§ 7. Ранжирование. Способы задания выборки

Пусть каждый объект в выборке изучается относительно некоторого количественного или качественного признака Х.

Примеры:

X – успеваемость по предмету,

Y – познавательная активность школьника по предмету,

Z – объем оперативной памяти.

Качественные признаки во многих случаях можно условно превратить в количественные с помощью ранжирования, т.е. выделения уровней (рангов) качества. При этом обычно лучшему качеству приписывается меньшее числовое значение.

Для признака Х используются 4 ранга – х₁, х₂, х₃, х₄:

х₁ = «2», х₂ = «3», х₃ = «4», х₄ = «5».

Для признака Y используются обычно 5 рангов:

y₁ = «1» – постоянная увлеченность предметом,

y₂ = «2» – постоянный интерес к предмету,

y₃ = «3» – периодический интерес к предмету,

y₅ = «4» – отсутствие интереса к предмету,

y₅ = «5» – отказ учиться, неприязнь к предмету.

Для признака Z можно использовать два ранга z₁, z₂:

z₁ = «1» – относительно большой объем оперативной памяти,

z₂ = «2» – относительно маленький объем оперативной памяти.

Выборки по одному признаку можно задавать тремя способами:

а) с помощью простого перечисления значений признака,

б) с помощью вариант и частот,

в) с помощью вариант и относительных частот.

Для того чтобы задать выборку с помощью простого перечисления значений признака, нужно записать значения признака для каждого объекта выборки в порядке появления.

Пример. Пусть Х – успеваемость по предмету (в баллах). (2; 3; 4; 5; 2; 3; 2; 5; 5; 5) – выборка объема n = 10.

При задании выборки с помощью вариант и частот предварительно нужно указать варианты – различные значения признака. Для каждой варианты х_i определяют ее частоту n_i: n_i = число появлений варианты х_i в выборке. ( n_i = n).

В этом случае, для того чтобы задать выборку, достаточно указать лишь варианты и их частоты. Выборку в последнем примере зададим с помощью вариант и частот:

Хi	2	3	4	5	 ni =10.
ni	3	2	1	4

Если вместо n_i указывать относительные частоты w_i = n_i/n, то выборку можно задать с помощью вариант и относительных частот:

хi	2	3	4	5	 wi =1.
wi	0,3	0,2	0,1	0,4

§ 8. Выборочные числовые характеристики

По выборке по признаку Х можно найти выборочные числовые характеристики:

Х_в – выборочная средняя,

Д_в (Х) – выборочная дисперсия,

_в (Х) – выборочное среднее квадратическое отклонение.

Выборочную среднюю Х_в можно найти по выборке по формулам:

Х_в = (х₁+ х₂+ х₃+…+х_n)

в случае задания выборки с помощью простого перечисления значений признака;

Х_в = ( х₁n₁+ х₂n₂+ х₃n₃+…+х_kn_k)

в случае задания выборки с помощью вариант и частот;

Х_в = ( х₁w₁+ х₂w₂+ х₃w₃+…+х_kw_k)

в случае задания выборки с помощью вариант и относительных частот.

В нашем примере

Х_в = (2+3+4+5+2+3+2+5+5+5)= 3,6

Х_в = (23+32+41+54)= 3,6

Х_в = 20,3+30,2+40,1+50,4= 3,6

Х_в характеризует среднее значение признака Х во всей генеральной совокупности. Таким образом, в нашем примере Х_в= 3,6 балла – средняя успеваемость ученика по предмету.

Для нахождения дисперсии Д(Х) также могут использоваться различные формулы в зависимости от способа задания выборки. Обычно используют следующую формулу:

Д(Х) = Х_в² – (Х_в)².

Здесь Х_в – выборочная средняя признака Х;

Х_в² – выборочная средняя квадрата признака Х;

Х_в² = (х₁² + х₂² + х₃² + … + х_n²) – в случае если выборки заданы с помощью перечисления значений признака;

Х_в² = (х₁²n₁ + х₂²n₂ + х₃²n₃+ … + х_к²n_к) – в случае, когда выборки заданы с помощью вариант и частот.

Найдем Д_в(Х), _в(Х) в нашем примере.

Имеем:

Х_в² = (2²3 + 3²2 + 4²1 + 5²4) = 146 = 14,6 ;

Д_в(Х) = Х_в² - Х_в² = 14,6 – 3,6² = 14,6 – 12,96 = 1,64 ;

_в(Х) = = ≈ 1,28 (балла).

Выборочные числовые характеристики Д_в(Х), _в(Х) характеризуют разброс значений признака Х во всей генеральной совокупности: чем больше Д_в(Х) (или _в(Х)) , тем больше разброс.

При малых объемах выборки (n  30) выборочные Д_в(Х), _в(Х) «исправляют», т.е. берут исправленные характеристики:

Д_{в испр.}(Х) = Д_в(Х) ,

_{в испр}(Х) = .

В нашем примере n < 30, поэтому

Д_{в испр.}(Х) = Д_в(Х) = 1,64  1,82,

_{в испр}(Х) =  1,35 (балла).