§2. Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса и ее применение к расчету электростатических полей

Закон взаимодействия электрических зарядов – закон Кулона – можно представить в виде теоремы Гаусса. Для ее формулировки потребуется ввести понятие потока вектора напряженности поля через поверхность. Рассмотрим однородное поле, в котором линии напряженности представляют собой параллельные прямые. Выделим в этом поле участок плоскости площадьюS, направление вектора нормалиnк которой составляет с напряженностьюЕугол(рис. 2.1).

Поток ФвектораЕ через площадкуSопределяется выражением:

Рис. 2.1 или,

где Е_n – нормальная к площадке составляющая вектора напряженности.

Если ввести вектор площадиS=Sn, то потокФв случае однородного поля можно представить как скалярное произведение векторов напряжённости и площади:

Ф=ЕS.

Неоднородное поле можно мысленно разбить на малые области, в которых напряженность поля меняется по величине и направлению столь незначительно, что в пределах этой области поле можно считать однородным. В каждой такой области линии напряженности представляют собой параллельные прямые и имеют постоянную густоту. Поток dФчерез элементарную площадкуdS(достаточно малую площадку можно считать плоской) можно представить в разных видах:

dФ = EdS = EdScos = Е_ndS = ЕdS_, (2.1)

где dS_площадь проекции площадки на плоскость, перпендикулярную линиям напряженности.

В общем случае поверхность, через которую мы хотим найти поток, разбивается на большое число элементарных площадок и потоки через эти площадки суммируются. Таким образом полный поток Фзаписывается как поверхностный интеграл

. (2.2)

Используя представление поля с помощью силовых линий, можно сказать, что поток пропорционален числу силовых линий пересекающих поверхность.

Для замкнутой поверхности поток будем определять по отношению к внешней нормали (в противном случае поток имел бы ту же самую абсолютную величину, но противоположный знак).

Найдем поток вектора напряженности Ечерез поверхность сферы радиусаr, создаваемый зарядомq, находящимся в центре этой сферы. Напряженность поля перпендикулярна поверхности сферы, а ее проекция на направление внешней нормали во всех точках одинакова:Е=q/(4₀r²), поэтому

Величина потока оказалась не зависящей от радиуса сферы. Если представить картину силовых линий точечного заряда, это окажется вполне очевидным.

Рассмотрим точечный зарядqокруженный произвольной гладкой замкнутой поверхностьюS. Выделим на ней малый элемент площадиdS. ВекторdSнаправлен по внешней нормали к поверхности,- угол между векторамиЕиdS. ПотокdФчерез элемент площадиdSв соответствии с определением (2.1) запишется в виде

dФ = EdS = . (2.3)

Для дальнейших выкладок необходимо вспомнить определение телесного угла. Телесный угол – часть пространства, ограниченная прямыми, проведенными из одной точки (вершины) ко всем точкам какой либо замкнутой кривой. Мерой телесного угла является отношение площади S_, вырезаемой им на сфере с центром в вершине угла, к квадрату радиуса сферы (=S_/r²). Малый элемент телесного угла, ограниченный прямыми, проходящими через границу элементарной площадки

d=dS_/r²=dScos/r². (2.4)

Полный линейный угол равен отношению длины окружности к радиусу, т.е. 2. Аналогично, полный телесный угол равен отношению площади поверхности сферы к квадрату радиуса, т.е. 4.

Используя соотношения (2.2-4) полный поток через замкнутую поверхность, окружающую заряд запишется в виде:

(2.5)

Таким образом, поток вектора напряженности через поверхность, окружающую заряд, равен величине этого заряда, деленной на электрическую постоянную ₀. При этом ни симметрия поверхности, ни точка расположения заряда совершенно не существенны. Поток поля любого заряда, расположенного вне замкнутой поверхности, будет равен нулю. Это удобно проиллюстрировать с помощью силовых линий (сколько линий войдет, столько и выйдет).

Если внутри замкнутой поверхности находится несколько зарядов, то, в соответствии с принципом суперпозиции, потоки напряженностей их полей будут складываться.

. (2.6)

В ряде случаев вместо модели точечных зарядов удобнее использовать представление о непрерывно распределенном заряде.

Введем понятие пространственной плотности заряда (x,y,z) = dq/dV, гдеdq– заряд, находящийся в бесконечно малом объемеdV, содержащем точку (x,y,z). Тогда соотношение (2.6) перепишется в виде:

, (2.7)

где V– объем, ограниченный поверхностьюS.

Соотношения (2.6-7) выражают теорему Гаусса:поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность пропорционален величине заряда, находящегося внутри этой поверхности.

В системе СИ коэффициент пропорциональности равен 1/₀. В гауссовой системе – 4.

Теорема Гаусса принадлежит к числу основных законов электродинамики. Вместе с тем, в случае достаточно высокой симметрии зарядовой системы, ее используют для решения задач электростатики.

В качестве примера рассмотрим поле равномерно заряженной плоскости вблизи от нее и одновременно вдали от ее краев, так что плоскость можно считать бесконечной. На рис 2.3 заряженная плоскость перпендикулярна плоскости рисунка (заряд положительный). Из симметрии задачи следует, что векторЕнаправлен по нормали к плоскости, причем его направление по отношению к ней одинаково в обоих полупространствах (или от плоскости при положительном заряде, или к ней при отрицательном), а модульЕнапряженности одинаков. Пусть заряд распределен по плоскости с поверхностной плотностью=dq/dS.Возьмем цилиндрическую поверхность, образующая которой перпендикулярна плоскости, основание имеет произвольную форму площадиS, а заряженная плоскость пересекает боковую поверхность между двумя основаниями цилиндра. Поток через боковую поверхность равен нулю, а потоки через основания одинаковы и равныES.

Учитывая, что заряд внутри поверхности S, из теоремы Гаусса (2.6-7) следуетЕ2S=S, а значит напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной плоскостью

. (2.8)

Теперь найдем поле однородно заряженной нити, концы которой достаточно удалённы для того, чтобы ее можно было считать бесконечной. Из соображений симметрии следует, что напряженность перпендикулярна нити и направлена по радиусу от нее. Пусть =dq/dlлинейная плотность заряда нити. Окружим нить цилиндрической поверхностью высотыhи радиусаr. Тогда (2.6-7) перепишется в виде:

откуда получаем напряженность поля нити

(2.9)

Легко показать, что поле внутри равномерно заряженного с объемной плотностью цилиндра

,

где r– расстояние от оси, меньшее радиуса цилиндра.

Из теоремы Гаусса и соображений симметрии следует, что поле внутри однородно заряженной сферы равно нулю, а вне сферы напряженность совпадает с напряженностью поля точечного заряда, помещенного в центр сферы, величина которого равна полному заряду сферы. Если теперь рассмотреть равномерно заряженный с объемной плотностью шар, то поле внутри шара

.

Следует отметить, что доказательство теоремы Гаусса основывается на обратной пропорциональности силы взаимодействия двух точечных зарядов квадрату расстояния между ними и принципе суперпозиции. Поэтому она применима к любому физическому полю, где действует закон обратных квадратов и принцип суперпозиции, например к гравитационному полю