§ 6. Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона

Адиабатическим называется процесс, происходящий в условиях тепловой изоляции системы, когда Q = 0.  Работа, совершаемая системой в адиабатическом процессе, равна взятому с противоположным знаком изменению внутренней энергии

A =  dU.

Если адиабатический процесс проводится с идеальным газом, то

A =  C_V dT, или A₁₂ =  C_V(T₂ – T₁).

Найдем, как связаны между собой параметры состояния идеального газа, совершающего квазистатический адиабатический процесс. Учитывая, что Q = 0, а dU = C_V dT, уравнение первого начала термодинамики (3.3), можно переписать в виде

. (6.1)

Пользуясь соотношением (5.4) можно выразить dT через dP и dV

и подставить в (6.1). Принимая во внимание, что C_V + R = C_P получим

. (6.2)

Введем обозначение , и поделим равенство (6.2) наС_VPV.

При этом произойдет разделение переменных .

Интегрируя, получим , или.

Это дает уравнение адиабаты в переменных давление-объем

. (6.3)

Соотношение (6.3) называется уравнением Пуассона.

Величина  = C_P /C_V называется показателем адиабаты или адиабатической постоянной. Пользуясь тем, что PV = RT, легко получить уравнение адиабаты в переменных T-V и T-P

, (6.4)

. (6.5)

Так как C_P > C_V, то   1. Тогда из (6.4) следует, что при адиабатическом сжатии газ нагревается, а при адиабатическом расширении – охлаждается. Это явление используется в дизелях, где воспламенение горючей смеси осуществляется путем адиабатического сжатия. Нагревание объясняется тем, что во время сжатия внешние силы совершают над газом работу, которая идет на увеличение его внутренней энергии, а значит и температуры.

Рис. 6.1

На P-V диаграмме (рис. 6.1) адиабата S-S внешне похожа на изотерму T-T, но имеет больший наклон. Сравним производные (P/V)_T и (P/V)_ад, определяющие наклон изотермы и адиабаты.

Из уравнения изотермы PV = const следует, что P(dV)_T + V(dP)_T = 0. Отсюда

. (6.6)

Беря дифференциал от обеих частей уравнения адиабаты (6.3), получим

.

Тогда . (6.7)

Следовательно . (6.8)

Так как   1, из соотношения (6.8) следует, что при адиабатическом изменении объема давление меняется сильнее, чем при изотермическом.

§ 7. Связь модулей объемной упругости с теплоемкостями

Модуль объемной упругости К, также называемый модулем всестороннего сжатия, показывает, насколько сильно меняется давление при изменении объема. Он является коэффициентом пропорциональности, связывающим изменение давления и относительное изменение объема

.

Так как давление зависит не только от объема, но и от температуры, K определяется не только веществом, но и условиями сжатия. Наиболее важными являются адиабатический K_ад и изотермический К_Т модули объемной упругости. Они определяются соотношениями

и .

В предыдущем параграфе было показано, что для идеального газа

.

Отсюда следует, что K_ад =  K_Т. Покажем, что такое соотношение между адиабатическим и изотермическим модулями объемной упругости имеет место не только для идеального газа, но и для любого однородного и изотропного вещества. При выводе будем пользоваться фактом существования уравнения состояния (не зная его конкретного вида) и первым началом термодинамики

f(P,V,T) = 0,

Q = dU + PdV.

Запишем первое начало термодинамики для адиабатического (Q = 0) процесса

dU + PdV = 0.

Рассматривая внутреннюю энергию как функцию температуры и объема U=U(T,V), возьмем ее полный дифференциал

dU = (U/T)_V dT + (U/V)_T dV

и подставим в предыдущее выражение. Учитывая, что (U/T)_V = C_V получим

C_V dT + [(U/V)_T + P]dV = 0.

Из соотношения (4.6) следует, что выражение в квадратных скобках равно (Cp – C_V)(T/V)_P.

Тогда

C_V dT + (Cp – C_V)(T/V)P dV = 0. (7.1)

Напомним, что рассматривается адиабатический процесс, и приращения dV и dT связывают температуру и объем на адиабате. Обозначая, как обычно, С_Р/С_V = , можно эту связь представить в виде

. (7.2)

Соотношение (7.2) в каких-то ситуациях может оказаться весьма полезным, но сейчас нас интересует связь давления с объемом.

Рассматривая температуру как функцию давления и объема T = T(P,V), возьмем ее полный дифференциал dT = (T/P)_V dP + (T/V)_P dV и подставим в уравнение (7.1). После упрощений получим

,

или .

Воспользовавшись тождеством (2.4) легко убедиться, что (T/V)_P(P/T)_V =  (P/V)_T.

Окончательно получим .

Значит K_ад =  K_Т для любого однородного и изотропного вещества.