Пентус. Введение в мат. логику. Конспект лекций (Мехмат МГУ, 1 курс)

9Логика второго порядка

9.1 Языки второго порядка

[БДж, 18], [Мал, 13.4], [КД, с. 79–80]

Определение 9.1. Каждый язык второго порядка задаётся своей сигнатурой Ω = Fn, Pr , где Fn — множество функциональных символов и Pr — множество предикатных символов.

Определение 9.2. В языках второго порядка помимо индивидных переменных используются

функциональные переменные и предикатные переменные. С каждой функциональной и предикатной переменной связано некоторое натуральное число — количество аргументов (или валентность) этой

переменной. Валентность может быть нулевой. Во всяком языке второго порядка имеется счётный набор функциональных переменных каждой валентности и счётный набор предикатных переменных

каждой валентности.

Определение 9.3 (терм второго порядка сигнатуры Ω).

1.Если v — индивидная переменная, то v — терм второго порядка сигнатуры Ω.

2.Если c — нульместный функциональный символ или нульместная функциональная переменная сигнатуры Ω, то c — терм второго порядка сигнатуры Ω.

3.Если f — n-местный функциональный символ или n-местная функциональная переменная сигнатуры Ω, где n > 0, и t1, . . . , tn — термы второго порядка сигнатуры Ω, то f (t1, . . . , tn) — терм второго порядка сигнатуры Ω.

Определение 9.4 (атомарная формула второго порядка сигнатуры Ω).

1.Если P — нульместный предикатный символ или нульместная предикатная переменная сигнатуры Ω, то P — атомарная формула второго порядка сигнатуры Ω.

2.Если P — n-местный предикатный символ или n-местная предикатная переменная сигнатуры Ω, где n > 0, и t1, . . . , tn — термы второго порядка сигнатуры Ω, то P (t1, . . . , tn) — атомарная формула второго порядка сигнатуры Ω.

Определение 9.5 (формула второго порядка сигнатуры Ω).

1.Если A — атомарная формула второго порядка сигнатуры Ω, то A — формула второго порядка сигнатуры Ω.

2.Если A — формула второго порядка сигнатуры Ω, то ¬A — формула второго порядка сигнатуры Ω.

3.Если A и B — формулы второго порядка сигнатуры Ω, то (A B), (A B), (A →B) — формулы второго порядка сигнатуры Ω.

4.Если A — формула второго порядка сигнатуры Ω, а v — индивидная, функциональная или предикатная переменная, то v A и v A — формулы второго порядка сигнатуры Ω.

Замечание 9.6. Каждая формула первого порядка сигнатуры Ω является также формулой второго порядка сигнатуры Ω.

Замечание 9.7. Понятие подстановки вместо свободных вхождений переменной распространяются на функциональные и предикатные переменные естественным образом.

Определение 9.8. При интерпретации языка второго порядка требуется добавить в сигнатуру Ω(M) новый функциональный символ f для каждой функций f : M n → M и новый предикатный символ P для каждого предиката P : M n → {И, Л}. В определение истинностного значения замкнутой формулы добавляются следующие пункты.

9.Если g — n-местная функциональная переменная, то [ g A]M = И тогда и только тогда, когда найдётся такая функция f : M n → M , что [A[ f /g]]M = И. Аналогично для g.

10.Если Q — n-местная предикатная переменная, то [ Q A]M = И тогда и только тогда, когда найдётся такой предикат P : M n → {И, Л}, что [A[ P /Q]]M = И. Аналогично для Q.

Замечание 9.9. Понятия замкнутой формулы, модели и логического следствия распространяются на логику второго порядка естественным образом.

9.3 Арифметика второго порядка

[БДж, 18], [Мал, 13.4], [КД, с. 80, 109, 126]

Определение 9.14. Арифметикой второго порядка называется теория второго порядка с сигнатурой 0, S, +, ·, = и аксиомами

1)x (x = x),

2)x y (x = y → y = x),

3)x y z (x = y y = z → x = z),

4)x y (x = y → S(x) = S(y)),

5)x y (S(x) = S(y) → x = y),

6)x ¬(S(x) = 0),

7)x (x + 0 = x),

8)x y (x + S(y) = S(x + y)),

9)x (x · 0 = 0),

10)x y (x · S(y) = (x · y) + x),

11)Q (Q(0) x (Q(x) → Q(S(x))) → x Q(x)), где Q — одноместная предикатная переменная.

Теорема 9.15. Рассмотрим теорию в сигнатуре 0, S, = с аксиомами 1)–6), 11) из определе-

ния 9.14. Все нормальные модели этой теории изоморфны друг другу.

Доказательство. Обозначим через N0 интерпретацию с носителем N, где значением константы 0 является число нуль, значением функционального символа S является функция, прибавляющая единицу, и предикатный символ = интерпретируется как совпадение аргументов. Рассмотрим любую модель той же теории. Обозначим эту модель через M, а её носитель через M . Достаточно установить, что интерпретации N0 и M изоморфны. Для этого докажем, что функция ϕ : N → M , заданная равенством ϕ(m) = [m]M, является изоморфизмом из N0 в M. (Здесь используется обозначение из определения 8.12.)

Обозначим множество значений функции ϕ через P , а соответствующий ему предикат через P . Если подставить имя этого предиката вместо предикатной переменной Q в формулу

Q(0) x (Q(x)→Q(S(x)))→x Q(x), получим формулу P(0) x (P (x)→P(S(x)))→x P(x), истинную в M, так как аксиома 11) из определения 9.14 истинна в M. Очевидно, P (0) и x (P (x)→P(S(x)))

истинны в M. Следовательно, и формула x P(x) истинна в M. Отсюда получаем, что P = M , то есть функция ϕ является сюръекцией.

Докажем теперь инъективность функции ϕ. Пусть k N, l N и k = l. Без ограничения общности можно считать, что k > l. Формула ¬(k − l = 0) является логическим следствием шестой аксиомы.

Осталось проверить, что функция ϕ сохраняет предикатный символ =. Это означает, что для любых k, l N следующие два условия равносильны:

1)k = l,

2)формула k = l истинна в M.

Очевидно, формула k = k истинна при любом k N. Если k = l, то формула k = l ложна в M, так как формула ¬(k = l) является теоремой рассматриваемой теории.

Теорема 9.16. Все нормальные модели теории из определения 9.14 изоморфны стандартной интерпретации языка арифметики.

(БДж, теорема 18.1, с. 268.)

10 Теория множеств

10.1 Равномощные множества

[УВП, 1.3], [ВШ1, 1.3], [Але, 1.3], [Арх, 1.1.1, 1.1.5]

Определение 10.1. Множества A и B называются равномощными, если между ними можно установить такое соответствие, при котором каждому элементу множества A соответствует ровно один элемент множества B и каждый элемент множества B соответствует ровно одному элементу множества A (это обозначается |A| = |B|).

10.2 Счётные множества

[ВШ1, 1.4], [УВП, 1.4], [Але, 1.4], [Арх, 1.1.13–1.1.16], [Bil, A]

Определение 10.2. Множество A называется конечным, если для некоторого n N множества A и {k N | k < n} равномощны. При этом число n называется числом элементов в множестве A.

Упражнение 10.3. Конечно ли множество ?

Ответ 10.3. Да.

Определение 10.4. Множество называется бесконечным, если оно не является конечным. Определение 10.5. Множество называется счётным, если оно равномощно множеству N. Определение 10.6. Множество называется несчётным, если оно бесконечно и не является счёт-

ным.

10.7.В [ВШ1] и [Але] счётными называются только множества, равномощные множеству N.

В[УВП] и [Арх] счётными называются также конечные множества.

Теорема 10.8 (подмножество счётного множества). Подмножество счётного множества конечно или счётно.

(ВШ1, теорема 2 (а), с. 15.)

(УВП, гл. 1, теорема 2, с. 11.)

Теорема 10.9 (существование счётного подмножества). Каждое бесконечное множество содержит счётное подмножество.

(ВШ1, теорема 2 (б), с. 15.)

(УВП, 1.3.10.)

Теорема 10.10 (счётное объединение). Объединение конечного или счётного числа конечных или счётных множеств конечно или счётно.

(ВШ1, теорема 2 (в), с. 15.)

(УВП, гл. 1, теорема 3, с. 11.)

Теорема 10.11 (объединение с конечным или счётным множеством). Пусть множество A бесконечно, а множество B конечно или счётно. Тогда |A B| = |A|.

(ВШ1, теорема 3, с. 18.)

Теорема 10.12 (образ конечного или счётного множества). Множество значений функций, определённой на конечном или счётном множестве, является конечым или счётным.

(УВП, гл. 1, теорема 4, с. 12.)

10.3 Мощность отрезка

[ВШ1, 1.4]

Теорема 10.13 (мощность отрезка). Отрезок [0, 1] равномощен множеству всех бесконечных последовательностей нулей и единиц.

(ВШ1, теорема 4, с. 19.)

Теорема 10.14 (мощность квадрата). Множества [0, 1] × [0, 1] и [0, 1] равномощны.

(ВШ1, теорема 5, с. 20.)

87 20.10.2006

10.10 Теорема Кантора—Бернштейна

[ВШ1, 1.5], [Арх, 1.1.10], [УВП, 1.6], [Але, 1.6], [КД, с. 156]

Теорема 10.29 (теорема Кантора—Бернштейна (теорема Канто- ра—Шрёдера—Бернштейна)). Если |A| |B| и |B| |A|, то |A| = |B|.

(ВШ1, теорема 6, с. 23.)

10.11 Конечные линейно упорядоченные множества

[ВШ1, 2.2]

Теорема 10.30 (изоморфизм конечных линейно упорядоченных множеств). Два конечных линейно упорядоченных множества изоморфны тогда и только тогда, когда они содержат одинаковое число элементов.

(ВШ1, теорема 12, с. 57.)

10.12 Счётные линейно упорядоченные множества

[ВШ1, 2.2]

Теорема 10.31 (изоморфизм счётных плотных линейно упорядоченных множеств без первого и последнего элемента). Любые два счётных плотных линейно упорядоченных множества без

первого и последнего элемента изоморфны.

(ВШ1, теорема 13, с. 60.)

Теорема 10.32 (подмножества Q). Каждое счётное линейно упорядоченное множество изоморфно некоторому подмножеству множества Q.

(ВШ1, теорема 14, с. 61.)

(Але, гл. 3, теорема 1, с. 52.)

10.13 Фундированные множества

[ВШ1, 2.3]

Теорема 10.33 (эквивалентные определения). Пусть A, — частично упорядоченное множество. Тогда следующие условия равносильны.

1.Для каждого непустого множества B A найдётся элемент b0 B, меньший всех остальных элементов множества B.

2.Не существует бесконечной строго убывающей последовательности элементов множества A.

3.Для каждого одноместного предиката P , определённого на множестве A, верно следующее утверждение (принцип возвратной индукции)

x ( y (y < x → P (y)) → P (x)) → x P (x).

(ВШ1, теорема 15, с. 62.)

Определение 10.34. Частично упорядоченное множество называется фундированным, если оно удовлетворяет условиям из теоремы 10.33.

10.14 Произведение фундированных множеств

[ВШ1, 2.3]

Теорема 10.35. Пусть A, и B, — фундированные частично упорядоченные множества. Определим на множестве A×B бинарное отношение , положив, что a1, b1 a2, b2 тогда и только тогда, когда a1 < a2 или выполнены условия a1 = a2 и b1 b2. Тогда A × B, — фундированное частично упорядоченное множество.

(ВШ1, теорема 16, с. 64.)

10.15 Вполне упорядоченные множества

[ВШ1, 2.4], [Але, 3.2], [Арх, 2.1.1], [Сто, 1.10]

Определение 10.36. Вполне упорядоченным множеством называется фундированное линейно упорядоченное множество. Соответствующее отношение порядка называется полным порядком.

10.16 Сравнение вполне упорядоченных множеств

[ВШ1, 2.5], [Арх, 2.2]

Теорема 10.37 (без доказательства). Пусть A и B — вполне упорядоченные множества. Тогда A изоморфно некоторому начальному отрезку множества B или B изоморфно некоторому начальному отрезку множества A.

(ВШ1, теорема 20, с. 74.)

Теорема 10.38 (неизоморфность своему начальному отрезку). Никакое вполне упорядоченное множество не изоморфно своему начальному отрезку, не совпадающему со всем множеством.

(ВШ1, теорема 21, с. 76.)

(Але, гл. 3, теорема 9, с. 64.)

Определение 10.39. Если вполне упорядоченное множество A изоморфно начальному отрезку множества B, не совпадающему со всем B, то говорят, что порядковый тип множества A меньше порядкового типа множества B.

Определение 10.40. Если вполне упорядоченные множества A и B изоморфны, то говорят, что у них одинаковые порядковые типы.

Теорема 10.41 (трихотомия). Для любых вполне упорядоченных множеств A и B имеет место ровно один из следующих трёх случаев:

1)порядковый тип множества A меньше порядкового типа множества B,

2)у множеств A и B одинаковые порядковые типы,

3)порядковый тип множества B меньше порядкового типа множества A.

(ВШ1, теорема 22, с. 76.)

(Але, гл. 3, теорема 11’, с. 65.)

Теорема 10.42 (семейство вполне упорядоченных множеств). Во всяком непустом семействе вполне упорядоченных множеств существует такое множество A, изоморфное какому-нибудь начальному отрезку каждого множества из данного семейства.

(ВШ1, теорема 23, с. 77.)

10.17 Аксиома выбора

[ВШ1, с. 77–78, 16], [Але, с. 74, 79], [Арх, 1.2], [КД, с. 155–156, 162]

10.43. Аксиомой выбора называется следующий принцип: для любого множества A существует такая функция ϕ : P(A) { } → A, что для каждого непустого множества B A выполнено

ϕ(B) B.

10.18 Теорема Цермело

[ВШ1, 2.6], [Але, 3.5], [Арх, 2.1.2, 2.5.4]

Теорема 10.44 (теорема Цермело, без доказательства). Для каждого множества A существует бинарное отношение , являющееся полным порядком на A.

(ВШ1, теорема 24, с. 77.)

89 20.10.2006

10.19 Сравнимость любых двух мощностей

[ВШ1, 2.6], [Але, 3.6], [Арх, 1.3.6]

Теорема 10.45. Для любых множеств A и B выполнено |A| |B| или |B| |A|.

(ВШ1, теорема 25, с. 80.) (Але, гл. 3, теорема 21, с. 84.)

10.20 Лемма Цорна

[ВШ1, 2.8], [Арх, 1.2], [Арх, 2.5]

Определение 10.46. Пусть A, — частично упорядоченное множество и B A. Множество B называется цепью, если для любых b1 B и b2 B выполнено b1 b2 или b2 b1.

Теорема 10.47 (лемма Цорна). Пусть A, — частично упорядоченное множество, в котором для каждой цепи B A существует такой элемент c A, что для каждого b B имеет место b c. Тогда существует такой элемент d A, что ни для какого a A не верно, что d < a.

(ВШ1, теорема 30, с. 87.)

10.21 Продление частичного порядка до линейного

[ВШ1, 2.8]

Теорема 10.48. Пусть A, — частично упорядоченное множество. Тогда существует такой линейный порядок на A, что для любых a A и b A из a b следует a b.

(ВШ1, теорема 31, с. 90.)

10.22 Конечные и счётные суммы бесконечных мощностей

[ВШ1, 2.9], [Але, 3.6]

Теорема 10.49 (умножение на 0). Если множество A бесконечно, то |A × 0| = |A|.

(ВШ1, теорема 32, с. 91.)

(Але, гл. 3, теорема 24’, с. 87.)

Теорема 10.50 (сумма бесконечных мощностей). Если множество A бесконечно и |A| |B|, то |A B| = |B|.

(ВШ1, теорема 33, с. 92.)

(Але, гл. 3, теорема 24’, с. 87.)

10.23 Квадрат бесконечной мощности

[ВШ1, 2.9], [Але, 3.6], [Арх, 1.5.1]

Теорема 10.51 (без доказательства). Если множество A бесконечно, то |A × A| = |A|.

(ВШ1, теорема 34, с. 92.)

(Але, гл. 3, теорема 24’’, с. 87.)

10.24 Произведение бесконечных мощностей

[ВШ1, 2.9], [Арх, 1.5.2]

Теорема 10.52. Если множество A бесконечно и |A| |B|, то |A × B| = |B|.

(ВШ1, теорема 35 (а), с. 94.)

Теорема 10.53. Если множество A бесконечно, то множество всех конечных последовательностей, составленных из элементов A, равномощно множеству A.

(ВШ1, теорема 35 (в), с. 94.)