Глава 4 векторная алгебра и аналитическая геометрия

§1. Векторная алгебра

1. Определение. Линейные операции. Базис. Вектором называется направленный отрезок в пространстве (на плоскости). Вектор имеет две характеристики: длину, называемую также модулем и обозначаемую , и направление. Принято также вектор обозначать двумя буквами, первая из которых указывает начало вектора, вторая – конец: .

Два вектора считаются равными, если они:

1) равны по длине; 2) лежат на параллельных прямых; 3) сонаправлены. Вектор, имеющий нулевую длину (т.е. у которого совпадают начало и конец), называется нуль-вектором, или нулевым вектором, и обозначается 0. Нуль-вектор считается параллельным любому вектору. Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным вектором, или ортом.

Суммойвекторов иназывается вектор, определяемый по правилу: если путём параллельного переноса совместить начало векторас концом вектора, то начало векторасовпадает с началом, а конец– с концом; при этом пишут(рис. а). Векторы можно складывать и по «правилу параллелограмма» (рис. б). Если слагаемых больше, то используют правило замыкания ломаной (рис.в) .

Справедливо правило уничтожения средней буквы:

.

Произведением вектора на действительное число называется вектор, обозначаемый , или, и удовлетворяющий следующим требованиям:

1) ; 2)ипараллельны; 3)исонаправлены прии направлены в противоположные стороны при.

Линейные операции удовлетворяют следующим свойствам:

1) +=+– коммутативность.

2) + (+) = (+)+

3) +=

4) +(-1)=

5) ()=() – ассоциативность

6) (+)=+– дистрибутивность

7) (+) =+

8) 1=

Единичный вектор, параллельный и сонаправленный с ним, называется ортом вектораи обозначается;.

Векторы ,называютсяколлинеарными, если они лежат на одной прямой (или на параллельных прямых). Векторы , лежащие в одной плоскости (или в параллельных плоскостях), называюткомпланарными.

Рассмотрим систему векторов

.

Система векторов называется линейно зависимой, если существуют числа , не все равные нулю и такие, что. Если же равенствовозможно лишь при, то система векторовназываетсялинейно независимой.

Теорема 1. а) Векторы коллинеарны в том и только в том случае, если они линейно зависимы; б) векторыкомпланарны в том и только в том случае, если они линейно зависимы.

Упорядоченная тройка (двойка) некомпланарных (неколлинеарных) векторов пространства (плоскости) называетсябазисом во множестве всех векторов пространства (плоскости). Любой вектор в пространстве может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса:

.

Более того, такое представление единственно; числа называютсякоординатами вектора в базисе.

Последнее означает, что координаты вектора однозначно определяют сам вектор. Иначе говоря, упорядоченную тройку чисел можно считать вектором в фиксированном базисе. В связи с этим можно записать следующиесвойства:

равные векторы имеют одинаковые координаты;

при умножении вектора на число его компоненты тоже умножаются на это число, т.е.

= ;

при сложении векторов складываются их соответствующие компоненты:

; ;

+ =.

Векторы иколлинеарны в том и только в том случае, если координаты этих векторов (в произвольном базисе) пропорциональны.

Если векторы единичные и взаимно перпендикулярны, то они образуют базис, который называетсяортонормированным.

Типовой пример. Найти орт вектора .

►,

. Тогда .◄

Если , , то условие коллинеарности векторов и– это пропорциональность координат.

Типовой пример. Дано: ,,. Есть ли среди них коллинеарные?

►Проверяя условие коллинеарности двух векторов попарно, получаем, чтоколлинеарен, коэффициент пропорциональности их координат равен (-2).◄

Типовой пример. Дано: точки , , число . Найти точку , которая делила бы отрезок в отношении .

►Так как отрезок делится точкой М в отношении , это означает, что . Координаты , координаты . Значит, . Откуда получаем: . Т.е. точка ==;=.

В частности, если М – середина отрезка АВ, то

.◄

Типовой пример. Дан треугольник , где , ,.

Найти координаты точки –пересечения биссектрисы угла со стороной.

►, ,

, .

.

;

;

Итак, . ◄

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов образуетправую (левую) тройку, если после совмещения их начал путём параллельного переноса кратчайший поворот от первого вектора ко второму векторувиден из конца третьего векторасовершающимся против (по) часовой стрелки.

Для ортонормированного базиса , образующего правую тройку, приняты обозначения.

Проекцией вектора на вектор(или на ось, параллельную и сонаправленную) называют число, где – угол между векторами и. В ортонормированном базисе координатыX, Y , Z вектора совпадают с его проекциями на базисные орты : при этом .

Обозначим через углы между вектороми векторами соответственно. Числа называютсянаправляющими косинусами вектора . Имеют место формулы:

, ,

Часто краткости ради вместо пишут. Аналогичные определения приняты на множестве векторов плоскости.

Теорема 2. Тройка векторов ,,образует базис в том и только в том случае, если

.

Типовой пример. Доказать, что векторы ,, образуют базис. Найти разложение векторав этом базисе.

►Имеем

.

Следовательно, векторы образуют базис. КоординатыX, Y, Z вектора в этом базисе должны удовлетворять равенству, или в матричной записи

.

Это приводит к системе линейных алгебраических уравнений

Решив эту систему, найдём X = 2, Y = 1, Z = 1. Таким образом, .◄

Прямоугольная система координат в пространстве задаётся точкой 0 – началом координат – и ортонормированным базисом .

Оси 0x, 0y, 0z, проведённые через точку 0 параллельно векторам , называются координатными осями.

Каждой точке M пространства ставится в соответствие вектор , называемыйрадиус-вектором точки M; это соответствие является взаимно-однозначным. Координатами x , y , z точки M называются координаты её радиус-вектора

Координаты вектора выражаются через координаты началаи концавектора по формулам,,.

Расстояние между точками ивыражается формулой.

2. Скалярное произведение и его приложения. Скалярным произведением двух векторов иназывают число, определяемое формулой. (1)

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1)

2)

3)

4) ,.

Из (1) также следует, что

прпр. (2)

Число, равное , называетсяскалярным квадратом вектора . Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. Действительно,

.

Рассмотрим ортонормированный базис Очевидно,

. (3)

Используя свойства скалярного произведения и учитывая (3), легко найти выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов в ортонормированном базисе.

Теорема. Если , то

(4)

Если то из (4) найдем, что

Отсюда следует формула косинуса угла между векторами и;

, т.е. .

Условие перпендикулярности: в том и только в том случае, если

Типовой пример. Даны точки: А(2;1;4), В(0;-1;2), С(4;3;-2). Требуется: а) найти координаты вектора ;

б) найти угол .

►а) Найдем координаты вектора : из координат конца (точкаВ) вычтем координаты начала (точка А): . Найдем координаты вектора:. Найдем координаты вектора:

.

Найдем координаты вектора :

.

б) Найдем длины векторов ипо формуле.

Получаем:

,

.

Для нахождения угла воспользуемся формулой

;

.

Ответ: ;.◄

Типовой пример. Даны точки A(–2; 1; 3), B(0; –1; 2), C(3; –2; 1).

Найти: а) длину отрезка АВ; б) косинус угла B в треугольнике АВС; в) ; г) и направляющие косинусы.

►а) ;

б) угол В в треугольнике АВС есть угол между векторами и. Имеем,, , ,

;

в) , , ,

,

отсюда находим

;

г) .

Направляющими косинусами вектора являются 2/3, –2/3, –1/3.

Типовой пример. Дано: ,,,. Найти угол между векторамии.

► Так как или.

,

,

Таким образом, . ◄

Типовой пример. Найти длину вектора , если,,.

►

◄

3. Векторное произведение и его свойства. Векторным произведением упорядоченной пары неколлинеарных векторовиназывается вектор, удовлетворяющий следующим трём требованиям:

1), где – угол между векторами и;

2) перпендикулярен каждому из векторови;

3) образуют правую тройку.

Векторное произведение принято также обозначать .

Свойства векторного произведения

1) векторы и – коллинеарны;

2) (антикоммутативность);

3) , (однородность);

4) ,

(дистрибутивность).

Выражение векторного произведения через координаты сомножителей

Найдем векторные произведения базисных ортов , , . Результаты можно записать в табл. 1.

Таблица 1

Пользуясь этой таблицей и свойствами векторного произведения, легко найти формулу для выражения векторного произведения через декартовы координаты сомножителей.

Теорема. Если , то

Типовой пример. Вычислить длину стороны АВ и площадь параллелограмма, построенного на векторах и, если

А(3;2;1), В(-1;0;2), С(0;-1;1).

►Найдем координаты вектора :. Длина стороныАВ равна длине вектора :

.

Площадь параллелограмма, построенного на векторах и, численно равна длине вектора. Поскольку(-3;-3;0), то

.

Т.е. , а его длина. Значит:(кв. ед.).Ответ: ,(кв. ед.)◄

4. Смешанное произведение векторов. Смешанным произведением трех векторов , , называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и , т.е. .

Геометрический смысл смешанного произведения выражает следующая теорема.

Теорема. Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах, , , взятому со знаком «плюс», если тройка векторов , , правая, и со знаком «минус», если тройка векторов , , левая. Если же векторы , , компланарны, то .

В краткой записи:

Свойства смешанного произведения

1. . Данное равенствопозволяет обозначать смешанное произведение векторов, , символом , не указывая при этом, какие именно два вектора (первые или последние) перемножаются векторно.

2. Величина векторного произведения не изменяется при циклической перестановке сомножителей:

3. векторыкомпланарны.

4. Смешанное произведение линейно по каждому из сомножителей. В частности,

.

Выражение векторного произведения через координаты сомножителей.

Теорема. Если векторы заданы своими координатами:,,, то смешанное произведение равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов, т.е.

.

Действительно,.Тогда

.

Типовой пример. Даны точки A(4; -1; 3), B(0; 1; 2), C(3; -2; 5), D(1; -1; 1). Найти: а) площадь треугольника АВС; б) высоту треугольника АВС, опущенную из вершины А на сторону ВС; в) объём пирамиды АВСD.

►а) Площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограммаS, построенного на векторах и, т.е.. Имеем, ,

;

б) ; , ; ;

в) Объём пирамиды АВСD равен объёма параллелепипеда, построенного на векторах. Имеем,,;

.◄

Типовой пример. Даны координаты вершин пирамиды .

►1) Найти длину ребра .

2) Найти угол между ребрами и.

3) Найти угол между ребром и гранью. Сначала найдем вектор нормали к граникак векторное произведение векторови.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2),

Найдем угол между вектором нормали и вектором .

, -4 – 4 = -8.

Искомый угол  между вектором и плоскостью будет равен  = 90⁰ – .

.

4) Найти площадь грани

.

5) Найти объем пирамиды.

(ед³).◄