Глава III. Несобственные интегралы

§1. Интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы первого рода)

1. Пусть функция определена в интервале. Тогда пределназываетсянесобственным интегралом. Если этот интеграл существует (т.е. равен какому – то числу), то он называется сходящимся. Если предел равен бесконечности или не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Аналогично интегралу с бесконечным верхним пределом интегрирования определяется интеграл в пределах от доb : и в пределах отдо:. В последнем случаеf(x) определена на всей числовой оси, интегрируема по любому отрезку; c – произвольная (собственная) точка числовой оси; интеграл называется сходящимся, если существуют и конечны оба входящих в определение предела. Пользуясь свойством аддитивности определённого интеграла, можно показать, что существование конечных пределов и их сумма не зависят от выбора точки c.

Типовые примеры

1. Рассмотрим несобственный интеграл 1-го рода функции на промежутке .(Интеграл Дирихле).

►При имеем:

.Отсюда следует, что при несобственный интеграл расходится, а прион сходится, причем

, . Легко убедиться, что рассматриваемый несобственный интеграл расходится и при. Таким образом,◄

2. Вычислить несобственный интеграл . ►

◄

3. .

► ; этот предел не существует; следовательно, исследуемый интеграл расходится◄.

4. . ►

следовательно, интеграл сходится и равен .◄

Если сходится интеграл , то интегралназываетсясходящимся абсолютно. Если сходится интеграл , а интегралрасходится, то интегралназывается сходящимся условно.

Теорема. Если сходится , тосходится абсолютно.

При решении практических задач, однако, важно в первую очередь установить сам факт сходимости, и только затем вычислять интеграл (к тому же первообразная часто не выражается через элементарные функции).

2. Признак сравнения

Пусть функции иинтегрируемы по любому отрезку [a,b] и при удовлетворяют неравенствам. Тогда:

если сходится интеграл , то сходится интеграл;

если расходится интеграл , то расходится интеграл

(эти утверждения имеют простой смысл: если сходится интеграл от большей функции, то сходится интеграл от меньшей функции; если расходится интеграл от меньшей функции, то расходится интеграл от большей функции; в случаях, когда сходится интеграл от меньшей функции или расходится интеграл от большей функции, никаких выводов о сходимости второго интеграла сделать нельзя).

Типовые примеры

Исследовать на сходимость интегралы.

1) .

►Функция не имеет первообразной, выражающейся через элементарные функции, поэтому исследовать сходимость с помощью предельного перехода невозможно. Приимеет место; интегралсходитсясходится. ◄

2) .

► При ; интегралрасходитсярасходитсярасходится. ◄

В качестве «стандартного» интеграла, с которым сравнивается данный, обычно берётся интеграл типа .

Типовые примеры

1. Исследовать сходимость интеграла .

►Применим теорему сравнения: прии еслисходится, тотакже сходится. В нашем случае присправедливо неравенство:. Т.к.сходится, то несобственный интегралтоже сходится. ◄

2. .

► На всём промежутке интегрирования ; интегралсходится (), поэтому исходный интеграл сходится; ◄

3. .

►Здесь при,расходится (p = 2/3 < 1), поэтому исходный интеграл расходится; ◄

4. .

► Здесь сравнить подынтегральную функцию с какой-либо степенью x невозможно, так как числитель – неограниченная функция, поэтому рассуждаем по-другому. При ln x – бесконечно большая низшего порядка по сравнению с любой положительной степенью x, поэтому ограниченная функция, поэтому,интеграл от большей функции сходится, следовательно, исходный интеграл тоже сходится; ◄

5. .

►На всём промежутке интегрирования (отбросив бесконечно большие низших порядков в числителе и знаменателе, мы увеличили числитель и уменьшили знаменатель); интегралсходится, поэтому исходный интеграл сходится.

Теперь рассмотрим . Понятно, что бесконечно большие низших порядков в числителе и знаменателе не влияют на сходимость интеграла; в то же время, отбросив их, мы уменьшим подынтегральную функцию, а из сходимости интеграла от меньшей функции не следует сходимость интеграла от большей функции. Можно рассуждать так: при достаточно большихвыполняются неравенства, поэтомуи т.д., однако при решении таких задач проще применить другой признак сравнения – предельный. ◄