Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Тверской государственный университет»

Кафедра математики с методикой начального обучения

Элементы теории вероятностей и математической статистики

Методическая разработка для студентов Iкурса

педагогического факультета

Тверь, 2008

Составитель: кандидат физико-математических наук, доцент А.А. Серов.

Предлагаемое руководство определяет объём и содержание учебной работы по дисциплине «Математика и информатика» студентов 1 курса очной и заочной форм обучения педагогического факультета специальностей: «Дошкольная педагогика и психология»; «Педагогика и методика начального образования»; «Логопедия»; «Музыкальное образование».

В пособии приводятся основные определения, формулы, примеры вычислений, упражнения.

Печатается по решению кафедры математики с методикой начального обучения (Протокол № 10, от 27.06.2008г.).

Т

еория вероятностей – это раздел высшей математики, в котором изучается мир случайного. Собственно, мир остаётся таким, каков он есть, но показывается, но не совсем с обычной стороны. Оказывается, пользуясь языком науки о случае – теории вероятностей, можно описать многие явления и ситуации.

Математическая статистика, так же как и теория вероятностей, изучает мир случайного, но другими, своими, методами.

Предметом математической статистики являются статистические данные, т.е. результаты наблюдений за массовыми случайными событиями.

Основные задачи математической статистики:

1. Оценка неизвестных вероятностей случайных событий.

2. Нахождение приближенных законов распределений случайных величин, точные законы распределений которых неизвестны.

3. Оценки неизвестных параметров распределений случайных величин: математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения.

4. Оценки неизвестных коэффициентов корреляций между случайными величинами.

§1. Случайные события. Основные определения

Человека окружает мир событий. Он часто замечает такой факт6 одни события при реализации данного комплекса условий непременно происходят, другие же могут произойти, а могут и не произойти. Рассмотрим группу таких событий:

Событие	Комплекс условий	Исход
А1	Нагревание проволоки	Её длина увеличилась
А2	Бросание игральной кости	Выпало 4 очка
А3	Бросание монеты	Выпал герб
А4	Низкая температура	Вода превратилась в лёд

Про события А₁ и А₄ мы вынуждены сказать, что они произойдут закономерно, а про события А₂ и А₃ – что они могли произойти, но могло бы быть иначе. Сравнение данных примеров позволяет ощутить случайность событий А₂ и А₃. Отсюда непосредственно следует определение понятия.

Определение 1. Случайным событием называется такой исход наблюдения или эксперимента, который при реализации данного комплекса условий может произойти, а может и не произойти.

Определение 2. Событие называется невозможным, если в результате опыта оно никогда не произойдёт.

Определение 3. Событие называется достоверным, если в результате опыта оно происходит каждый раз.

Рассмотрим следующие события:

А – «два попадания при трёх выстрелах»;

В – «наугад выбранное трёхзначное число не превосходит 1000»;

С – «наугад выбранное трёхзначное число, составленное из цифр 1, 2, 3 без повторений, меньше 400»;

Д – «появление 20 очков (в сумме) при бросании трёх игральных костей»;

Е – «составление из цифр 1, 2, 3, 4 четырёхзначного числа, кратного пяти».

Ясно, что события В и С происходят в любом опыте, т.е. являются достоверными, а события Д и Е никогда не наблюдаются, т.е. являются невозможными. Событие А может произойти и не произойти – это случайное событие.

Определение 4. События А₁,А₂….Аn называются несовместными (в данном опыте), если появление любого из этих событий исключает появление любого другого из этих событий, и совместными – в противном случае.

Определение 5. Говорят, что события А₁, А₂,….Аn составляют полную группу событий в данном опыте, если в результате опыта хотя бы одно из этих событий обязательно произойдёт.

Ясно, что если события, составляющие полную группу, несовместны, то в результате опыта произойдёт ровно одно событие; если события, составляющие полную группу, совместны, то в результате опыта может произойти более чем одно событие.

Определение 6.События А₁, А₂,…..Аn называются равновозможными, если нет оснований полагать, что одно из событий имеет большую возможность появления, чем другие.

Определение 7. Два несовместных события в одном опыте называются противоположными, если они составляют полную группу событий.

Если одно из противоположных событий А, то другое событие обозначают Ā (не А).

Определение 8. Элементарными событиями в данном опыте называют несовместные равновозможные события, составляющие полную группу.

Рассмотрим примеры:

1. Пусть монета бросается один раз. В этом опыте возможны всего два события:

А₁ – «появляется герб»,

А₂ – «появляется решка».

Ясно, что события А₁, А₂ несовместны равновозможны и составляют полную группу, т.е. А₁ и А₂ – элементарные события в данном опыте. В данном случае равновозможность можно объяснить симметрией и однородностью материала монеты. Далее Ā₁=А₂, Ā₂=А₁, т.е. А₁ и А₂ – противоположные события. В данном случае элементарных событий равно два: А₁ и А₂ (или А₁ и Ā₁ в других обозначениях).

2. Пусть бросается один раз игральная кость. В данном опыте рассмотрим следующие события:

Е1 – «выпадение 1», Е2 – «выпадение 2», Е3 – «выпадение 3»,

Е4 – «выпадение 4», Е5 – «выпадение 5», Е6 – выпадение 6».

Ясно, что события Е₁ - Е₆ являются несовместными, равновозможными, (в силу симметрии кости и однородности её материала) и составляют полную группу событий в данном опыте.