4987));border-bottom:1px solid;border-color:#1d4088;color:#fff;font:14px Helvetica, sans-serif;font-weight:bold;text-overflow:ellipsis;text-shadow:rgba(0, 30, 84, .296875) 0 -1px 0;vertical-align:middle;white-space:nowrap} .fb_dialog_content .dialog_header table{-webkit-font-smoothing:subpixel-antialiased;height:43px;width:100% } .fb_dialog_content .dialog_header td.header_left{font-size:12px;padding-left:5px;vertical-align:middle;width:60px } .fb_dialog_content .dialog_header td.header_right{font-size:12px;padding-right:5px;vertical-align:middle;width:60px } .fb_dialog_content .touchable_button{background:-webkit-gradient(linear, 0 0, 0 100%, from(#4966A6), color-stop(0.5, #355492), to(#2A4887));border:1px solid #29447e;-webkit-background-clip:padding-box;-webkit-border-radius:3px;-webkit-box-shadow:rgba(0, 0, 0, .117188) 0 1px 1px inset, rgba(255, 255, 255, .167969) 0 1px 0;display:inline-block;margin-top:3px;max-width:85px;line-height:18px;padding:4px 12px;position:relative} .fb_dialog_content .dialog_header .touchable_button input{border:none;background:none;color:#fff;font:12px Helvetica, sans-serif;font-weight:bold;margin:2px -12px;padding:2px 6px 3px 6px;text-shadow:rgba(0, 30, 84, .296875) 0 -1px 0} .fb_dialog_content .dialog_header .header_center{color:#fff;font-size:16px;font-weight:bold;line-height:18px;text-align:center;vertical-align:middle} .fb_dialog_content .dialog_content{background:url(http://static.ak.fbcdn.net/rsrc.php/v2/yJ/x/jKEcVPZFk-2.gif) no-repeat 50% 50%;border:1px solid #555;border-bottom:0;border-top:0;height:150px} .fb_dialog_content .dialog_footer{background:#f2f2f2;border:1px solid #555;border-top-color:#ccc;height:40px} #fb_dialog_loader_close{float:left} .fb_dialog.fb_dialog_mobile .fb_dialog_close_button{text-shadow:rgba(0, 30, 84, .296875) 0 -1px 0} .fb_dialog.fb_dialog_mobile .fb_dialog_close_icon{visibility:hidden} .fb_iframe_widget{position:relative;display:-moz-inline-block;display:inline-block} .fb_iframe_widget iframe{position:absolute} .fb_iframe_widget_lift{z-index:1} .fb_iframe_widget span{position:relative;display:inline-block;vertical-align:text-bottom;text-align:justify} .fb_hide_iframes iframe{position:relative;left:-10000px} .fb_iframe_widget_loader{position:relative;display:inline-block} .fb_iframe_widget_fluid{display:inline} .fb_iframe_widget_loader iframe{min-height:32px;z-index:2;zoom:1} .fb_iframe_widget_loader .FB_Loader{background:url(http://static.ak.fbcdn.net/rsrc.php/v2/yJ/x/jKEcVPZFk-2.gif) no-repeat;height:32px;width:32px;margin-left:-16px;position:absolute;left:50%;z-index:4} .fb_button_simple, .fb_button_simple_rtl{background-image:url(http://static.ak.fbcdn.net/rsrc.php/v2/yH/x/eIpbnVKI9lR.png);background-repeat:no-repeat;cursor:pointer;outline:none;text-decoration:none} .fb_button_simple_rtl{background-position:right 0} .fb_button_simple .fb_button_text{margin:0 0 0 20px;padding-bottom:1px} .fb_button_simple_rtl .fb_button_text{margin:0 10px 0 0} a.fb_button_simple:hover .fb_button_text, a.fb_button_simple_rtl:hover .fb_button_text, .fb_button_simple:hover .fb_button_text, .fb_button_simple_rtl:hover .fb_button_text{text-decoration:underline} .fb_button, .fb_button_rtl{background:#29447e url(http://static.ak.fbcdn.net/rsrc.php/v2/yl/x/FGFbc80dUKj.png);background-repeat:no-repeat;cursor:pointer;display:inline-block;padding:0 0 0 1px;text-decoration:none;outline:none} .fb_button .fb_button_text, .fb_button_rtl .fb_button_text{background:#5f78ab url(http://static.ak.fbcdn.net/rsrc.php/v2/yl/x/FGFbc80dUKj.png);border-top:solid 1px #879ac0;border-bottom:solid 1px #1a356e;color:#fff;display:block;font-family:"lucida grande",tahoma,verdana,arial,sans-serif;font-weight:bold;padding:2px 6px 3px 6px;margin:1px 1px 0 21px;text-shadow:none} a.fb_button, a.fb_button_rtl, .fb_button, .fb_button_rtl{text-decoration:none} a.fb_button:active .fb_button_text, a.fb_button_rtl:active .fb_button_text, .fb_button:active .fb_button_text, .fb_button_rtl:active .fb_button_text{border-bottom:solid 1px #29447e;border-top:solid 1px #45619d;background:#4f6aa3;text-shadow:none} .fb_button_xlarge, .fb_button_xlarge_rtl{background-position:left -60px;font-size:24px;line-height:30px} .fb_button_xlarge .fb_button_text{padding:3px 8px 3px 12px;margin-left:38px} a.fb_button_xlarge:active{background-position:left -99px} .fb_button_xlarge_rtl{background-position:right -268px} .fb_button_xlarge_rtl .fb_button_text{padding:3px 8px 3px 12px;margin-right:39px} a.fb_button_xlarge_rtl:active{background-position:right -307px} .fb_button_large, .fb_button_large_rtl{background-position:left -138px;font-size:13px;line-height:16px} .fb_button_large .fb_button_text{margin-left:24px;padding:2px 6px 4px 6px} a.fb_button_large:active{background-position:left -163px} .fb_button_large_rtl{background-position:right -346px} .fb_button_large_rtl .fb_button_text{margin-right:25px} a.fb_button_large_rtl:active{background-position:right -371px} .fb_button_medium, .fb_button_medium_rtl{background-position:left -188px;font-size:11px;line-height:14px} a.fb_button_medium:active{background-position:left -210px} .fb_button_medium_rtl{background-position:right -396px} .fb_button_text_rtl, .fb_button_medium_rtl .fb_button_text{padding:2px 6px 3px 6px;margin-right:22px} a.fb_button_medium_rtl:active{background-position:right -418px} .fb_button_small, .fb_button_small_rtl{background-position:left -232px;font-size:10px;line-height:10px} .fb_button_small .fb_button_text{padding:2px 6px 3px;margin-left:17px} a.fb_button_small:active, .fb_button_small:active{background-position:left -250px} .fb_button_small_rtl{background-position:right -440px} .fb_button_small_rtl .fb_button_text{padding:2px 6px;margin-right:18px} a.fb_button_small_rtl:active{background-position:right -458px} .fb_share_count_wrapper{position:relative;float:left} .fb_share_count{background:#b0b9ec none repeat scroll 0 0;color:#333;font-family:"lucida grande", tahoma, verdana, arial, sans-serif;text-align:center} .fb_share_count_inner{background:#e8ebf2;display:block} .fb_share_count_right{margin-left:-1px;display:inline-block} .fb_share_count_right .fb_share_count_inner{border-top:solid 1px #e8ebf2;border-bottom:solid 1px #b0b9ec;margin:1px 1px 0 1px;font-size:10px;line-height:10px;padding:2px 6px 3px;font-weight:bold} .fb_share_count_top{display:block;letter-spacing:-1px;line-height:34px;margin-bottom:7px;font-size:22px;border:solid 1px #b0b9ec} .fb_share_count_nub_top{border:none;display:block;position:absolute;left:7px;top:35px;margin:0;padding:0;width:6px;height:7px;background-repeat:no-repeat;background-image:url(http://static.ak.fbcdn.net/rsrc.php/v2/yP/x/bSOHtKbCGYI.png)} .fb_share_count_nub_right{border:none;display:inline-block;padding:0;width:5px;height:10px;background-repeat:no-repeat;background-image:url(http://static.ak.fbcdn.net/rsrc.php/v2/yL/x/i_oIVTKMYsL.png);vertical-align:top;background-position:right 5px;z-index:10;left:2px;margin:0 2px 0 0;position:relative} .fb_share_no_count{display:none} .fb_share_size_Small .fb_share_count_right .fb_share_count_inner{font-size:10px} .fb_share_size_Medium .fb_share_count_right .fb_share_count_inner{font-size:11px;padding:2px 6px 3px;letter-spacing:-1px;line-height:14px} .fb_share_size_Large .fb_share_count_right .fb_share_count_inner{font-size:13px;line-height:16px;padding:2px 6px 4px;font-weight:normal;letter-spacing:-1px} .fb_share_count_hidden .fb_share_count_nub_top, .fb_share_count_hidden .fb_share_count_top, .fb_share_count_hidden .fb_share_count_nub_right, .fb_share_count_hidden .fb_share_count_right{visibility:hidden} .fb_connect_bar_container div, .fb_connect_bar_container span, .fb_connect_bar_container a, .fb_connect_bar_container img, .fb_connect_bar_container strong{background:none;border-spacing:0;border:0;direction:ltr;font-style:normal;font-variant:normal;letter-spacing:normal;line-height:1;margin:0;overflow:visible;padding:0;text-align:left;text-decoration:none;text-indent:0;text-shadow:none;text-transform:none;visibility:visible;white-space:normal;word-spacing:normal;vertical-align:baseline} .fb_connect_bar_container{position:fixed;left:0 !important;right:0 !important;height:42px !important;padding:0 25px !important;margin:0 !important;vertical-align:middle !important;border-bottom:1px solid #333 !important;background:#3b5998 !important;z-index:99999999 !important;overflow:hidden !important} .fb_connect_bar_container_ie6{position:absolute;top:expression(document.compatMode=="CSS1Compat"? document.documentElement.scrollTop+"px":body.scrollTop+"px")} .fb_connect_bar{position:relative;margin:auto;height:100%;width:100%;padding:6px 0 0 0 !important;background:none;color:#fff !important;font-family:"lucida grande", tahoma, verdana, arial, sans-serif !important;font-size:13px !important;font-style:normal !important;font-variant:normal !important;font-weight:normal !important;letter-spacing:normal !important;line-height:1 !important;text-decoration:none !important;text-indent:0 !important;text-shadow:none !important;text-transform:none !important;white-space:normal !important;word-spacing:normal !important} .fb_connect_bar a:hover{color:#fff} .fb_connect_bar .fb_profile img{height:30px;width:30px;vertical-align:middle;margin:0 6px 5px 0} .fb_connect_bar div a, .fb_connect_bar span, .fb_connect_bar span a{color:#bac6da;font-size:11px;text-decoration:none} .fb_connect_bar .fb_buttons{float:right;margin-top:7px} .fb_edge_widget_with_comment{position:relative;*z-index:1000} .fb_edge_widget_with_comment span.fb_edge_comment_widget{position:absolute} .fb_edge_widget_with_comment span.fb_send_button_form_widget{z-index:1} .fb_edge_widget_with_comment span.fb_send_button_form_widget .FB_Loader{left:0;top:1px;margin-top:6px;margin-left:0;background-position:50% 50%;background-color:#fff;height:150px;width:394px;border:1px #666 solid;border-bottom:2px solid #283e6c;z-index:1} .fb_edge_widget_with_comment span.fb_send_button_form_widget.dark .FB_Loader{background-color:#000;border-bottom:2px solid #ccc} .fb_edge_widget_with_comment span.fb_send_button_form_widget.siderender .FB_Loader{margin-top:0} .fbpluginrecommendationsbarleft, .fbpluginrecommendationsbarright{position:fixed !important;bottom:0;z-index:999} /* @noflip */ .fbpluginrecommendationsbarleft{left:10px} /* @noflip */ .fbpluginrecommendationsbarright{right:10px} (function(){ var custom = {}; custom[1] = 'programming'; new adriver("topline", {sid:176776, bt:52, bn:1, custom: custom}); })(); var img = new Image(); img.src = 'http://www.tns-counter.ru/V13a***R>' + document.referrer.replace(/\*/g,'%2a') + '*thematicmedia_ru/ru/UTF-8/tmsec=habrahabr_total/' + Math.round(Math.random() * 1000000000); <img src="http://www.tns-counter.ru/V13a****thematicmedia_ru/ru/UTF-8/tmsec=habrahabr_total/" width="1" height="1" alt=""> войти зарегистрироваться постыq&aсобытияхабыкомпании <a href="http://ad.adriver.ru/cgi-bin/click.cgi?sid=176776&bt=25&pz=0&rnd=795668059" target=_top> <img src="http://ad.adriver.ru/cgi-bin/rle.cgi?sid=176776&bt=25&pz=0&rnd=795668059" alt="-AdRiver-" border=0 width=135 height=35></a> 18 июля 2011 в 21:33 Основы систем счисления из песочницы Программирование* Изучая кодировки, я понял, что недостаточно хорошо понимаю системы счислений. Тем не менее, часто использовал 2-, 8-, 10-, 16-ю системы, переводил одну в другую, но делалось все на “автомате”. Прочитав множество публикаций, я был удивлен отсутствием единой, написанной простым языком, статьи по столь базовому материалу. Именно поэтому решил написать свою, в которой постарался доступно и по порядку изложить основы систем счисления.

Введение

Система счисления — это способ записи (представления) чисел.

Что под этим подразумевается? Например, вы видите перед собой несколько деревьев. Ваша задача — их посчитать. Для этого можно — загибать пальцы, делать зарубки на камне (одно дерево — один палец\зарубка) или сопоставить 10 деревьям какой-нибудь предмет, например, камень, а единичному экземпляру — палочку и выкладывать их на землю по мере подсчета. В первом случае число представляется, как строка из загнутых пальцев или зарубок, во втором — композиция камней и палочек, где слева — камни, а справа — палочки

Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные, а позиционные, в свою очередь, — на однородные и смешанные.

Непозиционная — самая древняя, в ней каждая цифра числа имеет величину, не зависящую от её позиции (разряда). То есть, если у вас 5 черточек — то число тоже равно 5, поскольку каждой черточке, независимо от её места в строке, соответствует всего 1 один предмет.

Позиционная система — значение каждой цифры зависит от её позиции (разряда) в числе. Например, привычная для нас 10-я система счисления — позиционная. Рассмотрим число 453. Цифра 4 обозначает количество сотен и соответствует числу 400, 5 — кол-во десяток и аналогично значению 50, а 3 — единиц и значению 3. Как видим — чем больше разряд — тем значение выше. Итоговое число можно представить, как сумму 400+50+3=453.

Однородная система — для всех разрядов (позиций) числа набор допустимых символов (цифр) одинаков. В качестве примера возьмем упоминавшуюся ранее 10-ю систему. При записи числа в однородной 10-й системе вы можете использовать в каждом разряде исключительно одну цифру от 0 до 9, таким образом, допускается число 450 (1-й разряд — 0, 2-й — 5, 3-й — 4), а 4F5 — нет, поскольку символ F не входит в набор цифр от 0 до 9.

Смешанная система — в каждом разряде (позиции) числа набор допустимых символов (цифр) может отличаться от наборов других разрядов. Яркий пример — система измерения времени. В разряде секунд и минут возможно 60 различных символов (от «00» до «59»), в разряде часов – 24 разных символа (от «00» до «23»), в разряде суток – 365 и т. д.

Непозиционные системы

Как только люди научились считать — возникла потребность записи чисел. В начале все было просто — зарубка или черточка на какой-нибудь поверхности соответствовала одному предмету, например, одному фрукту. Так появилась первая система счисления — единичная.

Единичная система счисления

Число в этой системе счисления представляет собой строку из черточек (палочек), количество которых равно значению данного числа. Таким образом, урожай из 100 фиников будет равен числу, состоящему из 100 черточек.

Но эта система обладает явными неудобствами — чем больше число — тем длиннее строка из палочек. Помимо этого, можно легко ошибиться при записи числа, добавив случайно лишнюю палочку или, наоборот, не дописав.

Для удобства, люди стали группировать палочки по 3, 5, 10 штук. При этом, каждой группе соответствовал определенный знак или предмет. Изначально для подсчета использовались пальцы рук, поэтому первые знаки появились для групп из 5 и 10 штук (единиц). Все это позволило создать более удобные системы записи чисел.

Древнеегипетская десятичная система

В Древнем Египте использовались специальные символы (цифры) для обозначения чисел 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106, 107. Вот некоторые из них:

Почему она называется десятичной? Как писалось выше — люди стали группировать символы. В Египте — выбрали группировку по 10, оставив без изменений цифру “1”. В данном случае, число 10 называется основанием десятичной системы счисления, а каждый символ — представление числа 10 в какой-то степени.

Числа в древнеегипетской системе счисления записывались, как комбинация этих

символов, каждый из которых повторялся не более девяти раз. Итоговое значение равнялось сумме элементов числа. Стоит отметить, что такой способ получения значения свойственен каждой непозиционной системе счисления. Примером может служить число 345:

Вавилонская шестидесятеричная система

В отличии от египетской, в вавилонской системе использовалось всего 2 символа: “прямой” клин — для обозначения единиц и “лежачий” — для десятков. Чтобы определить значение числа необходимо изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинается с появления прямого клина после лежачего. В качестве примера возьмем число 32:

Число 60 и все его степени так же обозначаются прямым клином, что и “1”. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной.

Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а большие значения — в позиционной с основанием 60. Число 92:

Запись числа была неоднозначной, поскольку не существовало цифры обозначающей ноль. Представление числа 92 могло обозначать не только 92=60+32, но и, например, 3632=3600+32. Для определения абсолютного значения числа был введен специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда, что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа:

Теперь число 3632 следует записывать, как:

Шестидесятеричная вавилонская система — первая система счисления, частично основанная на позиционном принципе. Данная система счисления используется и сегодня, например, при определении времени — час состоит из 60 минут, а минута из 60 секунд.

Римская система

Римская система не сильно отличается от египетской. В ней для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, L, C, D и M соответственно. Число в римской системе счисления — это набор стоящих подряд цифр.

Методы определения значения числа:

Значение числа равно сумме значений его цифр. Например, число 32 в римской системе счисления имеет вид XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32

Если слева от большей цифры стоит меньшая, то значение равно разности между большей и меньшей цифрами. При этом, левая цифра может быть меньше правой максимум на один порядок: так, перед L(50) и С(100) из «младших» может стоять только X(10), перед D(500) и M(1000) — только C(100), перед V(5) — только I(1); число 444 в рассматриваемой системе счисления будет записано в виде CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.

Значение равно сумме значений групп и цифр, не подходящих под 1 и 2 пункты.

Помимо цифирных, существуют и буквенные (алфавитные) системы счисления, вот некоторые из них:

1) Славянская

2) Греческая (ионийская)

Позиционные системы счисления

Как упоминалось выше — первые предпосылки к появлению позиционной системы возникли в древнем Вавилоне. В Индии система приняла форму позиционной десятичной нумерации с применением нуля, а у индусов эту систему чисел заимствовали арабы, от которых её переняли европейцы. По каким-то причинам, в Европе за этой системой закрепилось название “арабская”.

Десятичная система счисления

Это одна из самых распространенных систем счисления. Именно её мы используем, когда называем цену товара и произносим номер автобуса. В каждом разряде (позиции) может использоваться только одна цифра из диапазона от 0 до 9. Основанием системы является число 10.

Для примера возьмем число 503. Если бы это число было записано в непозиционной системе, то его значение равнялось 5+0+3 = 8. Но у нас — позиционная система и значит каждую цифру числа необходимо умножить на основание системы, в данном случае число “10”, возведенное в степень, равную номеру разряда. Получается, значение равно 5*102 + 0*101 + 3*100 = 500+0+3 = 503. Чтобы избежать путаницы при одновременной работе с несколькими системами счисления основание указывается в качестве нижнего индекса. Таким образом, 503 = 50310.

Помимо десятичной системы, отдельного внимания заслуживают 2-, 8-, 16-ая системы.

Двоичная система счисления

Эта система, в основном, используется в вычислительной технике. Почему не стали использовать привычную нам 10-ю? Первую вычислительную машину создал Блез Паскаль, использовавший в ней десятичную систему, которая оказалась неудобной в современных электронных машинах, поскольку требовалось производство устройств, способных работать в 10 состояниях, что увеличивало их цену и итоговые размеры машины. Этих недостатков лишены элементы, работающие в 2-ой системе. Тем не менее, рассматриваемая система была создана за долго до изобретения вычислительных машин и уходит “корнями” в цивилизацию Инков, где использовались кипу — сложные верёвочные сплетения и узелки.

Двоичная позиционная система счисления имеет основание 2 и использует для записи числа 2 символа (цифры): 0 и 1. В каждом разряде допустима только одна цифра — либо 0, либо 1.

Примером может служить число 101. Оно аналогично числу 5 в десятичной системе счисления. Для того, чтобы перевести из 2-й в 10-ю необходимо умножить каждую цифру двоичного числа на основание “2”, возведенное в степень, равную разряду. Таким образом, число 1012 = 1*22 + 0*21 + 1*20 = 4+0+1 = 510.

Хорошо, для машин 2-я система счисления удобнее, но мы ведь часто видим, используем на компьютере числа в 10-й системе. Как же тогда машина определяет какую цифру вводит пользователь? Как переводит число из одной системы в другую, ведь в её распоряжении всего 2 символа — 0 и 1?

Чтобы компьютер мог работать с двоичными числами (кодами), необходимо чтобы они где-то хранились. Для хранения каждой отдельной цифры применяется триггер, представляющий собой электронную схему. Он может находится в 2-х состояниях, одно из которых соответствует нулю, другое — единице. Для запоминания отдельного числа используется регистр — группа триггеров, число которых соответствует количеству разрядов в двоичном числе. А совокупность регистров — это оперативная память. Число, содержащееся в регистре — машинное слово. Арифметические и логические операции со словами осуществляет арифметико-логическое устройство (АЛУ). Для упрощения доступа к регистрам их нумеруют. Номер называется адресом регистра. Например, если необходимо сложить 2 числа — достаточно указать номера ячеек (регистров), в которых они находятся, а не сами числа. Адреса записываются в 8- и 16-ричной системах (о них будет рассказано ниже), поскольку переход от них к двоичной системе и обратно осуществляется достаточно просто. Для перевода из 2-й в 8-ю число необходимо разбить на группы по 3 разряда справа налево, а для перехода к 16-ой — по 4. Если в крайней левой группе цифр не достает разрядов, то они заполняются слева нулями, которые называются ведущими. В качестве примера возьмем число 1011002. В восьмеричной — это 101 100 = 548, а в шестнадцатеричной — 0010 1100 = 2С16. Отлично, но почему на экране мы видим десятичные числа и буквы? При нажатии на клавишу в компьютер передаётся определённая последовательность электрических импульсов, причём каждому символу соответствует своя последовательность электрических импульсов (нулей и единиц). Программа драйвер клавиатуры и экрана обращается к кодовой таблице символов (например, Unicode, позволяющая закодировать 65536 символов), определяет какому символу соответствует полученный код и отображает его на экране. Таким образом, тексты и числа хранятся в памяти компьютера в двоичном коде, а программным способом преобразуются в изображения на экране.

Восьмеричная система счисления

8-я система счисления, как и двоичная, часто применяется в цифровой технике. Имеет основание 8 и использует для записи числа цифры от 0 до 7.

Пример восьмеричного числа: 254. Для перевода в 10-ю систему необходимо каждый разряд исходного числа умножить на 8n, где n — это номер разряда. Получается, что 2548 = 2*82 + 5*81 + 4*80 = 128+40+4 = 17210.

Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система широко используется в современных компьютерах, например при помощи неё указывается цвет: #FFFFFF — белый цвет. Рассматриваемая система имеет основание 16 и использует для записи числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, где буквы равны 10, 11, 12, 13, 14, 15 соответственно.

В качестве примера возьмем число 4F516. Для перевода в восьмеричную систему — сначала преобразуем шестнадцатеричное число в двоичное, а затем, разбив на группы по 3 разряда, в восьмеричное. Чтобы преобразовать число в 2-е необходимо каждую цифру представить в виде 4-х разрядного двоичного числа. 4F516 = (100 1111 101)2. Но в 1 и 3 группах не достает разряда, поэтому заполним каждый ведущими нулями: 0100 1111 0101. Теперь необходимо разделить полученное число на группы по 3 цифры справа налево: 0100 1111 0101 = 010 011 110 101. Переведем каждую двоичную группу в восьмеричную систему, умножив каждый разряд на 2n, где n — номер разряда: (0*22+1*21+0*20) (0*22+1*21+1*20) (1*22+1*21+0*20) (1*22+0*21+1*20) = 23658.

Помимо рассмотренных позиционных систем счисления, существуют и другие, например:

1) Троичная

2) Четверичная

3) Двенадцатеричная

Позиционные системы подразделяются на однородные и смешанные.

Однородные позиционные системы счисления

Определение, данное в начале статьи, достаточно полно описывает однородные системы, поэтому уточнение — излишне.

Смешанные системы счисления

К уже приведенному определению можно добавить теорему: “если P=Qn (P,Q,n – целые положительные числа, при этом P и Q — основания), то запись любого числа в смешанной (P-Q)-ой системе счисления тождественно совпадает с записью этого же числа в системе счисления с основанием Q.”

Опираясь на теорему, можно сформулировать правила перевода из P-й в Q-ю системы и наоборот:

Для перевода из Q-й в P-ю, необходимо число в Q-й системе, разбить на группы по n цифр, начиная с правой цифры, и каждую группу заменить одной цифрой в P-й системе.

Для перевода из P-й в Q-ю, необходимо каждую цифру числа в P-й системе перевести в Q-ю и заполнить недостающие разряды ведущими нулями, за исключением левого, так, чтобы каждое число в системе с основанием Q состояло из n цифр.

Яркий пример — перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную. Возьмем двоичное число 100111102, для перевода в восьмеричное — разобьем его справа налево на группы по 3 цифры: 010 011 110, теперь умножим каждый разряд на 2n, где n — номер разряда, 010 011 110 = (0*22+1*21+0*20) (0*22+1*21+1*20) (1*22+1*21+0*20) = 2368. Получается, что 100111102 = 2368. Для однозначности изображения двоично-восьмеричного числа его разбивают на тройки: 2368 = (10 011 110)2-8.

Смешанными системами счисления также являются, например:

1) Факториальная

2) Фибоначчиева

Перевод из одной системы счисления в другую

Иногда требуется преобразовать число из одной системы счисления в другую, поэтому рассмотрим способы перевода между различными системами.

Преобразование в десятичную систему счисления

Имеется число a1a2a3 в системе счисления с основанием b. Для перевода в 10-ю систему необходимо каждый разряд числа умножить на bn, где n — номер разряда. Таким образом, (a1a2a3)b = (a1*b2 + a2*b1 + a3*b0)10.

Пример: 1012 = 1*22 + 0*21 + 1*20 = 4+0+1 = 510

Преобразование из десятичной системы счисления в другие

Целая часть:

Последовательно делим целую часть десятичного числа на основание системы, в которую переводим, пока десятичное число не станет равно нулю.

Полученные при делении остатки являются цифрами искомого числа. Число в новой системе записывают, начиная с последнего остатка.

Дробная часть:

Дробную часть десятичного числа умножаем на основание системы, в которую требуется перевести. Отделяем целую часть. Продолжаем умножать дробную часть на основание новой системы, пока она не станет равной 0.

Число в новой системе составляют целые части результатов умножения в порядке, соответствующем их получению.

Пример: переведем 1510 в восьмеричную:

15\8 = 1, остаток 7

1\8 = 0, остаток 1

Записав все остатки снизу вверх, получаем итоговое число 17. Следовательно, 1510 = 178.

Преобразование из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы

Для перевода в восьмеричную — разбиваем двоичное число на группы по 3 цифры справа налево, а недостающие крайние разряды заполняем ведущими нулями. Далее преобразуем каждую группу, умножая последовательно разряды на 2n, где n — номер разряда.

В качестве примера возьмем число 10012: 10012 = 001 001 = (0*22 + 0*21 + 1*20) (0*22 + 0*21 + 1*20) = (0+0+1) (0+0+1) = 118

Для перевода в шестнадцатеричную — разбиваем двоичное число на группы по 4 цифры справа налево, затем — аналогично преобразованию из 2-й в 8-ю.

Преобразование из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную

Перевод из восьмеричной в двоичную — преобразуем каждый разряд восьмеричного числа в двоичное 3-х разрядное число делением на 2 (более подробно о делении см. выше пункт “Преобразование из десятичной системы счисления в другие”), недостающие крайние разряды заполним ведущими нулями.

Для примера рассмотрим число 458: 45 = (100) (101) = 1001012

Перевод из 16-ой в 2-ю — преобразуем каждый разряд шестнадцатеричного числа в двоичное 4-х разрядное число делением на 2, недостающие крайние разряды заполняем ведущими нулями.

Преобразование дробной части любой системы счисления в десятичную

Преобразование осуществляется также, как и для целых частей, за исключением того, что цифры числа умножаются на основание в степени “-n”, где n начинается от 1.

Пример: 101,0112 = (1*22 + 0*21 + 1*20), (0*2-1 + 1*2-2 + 1*2-3) = (5), (0 + 0,25 + 0,125) = 5,37510

Преобразование дробной части двоичной системы в 8- и 16-ую

Перевод дробной части осуществляется также, как и для целых частей числа, за тем лишь исключением, что разбивка на группы по 3 и 4 цифры идёт вправо от десятичной запятой, недостающие разряды дополняются нулями справа.

Пример: 1001,012 = 001 001, 010 = (0*22 + 0*21 + 1*20) (0*22 + 0*21 + 1*20), (0*22 + 1*21 + 0*20) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,28

Преобразование дробной части десятичной системы в любую другую

Для перевода дробной части числа в другие системы счисления нужно обратить целую часть в ноль и начать умножение получившегося числа на основание системы, в которую нужно перевести. Если в результате умножения будут снова появляться целые части, их нужно повторно обращать в ноль, предварительно запомнив (записав) значение получившейся целой части. Операция заканчивается, когда дробная часть полностью обратится в нуль.

Для примера переведем 10,62510 в двоичную систему:

0,625*2 = 1,25

0,250*2 = 0,5

0,5*2 = 1,0

Записав все остатки сверху вниз, получаем 10,62510 = (1010), (101) = 1010,1012 Системы счисления

, двоичная

, десятичная

, восьмеричная

, шестнадцатеричная

+24 112 TorchTT 7,5 комментарии (63) +2 Brand 18 июля 2011 в 21:43 # Адреса изображений не сильно хорошие. +23 ServerClub 18 июля 2011 в 21:48 # Прямо читаю лекцию по информатике в 9м классе. –2 cblp 19 июля 2011 в 09:35 # ↵ ↑ Что тут информатического? У нас это было в 9 классе на математике. Тут же про числа только. +11 tehKost 18 июля 2011 в 21:50 # … как новый орбит «Школа»...

+2 bulletproofcupid 18 июля 2011 в 22:01 # Перезалейте картинки, пожалуйста, вы мне всю ностальгию испортили. +15 lyxsus 18 июля 2011 в 22:10 # Альбина Гавриловна, вы все еще живы? +2 klepton 18 июля 2011 в 22:29 # У вас опечатка «1112 = 1*22 + 0*21 + 1*20 = 4+0+1 = 510.» Нужно «1012 = 1*22 + 0*21 + 1*20 = 4+0+1 = 510.» 0 TorchTT 18 июля 2011 в 22:32 # ↵ ↑ Спасибо. Исправил. +1 Takeshi 19 июля 2011 в 07:05 # у индусов эту систему чисел заимствовали арабы, от которых её переняли европейцы. По каким-то причинам, в Европе за этой системой закрепилось название “арабская”.

Видимо, потому и закрепилась арабской. Им не было дела до того, у кого переняли систему арабы. )

Статья очень интересная. Люблю подобные темы. Спасибо! 0 susl 19 июля 2011 в 22:24 # ↵ ↑ Может не то чтобы не было дела, а просто не знали что арабы позаимствовали у индусов. +13 Self_Perfection 19 июля 2011 в 07:06 # Помимо рассмотренных позиционных систем счисления, существуют и другие, например:

1) Троичная

2) Четверичная

3) Двенадцатеричная

Помимо рассмотренных чисел 2 и 10 бывают и другие, например: 3, 4, 12. –5 Takeshi 19 июля 2011 в 07:30 # ↵ ↑ Помимо излишнего проявления ума бывает и правильное понимание написанного. +6 Self_Perfection 19 июля 2011 в 08:02 # ↵ ↑ … которым целевая аудитория данного текста может и не обладать, ввиду того, что она с темой не знакома. Ну вот что стоило автору написать, например «иногда используются и другие» вместо «существуют и другие». +2 Takeshi 19 июля 2011 в 08:21 # ↵ ↑ Не думаю, что среди целевой аудитории могут быть настолько недалекие люди, которые могут подумать, что, например, пятиричная система счисления невозможна.

Но вы таки правы, ваш вариант конкретнее звучит. +2 SteelRat 19 июля 2011 в 08:03 # Ждем статью про нега-позиционные системы счисления и перевод чисел из них в позиционные системы счисления :)

Статья просто отличная, большое спасибо! +2 hellman 19 июля 2011 в 09:20 # Почему в «Смешанные системы счисления» написано про перевод из P^N в P и обратно? 0 TorchTT 19 июля 2011 в 11:51 # ↵ ↑ Число в смешанной системе счисление не обязательно набор из цифр разных систем. В конце главы про смешанные системы я добавил представление числа в 2-8 системе: (10 011 110)2-8. Оно является и восьмеричным и 2-м. Различие — в отображение чисел, так как мы могли просто написать 10011110, являющееся двоичным.

В качестве примера возьмем число (100 0101)2-10 = 4510. Если бы мы рассматривали (1000101)2, то в 10-й системе оно имело бы вид: (1000101)2 = 1*26+0*25+0*24+0*23+1*22+0*21+1*20 = 64+0+0+0+0+4+1=6910, что не равно числу 4510 +3 inhibitor 19 июля 2011 в 09:27 # Еще из известных и «почти» используемых непозиционных систем счисления — система остаточных классов. +1 cblp 19 июля 2011 в 09:44 # ↵ ↑ Спасибо вам, погуглив по словам «система остаточных классов», попал на страницу «Система счисления» Википедии, где тот же материал изложен лаконичнее и понятнее. 0 TorchTT 19 июля 2011 в 10:00 # ↵ ↑ Я указал только основные, поскольку если рассматривать остальные — статья получится крайне большой. 0 netslow 19 июля 2011 в 11:49 #