- •Глава 1. Матрицы и определители
- •§1. Матрицы
- •2. Квадратные матрицы
- •3. Действия с матрицами
- •Тогда суммарная производительность (за рабочий день) будет:
- •§2. Определители. Свойства. Вычисление
- •2. Перестановки
- •4. Свойства определителей
- •5. Вычисление определителей -го порядка.
- •§3. Обратная матрица
- •2. Способы вычисления обратной матрицы
- •3. Вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований. Элементарные преобразования матрицы
- •§4. Ранг матрицы
- •Идея практического метода вычисления ранга матрицы
- •Типовой пример Найти ранг и указать какой-нибудь базисный минор матрицы .
- •Глава 2. Системы линейных
- •Алгебраических уравнений
- •§1. Общие понятия
- •§2. Решение линейных систем с помощью обратной матрицы. Правило Крамера. Теорема Кронекера–Капелли
- •2. Правило Крамера
- •3. Критерий совместности системы линейных уравнений
- •§3. Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) решения систем линейных уравнений
- •§4. Однородная система линейных алгебраических уравнений
- •Глава 3. Линейные (векторные) пространства
- •§1. Понятие линейного пространства
- •§ 2. Линейная зависимость и независимость систем векторов. Базис и размерность
- •1. Линейно зависимые и независимые системы векторов.
- •2. Базис и размерность линейного пространства
- •Типовые примеры
- •§ 3. Евклидовы пространства
- •1. Скалярное произведение
- •2. Процесс ортогонализации базиса
- •Типовые примеры
- •Матрица Грамма.Матрицей Грамадля системы векторовназывается симметричная матрица вида
- •4. Ортогональное разложение векторов. Говорят, что векторортогонален к подпространству, если векторортогонален любому вектору из этого подпространства.
- •§4.Унитарное пространство
- •§ 5. Собственные векторы и собственные значения матриц
- •§6. Квадратичные формы и их применения
- •Типовые примеры
§3. Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) решения систем линейных уравнений
1. Под элементарными преобразованиями системы линейных уравнений понимаются следующие операции:
умножение какого-либо уравнения системы на число, отличное от нуля;
прибавление к одному уравнению другого уравнения;
перемена местами уравнений в системе.
Комбинируя элементарные преобразования первого и второго типов, мы можем к любому уравнению прибавить другое уравнение, умноженное на произвольное число.
Производя элементарные преобразования в системе, мы получаем новую систему. Очевидно, что каждому элементарному преобразованию системы соответствуют аналогичные преобразования над строками расширенной матрицы этой системы, и наоборот, каждому элементарному преобразованию строк расширенной матрицы соответствует некоторое элементарное преобразование в системе. Таким образом, элементарные преобразования в системе сводятся к соответствующим преобразованиям над строками ее расширенной матрицы.
Две системы линейных уравнений от одних и тех же неизвестных называются равносильными, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот (или если обе системы несовместны).
Заметим, что число уравнений в равносильных системах может быть различным.
ТЕОРЕМА. При элементарных преобразованиях система линейных уравнений переходит в равносильную систему.
Сущность метода Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к такому виду, чтобы матрица системы оказалась треугольной. Для упрощения изложения мы будем иметь дело не с самой системой, а с расширенной матрицей этой системы (производя при этом элементарные преобразования только над строками матрицы).
Рассмотрим алгоритм применения метода Гаусса на простых Типовой примерах.
Типовые примеры
Решить систему уравнений
1.
►Будем решать методом Гаусса. Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем её, вычитая первую строку, умноженную на 2, 3 и 1 соответственно из 2-ой, 3-ей и 4-ой строк:
.
Далее вторую строку, умноженную на 2 и 3, вычтем соответственно из третей и четвёртой строк:
Последняя матрица эквивалентна следующей ступенчатой системе:
Полученная упрощённая система представляет собой систему из двух уравнений для четырёх неизвестных. Следовательно, два из неизвестных можно выбрать за главные, а два - за свободные, через которые будут выражены главные. Число свободных неизвестных определяется по формуле , где– число неизвестных в исходной системе,– ранг матрицы системы (совпадающий с рангом расширенной матрицы в силу совместности системы). В качестве главных неизвестных можно выбрать любую пару, если определитель, составленный из коэффициентов, стоящих перед ними, отличен от нуля (базисный минор). В данной задаче в качестве главных неизвестных можно выбрать . Действительно, определитель, составленный из их коэффициентов, отличен от нуля:
.
Теперь из второго уравнения выразим через. Затем подставим его в первое уравнение и найдёмчерез. В итоге получим
Переменные принимают произвольные значения. Положив, общее решение системы можно записать в виде
.◄
2.
►Преобразуем расширенную матрицу системы:
~ .
Отсюда следует, что ,, т.е. исходная система несовместна. Заметим, что, применяя метод Гаусса (т.е. исключая неизвестные), мы одновременно проводим исследование системы на совместность (т.е. отыскиваем ранги матрицы системы и расширенной матрицы).◄
3.
►Исследуем систему на совместность:
~ .
Отсюда следует, что – система совместна.
Итак, полученная система, равносильная исходной, содержит одно уравнение с двумя неизвестными. Решение этой системы может быть найдено только в том случае, если мы придадим произвольное действительное значение одному из неизвестных. Тогда другое неизвестное можно выразить через первое.
Положим ; тогда. В итоге получаемобщее решение системы:
, где – произвольная постоянная.
Придавая постоянной различные действительные значения, получаем бесконечное множество решений исходной системы.
При желании можно произвести проверку:
.◄
4.
►Во всех трех системах воспользуемся методом Гаусса.
~
~
Расширенная матрица приведена к трапецеидальному виду. Объявляем «лишние неизвестные» исвободными; запишем систему, соответствующую этой трапецеидальной матрице, перенеся свободные неизвестныеив правую часть:
Степень свободы системы равна двум, значит, решение системы выразится через два параметра. Положив и решив систему из трех уравнений с неизвестныминайдем
где произвольные числа. ◄
5.
►
в результате преобразований появилась строка следовательно, система несовместна. ◄
6.
►
Ранг трапецеидальной матрицы равен 2, значит, степень свободы равна Объявляем неизвестныесвободными. Положивполучим
Таким образом, решением системы является
где произвольные числа (параметры). ◄