Последовательности в экономических задачах

1. Задачи о непрерывном начислении процентов

В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за фиксированные одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т. д.). Время - дискретная переменная. В некоторых случаях - в доказательствах и расчетах, связанных с непрерывными процессами, возникает необходимость в применении непрерывных процентов. Рассмотрим формулу сложных процентов:

.                                                 

Здесь - первоначальная сумма,- ставка процентов (в виде десятичной дроби),- сумма, образовавшаяся к концу срока ссуды в конце-го года. Рост по сложным процентам представляет собой процесс, развивающийся по геометрической прогрессии. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называюткапитализацией процентов. В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной определению наращенной суммы: по заданной сумме, которую следует уплатить через некоторое время, необходимо определить сумму полученной ссуды. В этом случае говорят, что суммадисконтируется, а проценты в виде разностиназываются дисконтом.Величину, найденную дисконтированием, называютсовременной,илиприведенной,величиной. Имеем

.

Таким образом, при очень больших сроках платежа современная величина последнего будет крайне незначительна.

В практических финансово-кредитных операциях непрерывные процессы наращения денежных сумм, т. е. наращения за бесконечно малые промежутки времени, применяются редко. Существенно большее значение непрерывное наращение имеет в количественном финансово-экономическом анализе сложных производственных и хозяйственных объектов и явлений, например, при выборе и обосновании инвестиционных решений. Необходимость в применении непрерывных наращений (или непрерывных процентов) определяется прежде всего тем, что многие экономические явления по своей природе непрерывны, поэтому аналитическое описание в виде непрерывных процессов более адекватно, чем на основе дискретных. Обобщим формулу сложных процентов для случая, когда проценты начисляются раз в году:

.

Наращенная сумма при дискретных процессах находится по этой формуле, здесь - число периодов начисления в году,- годовая или номинальная ставка. Чем больше, тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. В пределе приимеем:

.

При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки - силу роста, которая характеризует относительный прирост наращенной суммы в бесконечно малом промежутке времени. При непрерывной капитализации процентов наращенная сумма равна конечной величине, зависящей от первоначальной суммы, срока наращения и номинальной ставки процентов. Для того, чтобы отличить ставки непрерывных процентов от ставки дискретных процентов, обозначим первую через, тогда. Сила ростапредставляет собой номинальную ставку процентов при.

2. Потоки платежей. Финансовая рента

Контракты, сделки, коммерческие и производственно-хозяйственные операции часто предусматривают не отдельные разовые платежи, а множество распределенных во времени выплат и поступлений. Отдельные элементы такого ряда, а иногда и сам ряд платежей в целом, называется потоком платежей. Члены потока платежей могут быть как положительными (поступления), так и отрицательными (выплаты) величинами. Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между двумя последовательными платежами постоянны, называютфинансовой рентой. Ренты делятся на годовые и-срочные, гдехарактеризует число выплат на протяжении года. Это дискретные ренты. В финансово-экономической практике встречаются и с последовательностями платежей, которые производятся так часто, что практически их можно рассматривать как непрерывные. Такие платежи описываются непрерывными рентами.

Пример

Пусть в конце каждого года в течение четырех лет в банк вносится по 1 млн. рублей, проценты начисляются в конце года, ставка - 5% годовых. В этом случае первый взнос обратится к концу срока ренты в величину 10 ⁶ 1,05³так как соответствующая сумма была на счете в течение 3 лет, второй взнос увеличится до 10⁶ 1,05², так как был на счете 2 года. Последний взнос процентов не приносит. Таким образом, в конце срока ренты взносы с начисленными на них процентами представляют ряд чисел: 10⁶ 1,05³; 10⁶ 1,05²; 10⁶ 1,05; 10^6.Наращенная к концу срока ренты величина будет равна сумме членов этого ряда. Обобщим сказанное, выведем соответствующую формулу для наращенной суммы годовой ренты. Обозначим:- наращенная сумма ренты,- размер члена ренты,- ставка процентов (десятичная дробь),- срок ренты (число лет). Члены ренты будут приносить проценты в течениелет, а наращенная величина членов ренты составит

, ,…, , .

Перепишем эту последовательность в обратном порядке. Она представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем и первым членом. Найдем сумму членов прогрессии. Получим:. Обозначими будем называть егокоэффициентом наращения ренты. Если же проценты начисляютсяраз в году, то, где- номинальная ставка процентов.

Величина называетсякоэффициентом приведения ренты. Коэффициент приведения ренты припоказывает, во сколько раз современная величина ренты больше ее члена:.

Пример

Под вечной рентойпонимается последовательность платежей, число членов которой не ограничено - она выплачивается в течение бесконечного числа лет. Вечная рента не является чистой абстракцией - на практике это некоторые виды облигационных займов, оценка способности пенсионных фондов отвечать по своим обязательствам. Исходя из сущности вечной ренты можно полагать, что ее наращенная сумма равна бесконечно большой величине, что легко доказать:при.

Коэффициент приведения для вечной ренты , откуда, т. е. современная величина зависит только от величины члена ренты и принятой ставки процентов.