Вводый курс цифровой электроники (К.Фрике, 2003)

Рис . 6.8. Пример неполностью заданной функции.

Теперь первичные импликанты при условии включения полей ви­ да d, могут быть выделены так, чтобы можно было обрабатывать максимально возможные области. При этом полям вида d могут быть предписаны значения О или 1.

Х2

0 гт- г~^1 ^

Хо •ГГ1 р~1 1 0 2;^ ]^ i J

Рис . 6.9. Первичные импликанты для примера, показаного на рис. 6.7.

Отсюда для минимизированной формы получаем:

Без применения термов вида don't care (то есть с d = 0) полу­ чили бы следующую минимизированную форму:

Следовательно, с помощью термов вида don't care функцию мож­ но представить более просто.

6.2.Способ Квина-Мак^Класки

кспособам минимизации логических схем, которые пригодны для компьютерной реализации, относится способ Квина-Мак-Класки.

6.2. Способ Квина-Мак-Класки

В основе его лежат таблицы, процесс обработки которых соответ­ ствует уравнению (3.34):

Функция представлена с использованием минтермов, выполнен­ ных на основе двоичного эквивалента. Для выступающей в минтерме переменной установлено обозначение 1, для переменной с отри­ цанием — обозначение О и для не появляющейся переменной обозна­ чение (-).

Например:

а;з-13723^0 записывается как: 10-1

Данный способ представим ниже с использованием примера, при­ веденного в табл. 6.1. Минтермы переключательной функции внесе­ ны в таблицу (табл. 6.2), в которой они собраны в группы с одина­ ковым числом 1-элементов. Столбцы содержат: десятичный эквива­ лент и группу (то есть число единичных элементов двоичного экви­ валента) .

Таблица 6.2. Упорядочение минтермов по группам с равным числом 1-эле­ ментов.

Далее в табл. 6.3 в отдельные строчки собраны термы следующих друг за другом групп, отличающихся одним разрядом. Эта таблица является результатом применения уравнения (6.8). Разряд, в кото­ ром элементы различаются, помечен чертой (-). Для формирования десятичного эквивалента внесены десятичные числа минтермов, из которых составлен новый терм.

В данном примере О и 1 могут быть объединены, поскольку они различаются только разрядом xi. Все термы, которые позво­ ляют их объединить, промаркированы в табл. 6.2 знаком (посколь­ ку, например, минтермы О и 1 сплавлены вместе, они маркируются

6.2. Способ Квина-Мак-Класки

элиминируемые первичные импликанты и относительно элимини­ руемые первичные импликаты. Это достигается с помощью следую­ щей таблицы, которую можно назвать таблицей первичных импликант. На ординате отложены минтермы переключательной функ­ ции, вдоль абциссы — первичные импликанты. Те минтермы, кото­ рые содержатся в первичном импликанте, отмечены значком х.

В том случае, когда в столбце находится только один значок х, соответствующий ему первичный импликант является основным пер­ вичным импликантом. Охваченные им минтермы отмечены знач­ ком в кружке ®. В данном примере минтермы О, 2 и 10 охвачены только основным первичным импликантом О, 2, 8, 10, появившимся в минимизированной DNF. Охваченные им минтермы О, 2, 8 и 10 отмечены, в том числе и в других строках, значком ®.

Таблица 6.5. Приведенная в качестве примера таблица с первичными им­ пликантами

Импликанты 5, 13и13, 15 также являются основными первичны­ ми импликантами, поскольку только они охватьюают по одному минтерму 5 и 15. Охваченные минтермы 5, 3 и 15 отмечены значком (0).

Таблица 6.6. Приведенная в качестве примера таблица с первичными им­ пликантами, минтермы в которой отмечены значком (8).

Из оставшихся первичных импликантов, которые являются от­ носительно элиминируемыми первичными импликантами, подбира­ ется минимальное число, позволяющее охватить остающиеся мин­ термы. Затем на их основе формируется совместно с основными первичными импликантами минимальная форма переключательной

184 Глава 6. Логические схемы

функции. Например, р^ля остающегося минтерма 12 могут быть вы­ браны первичные импликанты 8, 12 или 12, 13.

Таблица 6.7. Установление связи между импликантами.

Итак, при применении первичных импликантов 12, 13 можно получить: /(жз,Х2,з;1,д;о) ^ X2-^xiX() V XSX2XQ \/ x^X2-'Xi V -1X2-'а^о (6.9)

или, если применить импликанты 8, 12:

Эти уравнения идентичны минимизированным формам, найден­ ным с помощью диаграммы Карно-Вейча.

6.3. Другие направления оптимизации

Логическая схема, описанная с помощью нормальных форм KDNF и KKNF либо с помощью минимизированных форм DNF и KNF, мо­ жет быть реализована напрямую в виде двухступенчатой управля­ ющей схемы. Следует учитывать, что двухступенчатая схема име­ ет удвоенное время задержки, если мы пренебрегли задержкой ин­ вертора или если в нашем распоряжении имеются инвертированные входные переменные.

Но при реализации необходимо, как правило, соблюдать и другие ограничения:

-Часто управляющая схема должна быть построена на основе вентилей одного типа, например, NOR или NAND;

-Часто задается максимальная величина времени задержки, так что рассматриваться могут только двухступенчатые управля­ ющие схемы;

-Совместно должны минимизироваться большое число функций;

186 Глава 6. Логические схемы

Моргана вначале преобразуем вентиль ИЛИ в вентиль И (рис. 6.10 Ь). Затем сдвигаем инверсионные кружки с входа этого И-вентиля на выходы И-вентилей, после чего получаем логическую схему, состо­ ящую только из вентилей НЕ-И (рис. 6.10 с).

6.3.2.Преобразование логической схемы ИЛИ/И в логическую схему НЕ-ИЛИ

При преобразовании логической схемы ИЛИ/И в логическую схе­ му, состоящую только из вентилей НЕ-ИЛИ, действуют аналогично вышеизложенному. На рис. 6.11 показано, что за счет преобразова­ ния И-вентиля на выходе (рис. 6.11 Ь) и перемещения инверсионных

6.4' Воздействие времени задерэюки на логические схемы 187

кружков (рис. 6.11 с) возникает логическая схема, состоящая только из вентилей НЕ-ИЛИ.

6.4.Воздействие времени задержки на логические схемы

6.4.1. Отрицательное воздействие на структуру

До сих пор принималось, что «время задержки» равно нулю. Это означает, что выходные сигналы появляются немедленно, без за­ держки. На практике это предположение является слишком опти­ мистичным. Если принять, что время задержки вентиля конечно, на выходе логической схемы могут появляться периодические лож­ ные сигналы. Данный эффект называют «структурным риском». На рис. 6.12 показан вентиль, реализующий функцию:

&

избыточный вентиль

Рис . 6.12. Логическая схема со структурным риском.

Время задержки сигнала в инверторе равно toЕсли величи­ ны задержки вентилей И равны между собой, нет необходимости учитывать их при рассмотрении времени задержки в И- или ИЛИвентилях.

Временные зависимости сигналов X{^{t\ yi{t)^ У2{^) и y{t) показа­ ны на рис. 6.13. Во временной зависимости выходного сигнала y{t) можно видеть провал с длительностью ^о^ который возникает из-за временной задержюх в инверторе. В идеальной схеме он бы не появился.

При рассмотрении процесса в диаграмме Карно-Вейча (рис. 6.14) устанавливаем, что имеется на лицо переход между двумя первич­ ными импликантами. Коррекцию ошибки можно повести с помощью

вентиля, реализующегося терм Ж1д;2- Теперь логическая схема будет описываться следующей функцией:

J?o(t)A

У2(0А

т

Рис . 6.13. Временная зависимость сигналов при переключении сигнала а:о в схеме, показанной на рис. 6.12 {х\ — Х2 — 1).

Рис . 6.14. Диаграмма Карно-Вейча для логической схемы, показанной на рис. 6.12; добавлен корректирующий вентиль (его действие от­ мечено штриховой линией).

Проблема возникает тогда, когда в DNF стоят два импликанта, из которых один импликант представляет собой переменную в форме с отрицанием, а другой импликант не имеет отрицательной формы, и при этом значения импликантов равны. Это имеет ме­ сто в уравнении (6.11) при х\—Х2 = 1. Выход из затруднительного положения можно обеспечить путем введения импликанта, перекры­ вающего место соединения обоих импликантов.

6.4.2. Отрицательное воздействие на функционирование

«Функциональный риск» появляется, например, тогда, когда две входных переменных изменяются, а выходное состояние логической схемы должно оставаться в значении 1. Разъясним этот случай на примере, заданном с помощью диаграммы Вейча (рис. 6.15).

Рис. 6.15. Диаграмма Вейса для логической схемы, соответствующая слу­ чаю «функционального риска». Указаны оба возможных пути пе­ реключения.

При переходе от (хз,3:^2,^1,^0) = (1,0,1,0) к (а;з,з:^2,^1,з;о) = = (1,1,1,1) переключение может произойти, в зависимости от вели­ чин времени задержки вентилей в соответствии с двумя варианта­ ми. Если вначале проявляется действие жо, на выходе продолжитель­ ное время остается 1, что является правильным (путь 1 на рис. 6.15). Если вначале проявляется действие ^2, возникает срыв (путь 2).

ко •

путь 1

y(t) А

путь 2

t

Рис . 6.16. Временные зависимости выходных сигналов логической схемы, соответствующей рис. 6.16, для двух возможных путей пере­ ключения.