8. Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой

Пример. Даны прямые и. Требуется найти уголмежду ними.

►.

Обозначения и их смысл смотри на рисунке.

Следствие 1 (условие совпадения прямых). Две прямые исовпадают тогда и только тогда, когдаи.

Следствие 2 (условие параллельности прямых). Две прямые ипараллельны тогда и только тогда, когдаи.

Следствие 3 (условие перпендикулярности прямых). Две прямые иперпендикулярны тогда и только тогда, когда.

Действительно, прямые перпендикулярны не существует. ◄

Пусть прямые изаданы общими уравнениями

1.

2.

3.

Заметим, что если две прямые заданы своими общими уравнениями и, то могут представиться три случая:

1) – прямые имеют одну общую точку;

2) – прямые параллельны;

3) – прямые совпадают.

Пример. Найти точку равновесия, если функции спроса и предложения заданы следующими соотношениями: и

►Из условия равновесия спроса и предложения получаем, откуда следует, и, таким образом, цена равновесия составляет. На плоскостиграфики функций спроса и предложения – прямые; цена равновесия – абсцисса точки пересечения графиков функций спроса и предложения. ◄

Типовой пример (расстояние от точки до прямой на плоскости).

Если задана точка , то расстояние до прямойопределяется как

.

►Пусть точка – основание перпендикуляра, опущенного из точкина заданную прямую. Тогда расстояние между точкамии:

(1)

Координаты имогут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой.

Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

то, решая, получим:

.

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

.◄

Расстояние от точки до прямой на плоскости (второй способ)

Пусть дана прямая : , где – ее нормальный вектор, и пусть точка , т. е. . Требуется определить расстояние от точки до прямой .

Пусть — ортогональная проекция точки на прямую . Тогда

.

Очевидно, = {,}. Отсюда

или .

Напомним, что (,) = , где— угол между векторамии ;здесь

=

Отсюда

(,) = и |(,)| = .

Следовательно,

= ==

= .

Таким образом, расстояние от точки до прямой находится по формуле

= =.

Найдем теперь расстояние от начала координат до прямой :

= .

Типовой пример. Найти расстояние от точки до прямой.

►Расстояние от точки до прямой равно:

.◄

Типовой пример. Даны вершины треугольника . Найти: 1) длину стороны; 2) уравнение высотыи ее длину; 3) уравнение медианы, проведенной из вершины; 4) написать уравнение прямой, проходящей через точкупараллельно стороне.

► 1) Расстояние между точкамииопределя­ется по формуле

. (1)

Подставим в формулу (1) координаты точек А и В, получим

.

2) Уравнение прямой, проходящей через точки и, имеет вид

(2)

Подставив в формулу (2) координаты точек и, получим уравнение пря­мой:

Для нахождения углового коэффициента прямойразрешим полученное уравнение относительно : .

Отсюда . Т.к. высота перпендикулярна, то угловой коэффициентбудет равен,.

Искомая высота проходит через точку . Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку, с заданным угловым коэффициентом:

. (3)

Имеем ()

Для нахождения длины определим координаты точки, решив систему уравнений () и () :

,

откуда , т.е..

Подставив в формулу (1) координаты точек и, находим

3) Обозначим основание искомой медианы через . По определению, медианаделит сторонупополам. Координаты точкинай­дем по формуле

(4)

Чтобы записать уравнение медианы , воспользуемся форму­лой (2): , , , ()

4) Обозначим искомую прямую . Угловой коэффициент, т.к.и параллельны, то искомая прямая проходит через точку. Воспользуемся уравнением (3):

, ,() ◄

Типовой пример. Даны вершины треугольника ,,. Найти точку пересечения высоты, опущенной из вершины, и медианы, проведенной из вершины, а также острый угол, заключенный между ними

►Используя уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, найдем сначала уравнение стороны треугольника. Получим:

или

Угловой коэффициент этой прямой равен . Так как высота, ее угловой коэффициент можно найти по формуле. Поскольку нам известна точка, то уравнение высотынаходим так:. Получаем:или.

Найдем теперь уравнение медианы . Координаты точки(середины отрезка) находим по формулам:

. Имеем: . Используя уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, получим уравнение медианы:

или

Координаты точки пересечения высотыи медианынаходим теперь как решение системы уравнений

Имеем: . Наконец, используя формулу , находим острый угол междуи:

◄

Пример. Определить линейную зависимость между полными издержками производства предприятия, изготавливающего однородную продукцию, и объемом производства, если:

постоянные издержки (например, затраты на содержание административных зданий, их отопление и т.д.), не зависящие от объема продукции, составляют (денежных единиц);

переменные издержки (например, материальные затраты) пропорциональны с коэффициентом объемуизготавливаемой продукции. Записать эту функцию для(млн.руб.) и(млн.руб. на одну единицу продукции).

►В данном случае между полными издержками некоторого производства и количествомпроизведенной продукции имеет место линейная зависимость вида:, где– удельные переменные издержки (издержки на одну условную единицу продукции), а– постоянные издержки производства. В случае(млн. руб.) и(млн. на одну условную единицу продукции) имеем уравнение.◄

Пример. Весь объем основных фондов предприятия в 1991 году вырос на 6% по сравнению с объемом 1990 года. Начиная с 1992 года, в течение последующих пяти лет прирост основных фондов составлял 7% ежегодно. Записать формулу роста основных фондов в течение пятилетки.

►Пусть – время в годах, – соответствующий объем основных фондов в процентах. Значение объема основных фондов = 106% соответствует моменту= 1 (1991-му – первому году пятилетки). Ежегодный прирост составляет 7%. К моменту времени этот прирост будет равен , а с другой стороны эта величина равна разности. Следовательно, имеем формулу:или. Здесь принимает значения: 1, 2, 3, 4, 5. График функции на отрезке [1, 5] изображен на рис.◄

у

134

y - 106

106

x