§ 2. Линейная зависимость и независимость систем векторов. Базис и размерность

1. Линейно зависимые и независимые системы векторов.

Пусть – произвольное вещественное векторное пространство,,.Линейной комбинацией векторов с коэффициентаминазывается вектор, получаемый по правилу

.

Линейная комбинация называетсянетривиальной, если в ней хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Линейная комбинация виданазываетсятривиальной; она, очевидно, равна нулевому вектору .

Система векторов называетсялинейно зависимой, если существует хотя бы одна нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору. В противном случае, т.е. если только тривиальная линейная комбинация данных векторов равна нулевому вектору, векторы называются линейно независимыми.

ТЕОРЕМА (критерий линейной зависимости). Для того чтобы система векторов линейного пространства была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы, по крайней мере, один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.

1) Если среди векторов имеется хотя бы один нулевой вектор, то вся система векторов линейно зависима.

2) Если среди векторов некоторые образуют линейно зависимую систему, то и вся системалинейно зависима.

Типовые примеры

1. Являются ли линейно зависимыми (независимыми) векторы

►По определению линейная зависимость или независимость векторов устанавливается исходя из условия равенства нулю линейной комбинации этих векторов

или в развёрнутом виде

Если эти равенства выполняются при условии, что хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то векторы линейно зависимы. Записанные равенства представляют собой однородную систему линейных уравнений относительно коэффициентов. Эта система имеет нетривиальное решение (т.е. решение, в котором не всеодновременно равны нулю) только при условии равенства нулю определителя системы. В рассматриваемом случае определитель системы равен

Таким образом система имеет лишь тривиальное решение и исходная совокупность векторов линейно независима.◄

2. При каких векторлинейно выражается через векторы

►По условию задачи надо найти такие , при которых выполняется равенство

или в развёрнутом виде

Записанные соотношения представляют собой систему неоднородных линейных уравнений относительно - коэффициентов линейной комбинации. В соответствии с теоремой Кронекера-Капелли эта система совместна, если ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. Выпишем расширенную матрицу для заданных условий:

Сначала определим ранг основной матрицы. Видно, что отличные от нуля миноры второго порядка в матрице имеются, например, минор, стоящий в левом верхнем углу. Вычислим теперь минор третьего порядка (определитель) основной матрицы

.

Следовательно, ранг основной матрицы равен двум. Таким образом рассматриваемая система будет совместна, если ранг расширенной матрицы также будет равен двум. Для этого необходимо, чтобы второй минор третьего порядка расширенной матрицы был равен нулю, т.е.

откуда следует

◄