Тогда суммарная производительность (за рабочий день) будет:

=

2. Расход сырья на каждом предприятии найдется из выражения:

=

Суммарное количество I и II видов сырья по всем предприятиям можно получить, умножив матрицу – строку на матрицу

=.

3. Размеры кредитов определяются стоимостью сырья, используемого каж-

дым предприятием, путем умножения матрицы на матрицу.

==1 917 900. Размер кредитов всем предприятиям равен 1 917 900 руб.◄

§2. Определители. Свойства. Вычисление

1. Квадратной матрице -го порядка соответствует число, называемое определителем (или детерминантом). Обозначается определитель: ,,.

Если = 1 , то			– определитель 1-го порядка.
Если = 2 , то			– определитель 2-го порядка.

Схема вычисления:

.

Если = 3 , то

– определитель 3-го порядка.

Определитель третьего порядка можно вычислять по правилу треугольников (правилу Саррюса).

Схема вычисления

Типовые примеры

Вычислить определитель.

1) .

►.◄

2) .

►

=-28 +16= - 12.◄

3) .

►

=(0+12+16)-(0+12+4)=28-16=12. ◄

Прежде чем сформулировать определение определителя -го порядка, рассмотрим одно вспомогательное понятие.

2. Перестановки

Перестановкой чисел называют расположение этих чисел в каком-либо определенном порядке (не обязательно в порядке возрастания). НаТиповой пример,– одна из возможных перестановок чисел.

Число различных перестановок, которые можно составить из чисел , равно произведению(читается: «n факториал»).

Пусть дана какая-то перестановка чисел. Назовеминверсией (или беспорядком) в перестановке любую пару чисел в этой перестановке, из которых большее число расположено левее меньшего.

Типовой пример

В перестановке имеются 3 инверсии: их образуют пары,,.

Условимся обозначать общее число инверсий в перестановке символом. Перестановканазываетсячетной, если число – четное, инечетной, если число – нечетное.

Так в рассмотренном выше примере перестановка содержала 3 инверсии и, следовательно, является нечетной. Заметим, что перестановка не содержит ни одной инверсии, иначе говоря, содержит 0 инверсий. Следовательно, эта перестановка является четной.

3. Определитель -го порядка

Определителем -го порядка (или определителем матрицы-го порядка) называется число, равное

, (4)

где суммирование распространяется на все перестановки , которые можно составить из чисел. Количество слагаемых в правой части равенства (4) равно, так как количество всех перестановок множества изэлементов равно.

4. Свойства определителей

Сформулируем без доказательства ряд свойств, которыми обладает произвольный определитель -го порядка:

1. Свойство равноправности строк и столбцов. При транспонировании величина определителя сохраняется, т.е. .Это свойство означает полную равноправность строк и столбцов и позволяет нам все последующие свойства формулировать лишь для строк и быть уверенными в справедливости их и для столбцов.

2. При перестановке местами 2-х строк определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный.

3. Линейное свойство определителя. Если все элементы -ой строки определителя-го порядка представлены в виде суммы двух слагаемых

,

то исходный определитель можно представить в виде суммы двух определителей, у которых элементами -й строки являются соответственнои, а все остальные строки – такие же, как у исходного определителя. При этом определители умножаются на исоответственно:

.

Конечно, линейное свойство справедливо и для случая, когда -я строка является линейной комбинацией не двух, а нескольких строк. На этот случай (любого конечного числа слагаемых) сформулированное свойство обобщается индукцией по числу слагаемых. Приведенные три свойства являютсяосновными свойствами определителя. Все следующие свойства являются логическими следствиями трех основных свойств.

4. Определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю. В самом деле, при перестановке двух одинаковых строк, с одной стороны, определитель не изменится, а с другой стороны, в силу свойства 2 изменит свой знак на противоположный. Таким образом,, т.е.или.

5. Умножение всех элементов некоторой строки определителя на число равносильно умножению определителя на это число. Иными словами, общий множитель всех элементов некоторой строки определителя можно вынести за знак этого определителя. Это свойство вытекает из свойства 3 при .

6. Если все элементы некоторой строки определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю. Это свойство вытекает из свойства 5 при .

7. Если элементы двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю. В самом деле, в силу свойства 5 множитель пропорциональности можно вынести за знак определителя, после чего останется определитель с двумя одинаковыми строками, который равен нулю согласно свойству 4.

8. Если к элементам некоторой строки определителя прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольный множитель , то величина определителя не изменится. В самом деле, полученный в результате указанного прибавления определитель можно в силу свойства 3 разбить на сумму двух определителей, первый из которых совпадает с исходным, а второй равен нулю в силу пропорциональности двух строк и свойства 7.

9. Определитель произведения матриц. Если , гдеи– квадратные матрицы (одинакового порядка), то.