2. Интегрирование произвольных рациональных дробей Пусть дан интеграл вида

,

где и- полиномы (многочлены) степениисоответственно. Подынтегральная функция в этом случае будет называтьсяправильной рациональной дробью, если инеправильной рациональной дробью, если . Интегралв общем случае можно вычислить, если только. Если, то необходимо провести деление полиномана полином. В результате получается выражение вида

, (5)

где полином называется целой частью исходного выражения, а– остатком от деления. Второе слагаемое в (5) при этом является правильной дробью, т.е..

Интегрирование целой части в (5) не представляет труда. Для интегрирования правильной дроби, если , необходимо разложение второго слагаемого в (5) на более простые дроби. Считая, что коэффициент привравен единице (если он не равен единице, то этого можно добиться очевидным образом), полиномс вещественными коэффициентами можно, как доказывается в алгебре, единственным образом записать в виде

(6)

где – натуральные числа,- вещественные числа, а множители видане имеют вещественных корней (т.е. дискриминант отрицателен). Тогда второе слагаемое в (5) можно представить в виде:

(7)

где – константы. Как видно из (7), каждому множителю в правой части (6) соответствует столько дробей в правой части (7), какова кратность этого множителя.

Константы ,,находятся из системы уравнений, которая получается следующим образом. Все дроби в правой части равенства (7) приводятся к общему знаменателю. В числителе правой части собираются слагаемые с одинаковыми степенямии коэффициенты при них приравниваются к коэффициентам прив соответствующих степенях в полиноме. В результате получается система уравнений для определения искомых констант.

Типовой пример

Представить неправильную дробь в виде целой части и правильной дроби.

►Выполним деление:

Таким образом:

.◄

Типовой пример

Вычислить интеграл

►Т.к. степень полинома в числителе больше степени полинома в знаменателе, то разделим числитель на знаменатель, предварительно перемножив сомножители в знаменателе:

В результате интеграл перепишется в виде

. Первый интеграл легко вычисляется: он равен . Прежде чем вычислять второй интеграл (обозначим его), необходимо выяснить, вещественны или комплексны корни уравнения. (8)

От вида корней зависит вид разложения подынтегральной функции в по формуле (7). Т.к. корни уравнения (8) комплексные (дискриминант), то разложение подынтегральной функции впо формуле (7) имеет вид

После приведения правой части равенства к общему знаменателю получим:

или

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой части равенства, получим систему уравнений:

Решая эту систему, найдем:

, ,,.

Таким образом,

.

В последнем интеграле знаменатель приводим к полному квадрату:

.

В результате интеграл дает арктангенс. Окончательно получим:

◄

Типовой пример

►Подынтегральной функцией является правильная дробь, разложение которой в сумму простейших имеет вид:

Приводя правую часть к общему знаменателю, получаем:

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х, что приведет к линейной системе относительно A,B,C,D,E:

x⁴: A + B = 0

x³: -2B + C = 0

x²: 2A + B – 2C + D = 2

x: -2B + C – 2D + E = 2

x⁰: A – 2C – 2E = 13.

Отсюда A = 1, B = -1, C = -2, D = -3, E = -4. Следовательно,

,

где

Таким образом, окончательный результат имеет вид:

◄