§ 3. Прямая на плоскости

1. Общее уравнение прямой на плоскости

Пусть в системе координат задана прямая, проходящая через точку, и задан ненулевой вектор, перпендикулярный прямой. Произвольная точкабудет лежать на прямойтогда и только тогда, когда,. Из условия перпендикулярности векторов следует, что

(1) – уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору.

Преобразуем уравнение (1):

(2) – общее уравнение прямой.

Вектор называетсянормальным вектором прямой .

2. Частные случаи расположения прямой на плоскости.

Уравнение в отрезках на осях.

Пусть прямая задана общим уравнением.

Если , то прямая проходит через начало координат;

, то ;

, то ;

Если , то– это ось;

, то – это ось;

Если .

можно преобразовать к виду ,

, обозначим

Получим

(3) – уравнение прямой в отрезках на осях,

где и– точки пересечения с осями координат. Уравнение (3) используется при построении прямой в системе координат.

Типовой пример. Построить прямую .

►Приведем уравнение к уравнению в отрезках на осях:

. ◄

Типовой пример. Построить прямую .

►Приведем уравнение к уравнению в отрезках на осях

, ,. ◄

3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку: а) параллельной данной прямой; б) перпендикулярной данной прямой

а) Пусть прямая задана общим уравнением, а прямаяпараллельна прямойи проходит через точку. Составим уравнение прямой. Произвольная точкабудет лежать на прямой, если,. Из условия перпендикулярности векторов получим уравнение прямой.

(4) – уравнение прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой.

б) Пусть прямая задана общим уравнением, а прямаяперпендикулярна прямойи проходит через точку. Составим уравнение прямой. Произвольная точкабудет принадлежать прямой, если,. Из условия коллинеарности векторов получаем уравнение прямой.

(5) – уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой

4. Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть точки илежат на прямой. Произвольная точкабудет лежать на прямойтогда и только тогда, когда,,.

Из условия коллинеарности векторов получим уравнение.

(6) – уравнение прямой, проходящей через две точки

5. Каноническое уравнение прямой

Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называют направляющим вектором этой прямой.

Поставим перед собой задачу: найти уравнение прямой, проходящей через данную точку и имеющей заданный направляющий вектор.

Очевидно, точка лежит на указанной прямой тогда и только тогда, когда векторыи коллинеарны, т.е. тогда и только тогда, когда координаты этих векторов пропорциональны:

. (7)

Уравнение (7) и есть искомое уравнение прямой. Это уравнение называют каноническим уравнением прямой.

Заметим, что в каноническом уравнении (7) один из знаменателей илиможет оказаться равным нулю (оба числаиравняться нулю не могут, ибо вектор ненулевой). Всякую пропорцию мы договоримся понимать как равенство,обращение в нуль одного из знаменателей в (7) означает обращение в нуль и соответствующего числителя. В самом деле, если, например, , то, поскольку, из равенствазаключаем, что.