1.Линейные операции над векторами

1. Направленные отрезки. Понятие вектора. Отрезок AB называется направленным, если указано, какая из точек A или B является его началом, а какая концом. Если A – начало, а B – конец, то этот отрезок обозначается AB;\s\up10( –, а на чертеже его конец обозначается стрелочкой. Длиной направленного отрезка AB;\s\up10( – называется длина отрезка AB.

Направленные отрезки AB;\s\up10( – и A1B1;\s\up10( – называются сонаправленными (противоположно направленными), если лучи AB и A₁B₁ сонаправлены (противоположно направлены). Пишем AB;\s\up10( –A1B1;\s\up10( – (AB;\s\up10( –A1B1;\s\up10( –).

Два направленных отрезка AB;\s\up10( – и A1B1;\s\up10( – называются эквивалентными или равными, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Пишем AB;\s\up10( –A1B1;\s\up10( –. Очевидно, AB;\s\up10( –A1B1;\s\up10( – тогда и только тогда они совмещаются параллельным переносом.

Легко проверить, что данное отношение, определенное на множестве всех направленных отрезков плоскости или пространства обладает следующими свойствами:

1. AB;\s\up10( –AB;\s\up10( – (рефлексивность),

2. AB;\s\up10( –A1B1;\s\up10( –  A1B1;\s\up10( –AB;\s\up10( – (симметричность),

3. (AB;\s\up10( –A1B1;\s\up10( –  A1B1;\s\up10( –AB;\s\up10( –) AB;\s\up10( –A2B2;\s\up10( – (транзитивность).

Таким образом, отношение, которое мы определили, действительно является отношением эквивалентности. Поэтому множество всех направленных отрезков распадается на непересекающиеся классы эквивалентных друг другу отрезков.

Вектором называется класс эквивалентных между собой направленных отрезков. Другими словами, каждый направленный отрезок задает вектор, при этом, эквивалентные отрезки задают один и тот же вектор. Направление всех отрезков данного класса называется направлением вектора, а их длина – длиной вектора. Длина вектора a;\s\up8( обозначается a;\s\up8( .

Если вектор a;\s\up8( задается направленным отрезком AB;\s\up10( –, то пишем a;\s\up8( = AB;\s\up10( –, и говорим, что AB;\s\up10( – есть вектор a;\s\up8(, отложенный из точки A . На чертеже вектор изображается любым из задающих его направленных отрезков.

Пусть задан направленный отрезок AB;\s\up10( – и произвольная точка A₁. Тогда существует одна и только одна точка B₁, такая что AB;\s\up10( –A1B1;\s\up10( –. Другими словами, данный вектор можно отложить из любой точки, и притом, единственным образом.

Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым и обозначается o;\s\up8(. Вектор, длина которого равна 1, называется единичным.

Векторы a;\s\up8( и b;\s\up9(– называются сонаправленными (противоположно направленными), если задающие их направленные отрезки сонаправлены (противоположно направлены). Пишем a;\s\up8(  ^b;\s\up9( (a;\s\up8(  ^b;\s\up9( ). Два вектора, направления которых совпадают или противоположны, называются коллинеарными. Пишем a;\s\up8( ^{|| b;\s\up9(}. Считается, что у o;\s\up8( направление неопределено и он коллинеарен любому вектору. Три и более векторов, параллельных одной плоскости называются компланарными.

2. Линейные операции над векторами. Пусть заданы два вектора a;\s\up8( и b;\s\up9(. Отложим вектор a;\s\up8( от произвольной точки O: a;\s\up8( = ^{OA;\s\up10( –}, а из точки A отложим вектор b;\s\up9(: b;\s\up9( = AB;\s\up10( –. Пусть c;\s\up8( – вектор, который задается направленным отрезком OB;\s\up10( –. Тогда c;\s\up8( называется суммой векторов a;\s\up8( и b;\s\up9(. Пишем c;\s\up8( = ^a;\s\up8( + ^b;\s\up9(. Этот способ построения суммы двух векторов называется правилом треугольника.

Свойства операции сложения векторов.

 a;\s\up8(, b;\s\up9(, ^c;\s\up8( выполнено

1. a;\s\up8( + b;\s\up9( = ^b;\s\up9( + ^a;\s\up8( (коммутативность);

2. (a;\s\up8( + ^b;\s\up9( ) + ^c;\s\up8( = (ассоциативность);

3. a;\s\up8( + ^o;\s\up8( = a;\s\up8(.

4.  x;\s\up8( такой что a;\s\up8( + ^x;\s\up8( = ^o;\s\up8(. Этот вектор называется противоположным вектором к a;\s\up8( и обозначается – ^a;\s\up8(.

Разностью двух векторов a;\s\up8( и ^b;\s\up9( называется такой вектор d;\s\up9(, что b;\s\up9( + ^d;\s\up9( = ^a;\s\up8(. Пишем d;\s\up9( = a;\s\up8( – ^b;\s\up9(.

Произведением вектора a;\s\up8( на число  называется такой вектор b;\s\up9(, что

1. a;\s\up8(  ^b;\s\up9(, если  > 0, и a;\s\up8(  ^b;\s\up9(, если  < 0 ;

2. ^{|b;\s\up9( |} = ^|^|·^{|a;\s\up8( |}.

Пишем b;\s\up9( = a;\s\up8(. (Часто еще добавляют 3. если  = 0, то b;\s\up9( = ^{o;\s\up8(–}. Но это следует из 2.)

Свойства операции умножения вектора на число.

1. ( ^a;\s\up8( + ^b;\s\up9( ) = a;\s\up8( + b;\s\up9(; 3. ( + )a;\s\up8( = a;\s\up8( + a;\s\up8(;

2. (a;\s\up8( ) = ()a;\s\up8(; 4. 1·a;\s\up8( = a;\s\up8(.

Теорема. (Первый признак коллинеарности векторов). Для того, чтобы ненулевые векторы a;\s\up8( и ^b;\s\up9( были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число  , что b;\s\up9( = a;\s\up8(.

Вектор e;\s\up8( = ^a;\s\up8( a;\s\up8( называется ортом вектора a;\s\up8(.

3. Угол между векторами. Ориентация пары векторов на плоскости или тройки векторов в пространстве. Пусть a;\s\up8( и b;\s\up9( – два ненулевых вектора. Отложим их из одной точки О: a;\s\up8( = ^{OA;\s\up10( –}, b;\s\up9( = ^{OB;\s\up10( –}. Тогда углом между векторами a;\s\up8( и b;\s\up9( называется угол между лучами OA и OB, т.е.  =AOB. Пишем  =( ^a;\s\up8(, ^b;\s\up9( ).

Если речь идет о векторах на плоскости, то можем ввести понятие ориентированного угла между векторами. Если крачайший поворот от луча OA к лучу OB осуществляется против часовой стрелки, то считаем, что  > 0, а если по часовой – то  < 0 . Таким образом, –  <    . Если  > 0, то пара векторов (a;\s\up8(, ^b;\s\up9( ) называется правой, а если  < 0 – то левой.

Пусть в пространстве даны три некомпланарных вектора a;\s\up8(, ^b;\s\up9(, ^c;\s\up8(. Отложим их из одной точки О: a;\s\up8( = ^{OA;\s\up10( –}, b;\s\up9( = ^{OB;\s\up10( –}, c;\s\up8( = ^{OC;\s\up10( –}. Тройка векторов (a;\s\up8(, b;\s\up9(, ^c;\s\up8( ) называется правой, если кратчайший поворот от луча OA к лучу OB, если смотреть из точки C , выглядит как осуществляющийся против часовой стрелки. Соответственно, если этот поворот выглядит как осуществляющийся по часовой стрелке, то тройка векторов (a;\s\up8(, b;\s\up9(, ^c;\s\up8( ) называется левой.

Замечание 1. Цикличная перестановка векторов (a;\s\up8(, b;\s\up9(, ^c;\s\up8( ) не меняет ориентации тройки,то есть после цикличной перестановки она остается либо правой, либо левой.

Замечание 2. Тройки компланарных векторов не относят ни к правым, ни к левым.