§4.Унитарное пространство

Линейное пространство называетсяунитарным пространством, если каждой паре поставлено в соответствие комплексное число, которое называется скалярным произведениемна, обозначается, и для любыхи комплексныхудовлетворяет следующим требованиям:

1) ;

2) ;

3) , причем равенство возможно лишь том случае, когда.

Утверждение. Комплексное линейное пространство

Uⁿ=,

в котором скалярное произведение векторов задано равенством

,

является унитарным пространством.

Типовые примеры

1. Векторы образуют ортонормированный базис в унитарном пространстве. Найти скалярное произведение, если

.

►В рассматриваемом случае в соответствии со свойствами скалярного произведения в унитарном пространстве можно записать ◄

2.В унитарном пространстве со скалярным произведением вида построить ортонормированный базис по данному

.

►Сначала проведём процедуру ортогонализации. В данном случае она аналогична описанной для евклидова пространства. Положим

.

Используя условия ортогональности, получим

.

Теперь отнормируем векторы :

◄

§ 5. Собственные векторы и собственные значения матриц

1. Пусть – квадратная матрица порядкаи. Числоназываетсясобственным значением матрицы , если существует ненулевой вектор, такой что выполнено равенство

Вектор , удовлетворяющий данному соотношению называетсясобственным вектором матрицы , соответствующим собственному значению .

Справедливы следующие свойства.

1. Собственному вектору матрицы соответствует единственное собственное значение. Действительно, если – два собственных значения вектора, тои, откудаили, значит, что противоречит определению. Значит.

2. Если собственный вектор матрицы, удовлетворяющий собственному значению, и– произвольное действительное число, то- так же собственный векторс собственным значением.Действительно, умножим обе части равенства на, получимили, следовательно, ненулевой вектор, удовлетворяет определению и поэтому является собственным вектором матрицы, соответствующим собственному значению.

3. Если илинейно независимые собственные векторы матрицыс одним и тем же собственным значением, то+– собственный векторс собственным значением.Действительно, в силу линейной независимости и, причём, что согласно определению и означает, что вектор– собственный, отвечающий собственному значению.

4. Собственные векторы матрицы , соответствующие попарно различным собственным значениям являются линейно независимыми. Докажем свойство для . Пустьи,. Предположим, чтои- линейно зависимы, следовательно, существует линейная комбинацияпричём хотя бы один из коэффициентовиненулевой. Пусть, тогдагде. Значит, согласно свойству 2 векторявляется собственным вектором матрицы, отвечающим собственному значению. Из единственности собственного значения для вектораследует, что. Значит, векторыилинейно независимы.

Преобразуем равенство

получим

В развёрнутом виде данное равенство есть однородная система уравнений с неизвестными. Такая система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда её определитель равен нулю, то есть

Левая часть есть многочлен степени по. Он называетсяхарактеристическим многочленом матрицы . Данное уравнение называетсяхарактеристическим уравнением, а его корни – характеристические числа или собственные значения матрицы . Совокупность всех собственных значений матрицыс учётом их кратности (как корней характеристического уравнения) называетсяспектром матрицы . 2. Приведение матрицы к диагональному виду ТЕОРЕМА 1. Сумма собственных значение матрицы А, равна сумме её диагональных элементов, а произведение собственных значений равно определителю матрицы.

Рассмотрим случай размерности . Выпишем характеристическое уравнение:

или .

По теореме Виета, и.

Если матрица А имеет треугольный или диагональный вид, то собственные значения в точности совпадают с диагональными элементами. Поставим задачу привести данную матрицу к диагональной или треугольной форме не меняя собственных значений.

Квадратная матрица А называется приводимой к диагональному виду, если существует невырожденная матрица такая, что– диагональная.

ТЕОРЕМА 2. Пусть А – квадратная матрица порядка имеетлинейно независимых собственных векторов. Если взять эти векторы в качестве столбцов матрицы, тогда матрицаимеет диагональный вид, причём на диагонали стоят собственные значения матрицыА, то есть

.

Пример

Пусть дана леонтьевская балансовая модель «затраты–выпуск». Определить, будет ли продуктивной матрица технологических коэффициентов . Найти вектор валовой продукциипри заданном, где

;.

►Для решения вопроса о продуктивности матрицы следует найти собственные значения этой матрицы. Составим характеристическое уравнение:

,

или

.

Следовательно, ;. Оба корня по модулю меньше единицы, значит, матрица технологических коэффициентовпродуктивная. Для определения вектора валовой продукцииимеем формулу . Найдем обратную матрицу для матрицы

.

Обозначим , тогда. Следовательно,

.◄

Пример (простая модель обмена)

Пусть имеется система отраслей производства, каждая из которых выпускает продукцию одного вида. Примем за единицу объем продукции каждой отрасли в рассматриваемом периоде. Обозначим черездолю продукции отрасли, которая поступает в отрасль. Будем считать, что обмен продукцией происходит только внутри системы (система замкнута), т.е.. Рассмотрим матрицу коэффициентов:

,

где .

Матрица со свойством(сумма элементов ее любого столбца равна единице), называетсяматрицей обмена. Требуется установить такие цены на продукцию каждой отрасли, при которых вся система находится в равновесии, т.е. ни одна отрасль не обогащается за счет другой.

Пусть - цена одной единицы продукции отрасли, а- вектор цен. Тогда расход отрасли, т.е. стоимость всей закупаемой ее продукции определяется как

.

Чтобы отрасль могла развиваться , ее расход не должен превышать дохода, который равен стоимости произведенной ее продукции, т.е.:

.

Если искомые равновесные цены существуют , то система данных неравенств выполняется для них как система равенств:

Данную систему удобно записать в матричном форме

или .

Матричное уравнение означает, что собственный вектор матрицы обмена , отвечающий ее собственному значению, представляет собой искомый вектор равновесных цен.

Пример (модель международной торговли)

Пусть имеется система стран, бюджет каждой из которых равен соответственно. Обозначим черездолю бюджета, которую странатратит на закупку у страны. Будем считать, что весь бюджет расходуется на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран (система замкнута), т.е..

Рассмотрим матрицу коэффициентов :

,

где .

Матрица со свойством(сумма элементов ее любого столбца равна единице), называетсяструктурной матрицей торговли.

Требуется найти вектор бюджетов стран , обеспечивающий равновесие всей системы, при котором отсутствует значительный дефицит торгового баланса для каждой из стран участниц.

Для любой страны , выручка от внешней и внутренней торговли определяется как.

Условие сбалансированной (бездефицитной) торговли формулируется естественным образом: для каждой страны ее бюджет должен быть не больше выручки от торговли, т.е.

.

Если искомые бездефицитные бюджеты существуют, то данная система неравенств выполняется для них как система уравнений:

Данную систему можно записать в матричной форме :

или .

Матричное уравнение означает, что собственный вектор структурной матрицы торговли , отвечающей ее собственному значению, состоит из бюджетов стран бездефицитной международной торговли.

Пример

Экономическая система состоит из трех отраслей производства, каждая из которых выпускает один вид продукции. Обмен внутри системы происходит в соответствии с данной матрицей обмена

.

Найдите вектор равновесных цен.

► Найдем собственный вектор , матрицы, отвечающий ее собственному значению, решив уравнение, которое в нашем случае имеет вид

.

Решив ее, найдем . Полагая, находим равновесные цены на продукцию каждой отрасли:, где параметрможно трактовать как множитель, связанный с денежной единицей. ◄

Пример

Структурная матрица торговли трех стран имеет вид

.

Найдите соотношение бюджетов этих стран для сбалансированной торговли.

► Найдем собственный вектор , матрицы, отвечающий ее собственному значению, решив уравнение, которое в нашем случае имеет вид

.

Решив данную однородную систему линейных уравнений, получим . Полученный результат означает, что прибюджеты стран определяются как, и сбалансированность торговли трех стран достигается при следующем соотношении бюджетов.◄

Пример

Структурная матрица торговли четырех стран имеет вид

.

Найдите бюджеты этих стран, удовлетворяющие сбалансированной торговли при условии, сумма бюджетов задана:

(усл. ден. ед.)

►Найдем собственный вектор , матрицы, отвечающий ее собственному значению, решив уравнение, которое в нашем случае имеет вид

.

Решив данную систему получим . Полученный результат означает, что прибюджеты стран определяются как. Подставив найденные значения в заданную систему бюджетов, получим, откуда. Окончательно находим искомые величины стран при бездефицитной торговле (в усл. ден. ед.):◄