Идея практического метода вычисления ранга матрицы

заключается в том, что с помощью элементарных преобразований данную матрицу приводят к виду

,

в котором «диагональные» элементы отличны от нуля, а элементы, расположенные ниже «диагональных», равны нулю. Условимся называть матрицутакого вида треугольной (иначе, ее называют диагональной, трапециевидной или лестничной). После приведения матрицык треугольному виду можно сразу записать, что.

Действительно, (т.к. элементарные преобразования не меняют ранга). Но у матрицысуществует отличный от нуля минор порядка:

,

а любой минор порядка содержит нулевую строку и поэтому равен нулю.

Сформулируем теперь практическое правило вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований: для нахождения ранга матрицыследует с помощью элементарных преобразований привести ее к треугольному виду. Тогда ранг матрицыбудет равен числу ненулевых строк в полученной матрице.

Утверждение

Ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых строк (столбцов).

Типовой пример Найти ранг и указать какой-нибудь базисный минор матрицы .

►Используем свойства ранга матрицы. Для удобства преобразуем матрицу так, чтобы в первой строке самый крайний слева элемент был равен единице. Для этого вычтем первую стоку из второй и преобразованную вторую строку поменяем местами с первой.

Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5:

.

Третья строка равна второй и её можно вычеркнуть. Таким образом, исходная матрица в результате эквивалентных преобразований переходит в следующую:

.

В этой матрице имеются миноры второго порядка, отличные от нуля, например, минор . Этот минор можно выбрать в качестве базисного. Следовательно, ранг исходной матрицы равен двум: . ◄

Глава 2. Системы линейных

Алгебраических уравнений

§1. Общие понятия

Линейным (относительно неизвестных ) называют алгебраическое уравнение первой степени, т.е. уравнение вида, где– числа. Причина такого названия в том, что уравнение первой степени с двумя переменнымиопределяет на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат прямую линию.

Система линейных уравнений с неизвестными имеет вид

В общем случае число уравнений в системе не обязательно совпадает с числом неизвестных: может быть меньше, равно или больше числа.

Система линейных алгебраических уравнений называется прямоугольной, если , иквадратной, если .Числа (вещественные или комплексные) называются коэффициентами системы; –свободными членами; –неизвестными.

Систему можно записать в матричной форме:

,

где ,,.

Матрица - основная матрица системы, - столбец неизвестных, - столбец свободных членов. Очевидно, что система может быть записана в виде:

+ + … +

Если , то система называетсяоднородной, в противном случае она называется неоднородной.

Совокупность чиселназываетсярешением системы, если после замены неизвестных числамисоответственно каждое из уравнений системы превращается в верное равенство.

Пример

Рассмотрим систему линейных уравнений

Эта система 2-х уравнений с тремя неизвестными решений не имеет, так как любая тройка чисел, удовлетворяющая первому уравнению, не может удовлетворять второму.

Пример

Система

имеет единственное решение ,.

Пример

Рассмотрим систему линейных уравнений

Пара чисел есть одно из решений этой системы трех уравнений с двумя неизвестными,– другое решение. Эта система имеет бесконечно много решений: значения,при любом действительном значенииудовлетворяют данной системе.

Рассмотренные примеры систем линейных уравнений показывают, что, вообще говоря, система может либо вовсе не иметь решений, либо иметь единственное решение, либо иметь их несколько (в последнем случае, оказывается, система всегда имеет бесконечное множество решений).

Система линейных уравнений, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Система, обладающая хотя бы одним решением, называется совместной.

Совместная система линейных алгебраических уравнений называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.