§2. Решение линейных систем с помощью обратной матрицы. Правило Крамера. Теорема Кронекера–Капелли

1. Систему можно рассматривать как матричное уравнение . Пусть матрица– невырожденная, тогда существует обратная к ней матрицаУмножим обе части данного равенства слева наПолучим

Но тогда, а поскольку

Итак, решением системы является произведение матрицы, обратной к А, на столбец свободных членов системы.

Типовые примеры

1. Решите систему .

►Матрица системы имеет вид

Она невырожденная, так как соответствующий ей определитель

.

Следовательно, решение системы может быть по формуле , где X – матрица, состоящая из неизвестных, В – матрица, состоящая из свободных членов, А^-1 – обратная матрица для матрицы А. Обратную матрицу А^-1 найдем по формуле

Определим алгебраические дополнения А_ik элементов данной матрицы. Получим

, ,

, ,

, ,

Тогда

В данном случае матричное равенство X = A^-1B может быть записано в виде

откуда ◄

2. Решить систему

►Имеем

Найдем :

Таким образом, .◄

2. Правило Крамера

Рассмотрим систему, у которых число уравнений равно числу неизвестных (такие системы называют квадратными).

Пусть дана система линейных уравнений снеизвестными:

Определитель

,

составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы.

ТЕОРЕМА. Если определитель квадратной системы отличен от нуля, то эта система имеет единственное решение. Это решение может быть найдено по формулам

,

где – определитель, получаемый из определителязаменой-го столбца на столбец свободных членов.

Формулы для неизвестных носят название формул Крамера.

Типовой пример

Решить с помощью формул Крамера систему уравнений

►Убедимся прежде всего в том, что определитель системы отличен от нуля:

.

Вычислим теперь остальные, входящие в формулы Крамера, определители:

,

,

.

Подставив полученные значения определителей в формулы Крамера, имеем

Правильность представленного решения можно проверить подстановкой значений в исходную систему уравнений. ◄

3. Критерий совместности системы линейных уравнений

Рассмотрим снова произвольную систему линейных уравнений снеизвестными, которую запишем, как и раньше, в матричной форме:

,

где ,,.

Матрицу называютматрицей системы, а матрицу, полученную из матрицы добавлением столбца свободных членов, –расширенной матрицей системы. Обозначим расширенную матрицу системы символом :

.

Очевидно, что ранги матриц исвязаны неравенством

.

Ранг матрицы может быть лишь на единицу больше ранга матрицы.

Вопрос о совместности системы полностью решается следующей теоремой.

ТЕОРЕМА (Кронекера-Капелли). Для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен рангу ее расширенной матрицы, т.е. чтобы .

Если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы, т.е. , то ранг матрицы системы называют рангом системы.