Пентус. Введение в мат. логику. Конспект лекций (Мехмат МГУ, 1 курс)
.pdf91 |
20.10.2006 |
[Гла] Гладкий А. В. Математическая логика. — М.: РГГУ, 1998. — 479 с.
[ЕП] Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. — 336 с.
[ЛПИ] Логический подход к искусственному интеллекту: От модальной логики к логике баз данных / Тейз А., Грибомон П., Юлен Г. и др. — М.: Мир,
1998. — 494 с.
[Мал] Мальцев А. И. Алгоритмы и рекурсивные функции. — 2-е изд. — М.: Наука, 1986. — 368 с.
[Сто] Столл Р. Множества, логика, аксиоматические теории. — М.: Просвещение, 1968. — 231 с.
[Фейс] Фейс Р. Модальная логика. — М.: Наука, 1974. — 520 с.
[ЧЛ] Чень Ч., Ли Р. Математическая логика и автоматическое доказательство
теорем. — М.: Наука, 1983. — 360 с.
[Шён] Шёнфилд Дж. Математическая логика. — М.: Наука, 1975. — 528 с.
92 |
|
20.10.2006 |
|
Оглавление |
|
||
1 |
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
1 |
|
|
1.1 |
Предварительные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
1 |
|
1.2 |
Алфавит, буква, слово . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
2 |
2 |
Логика высказываний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
3 |
|
|
2.1 |
Высказывания и высказывательные формы . . . . . . . . . . . . . . |
3 |
|
2.2 |
Логические операции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
3 |
|
2.3 |
Формулы логики высказываний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
3 |
|
2.4 |
Соглашения о скобках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
4 |
|
2.5 |
Подформулы в логике высказываний . . . . . . . . . . . . . . . . . |
5 |
|
2.6 |
Однозначность разбора в логике высказываний (без доказательства) . . . . . |
5 |
|
2.7 |
Таблицы истинности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
5 |
|
2.8 |
Тавтологии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
6 |
|
2.9 |
Равносильные формулы в логике высказываний . . . . . . . . . . . |
6 |
|
2.10 |
Подстановка вместо пропозициональной переменной . . . . . . . . |
8 |
|
2.11 |
Формулы с тесными отрицаниями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
9 |
2.12Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы . . . . . . . 9
2.13Логическое следование в логике высказываний . . . . . . . . . . . 11
2.14Полные системы булевых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.15Выражение одних логических операций через другие . . . . . . . . 12 3 Логика предикатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1Кванторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 |
Понятие предиката . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 |
3.3Языки первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.4Подформулы в логике предикатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.5 |
Однозначность разбора в логике предикатов (без доказательства) . . . . . . 16 |
3.6Язык теории множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.7Свободные и связанные вхождения переменных . . . . . . . . . . . 17
3.8Интерпретации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.9Истинность замкнутой формулы в данной интерпретации . . . . . 19
3.10 Выразимые предикаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.11Общезначимость и выполнимость формул языка первого порядка . 21
3.12Равносильность формул языка первого порядка . . . . . . . . . . . 22
3.13Некоторые равносильности с кванторами . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.14Замыкание формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.15 |
Теорема о тавтологиях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
25 |
3.16 |
Теорема о замене . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
25 |
3.17Переименование связанных переменных . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.18 Варианты формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.19Корректные подстановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.20 Формулы v A → A[t/v] и A[t/v] → v A . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.21Предварённые формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.22Изоморфизм интерпретаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.23Лемма о значениях формулы в изоморфных интерпретациях . . . . 31
3.24Доказательство невыразимости с помощью автоморфизмов . . . . 34
3.25Аксиоматический метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
93 |
20.10.2006 |
3.26Логическое следование в логике предикатов . . . . . . . . . . . . . 35
3.27Теории первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.28 Элементарная теория интерпретации . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.29Полные теории первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.30Теории первого порядка с равенством . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
|
3.31 |
Истинность в конечных интерпретациях . . . . . . . . . . . . . . . |
38 |
4 |
Исчисление высказываний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
40 |
|
|
4.1 |
Аксиомы и правила гильбертовского исчисления высказываний . . |
40 |
|
4.2 |
Вывод формулы A → A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
41 |
4.3Корректность исчисления высказываний . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4Теорема о дедукции для исчисления высказываний . . . . . . . . . 42
4.5Свойства выводимости из гипотез . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.6Полнота исчисления высказываний . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.7Противоречивое множество формул логики высказываний . . . . . 44 5 Исчисление предикатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1 |
Аксиомы и правила гильбертовского исчисления предикатов . . . 45 |
5.2Корректность исчисления предикатов . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3Теорема о дедукции для исчисления предикатов . . . . . . . . . . . 46
5.4 |
Теорема Гёделя о полноте (без доказательства) . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 |
5.5Теорема компактности для логики предикатов . . . . . . . . . . . . 47
5.6Неразличимость конечного и бесконечного . . . . . . . . . . . . . . 48 6 Теория алгоритмов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.1Частичные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2 |
Общее понятие алгоритма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
49 |
6.3 |
Машины Тьюринга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
50 |
6.4 |
Тезис Чёрча . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
52 |
6.5 |
Композиция вычислимых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
53 |
6.6Разрешимые множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.7 |
Сигнализирующее множество . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 |
6.8Полуразрешимые и перечислимые множества . . . . . . . . . . . . 55
6.9Нумерация кортежей натуральных чисел . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.10 Критерии перечислимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.11Теорема Поста . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.12Свойства перечислимых множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.13Нумерация машин Тьюринга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.14Лямбда-обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.15Универсальная машина Тьюринга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.16Универсальная вычислимая функция . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.17Перечислимое неразрешимое множество . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.18Неразрешимость проблемы остановки . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.19Главная универсальная вычислимая функция . . . . . . . . . . . . 64
6.20 Теорема Райса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7Разрешимые и неразрешимые теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.1Плотные линейно упорядоченные множества без первого и последнего элемента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.2Элиминация кванторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.3Элементарная эквивалентность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
94 |
20.10.2006 |
7.4Элементарная эквивалентность изоморфных интерпретаций . . . . 70
7.5Элементарная эквивалентность всех плотных линейно упорядоченных множеств без первого и последнего элемента . . . 70
7.6Разрешимо аксиоматизируемые теории . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.7Разрешимые теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.8 |
Примеры разрешимых теорий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 |
7.9Разрешимость элементарной теории плотных линейно упорядоченных множеств без первого и последнего элемента . . . 72
|
7.10 |
Неразрешимость теории полугрупп (без доказательства) . . . . . . . . . . . . |
73 |
|
7.11 |
Теорема Чёрча . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
73 |
8 |
Арифметика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
74 |
|
8.1Язык формальной арифметики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8.2Арифметика первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8.3Арифметические множества и функции . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.4Свойства замкнутости класса арифметических множеств . . . . . . 76
8.5Кодирование конечных множеств в арифметике . . . . . . . . . . . 76
8.6Арифметичность перечислимых множеств и вычислимых функций
(без доказательства) |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
77 |
8.7Представление арифметических формул словами в конечном алфавите . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.8Неперечислимость множества арифметических истин . . . . . . . . 78
8.9Первая теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики . . . 79
8.10 |
Неразрешимость множества арифметических истин (без доказательства) . . |
79 |
8.11 |
Неразрешимость арифметики Пеано (без доказательства) . . . . . . . . . . . |
79 |
9Логика второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9.1Языки второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9.2Невозможность распространения теоремы компактности на языки второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.3Арифметика второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 10 Теория множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
10.1Равномощные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
10.2Счётные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
10.3Мощность отрезка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
10.4Теорема Кантора для N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
10.5Теорема Кантора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
10.6Кардинальные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
10.7Мощность континуума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
10.8Континуум-гипотеза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
10.9Сравнение мощностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
10.10Теорема Кантора—Бернштейна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
10.11Конечные линейно упорядоченные множества . . . . . . . . . . . . 87
10.12Счётные линейно упорядоченные множества . . . . . . . . . . . . . 87
10.13Фундированные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
10.14Произведение фундированных множеств . . . . . . . . . . . . . . . 87
10.15Вполне упорядоченные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
10.16Сравнение вполне упорядоченных множеств . . . . . . . . . . . . . 88
10.17Аксиома выбора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
95 |
20.10.2006 |
10.18 |
Теорема Цермело . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 |
10.19Сравнимость любых двух мощностей . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.20Лемма Цорна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.21 Продление частичного порядка до линейного . . . . . . . . . . . . 89
10.22Конечные и счётные суммы бесконечных мощностей . . . . . . . . 89
10.23Квадрат бесконечной мощности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.24Произведение бесконечных мощностей . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90