Пентус. Введение в мат. логику. Конспект лекций (Мехмат МГУ, 1 курс)

довательно [s[ a1 /v1] . . . [ an /vn]] = ai и [s[ ϕa1 /v1] . . . [ ϕan /vn]] = ϕai. Видно, что обе стороны доказываемого равенства равны элементу ϕai.

Теперь рассмотрим случай, когда терм s имеет вид f (t1, . . . , tk ). Получаем

ϕ([f (t1, . . . , tk )[ a1 /v1] . . . [ an /vn]] ) =

=ϕ(f ([t1[ a1 /v1] . . . [ an /vn]] , . . . , [tk [ a1 /v1] . . . [ an /vn]] )) =

=f (ϕ([t1[ a1 /v1] . . . [ an /vn]] ), . . . , ϕ([tk [ a1 /v1] . . . [ an /vn]] )) =

=f ([t1[ ϕa1 /v1] . . . [ ϕan /vn]] , . . . , [tk [ ϕa1 /v1] . . . [ ϕan /vn]] ) =

=[f (t1[ ϕa1 /v1] . . . [ ϕan /vn], . . . , tk[ ϕa1 /v1] . . . [ ϕan /vn])] =

=[f (t1, . . . , tk )[ ϕa1 /v1] . . . [ ϕan /vn]] .

Первое равенство получено из определения 3.59, второе и четвёртое равенства имеют место, так как функция ϕ сохраняет функциональный символ f (см. определение 3.142), третье равенство верно в силу предположения индукции, последнее

равенство соответствует определению 3.43. Пример 3.148. Рассмотрим интерпретации L, M и изоморфизм ϕ из приме-

ра 3.144. Обозначим через s терм (x ◦ y) ◦ x. В качестве переменных v1 и v2 возьмём переменные x и y соответственно. В качестве элементов a1 и a2 возьмём 3 и 5 соответственно. Для выбранных s, v1, v2, a1, a2 лемма 3.147 утверждает, что

e((3+5)+3) = (e3 · e5) · e3.

Лемма 3.149. Пусть ϕ является изоморфизмом из интерпретации L = L, Ω в интерпретацию M = M, Ω . Пусть C — формула сигнатуры Ω и FV(C) {v1, . . . , vn}, где все переменные vi различные. Тогда для любых a1, . . . , an L имеет место равенство

[C[ a1 /v1] . . . [ an /vn]] = [C[ ϕa1 /v1] . . . [ ϕan /vn]] .

(УВП, теорема 11, с. 48.)

Доказательство. Лемма доказывается индукцией по построению формулы C. Сначала рассмотрим случай, когда формула C имеет вид P (t1, . . . , tk). Получаем

[P (t1, . . . , tk )[ a1 /v1] . . . [ an /vn]] =

=P ([t1[ a1 /v1] . . . [ an /vn]] , . . . , [tk [ a1 /v1] . . . [ an /vn]] ) =

=P (ϕ([t1[ a1 /v1] . . . [ an /vn]] ), . . . , ϕ([tk [ a1 /v1] . . . [ an /vn]] )) =

=P ([t1[ ϕa1 /v1] . . . [ ϕan /vn]] , . . . , [tk [ ϕa1 /v1] . . . [ ϕan /vn]] ) =

=[P (t1[ ϕa1 /v1] . . . [ ϕan /vn], . . . , tk[ ϕa1 /v1] . . . [ ϕan /vn])] =

=[P (t1, . . . , tk )[ ϕa1 /v1] . . . [ ϕan /vn]] .

Первое равенство получено из определения 3.47, второе и четвёртое равенства имеют место, так как функция ϕ сохраняет предикатный символ P (см. определение 3.142), третье равенство следует из леммы 3.147, последнее равенство соответствует определению 3.47.

Теперь рассмотрим случай, когда формула C имеет вид ¬A. По предположению индукции условия

[A[ a1 /v1] . . . [ an /vn]] = И и [A[ ϕa1 /v1] . . . [ ϕan /vn]] = И

равносильны. Следовательно, равносильны и условия

[¬(A[ a1 /v1] . . . [ an /vn])] = И и [¬(A[ ϕa1 /v1] . . . [ ϕan /vn])] = И,

То есть равносильны условия

[(¬A)[ a1 /v1] . . . [ an /vn]] = И и [(¬A)[ ϕa1 /v1] . . . [ ϕan /vn]] = И,

что и требовалось доказать.

Рассмотрим случай, когда формула C имеет вид v A. Если v — одна из переменных vi, то эту переменную можно исключить из списка v1, . . . , vn и при этом формулы C[ a1 /v1] . . . [ an /vn] и C[ ϕa1 /v1] . . . [ ϕan /vn] остаются неизменными. Поэтому

без ограничения общности можно считать, что переменная v отлична от всех vi. Пусть L = L, Ω и M = M, Ω .

Докажем сначала, что из

[( v A)[ a1 /v1] . . . [ an /vn]] = И

следует

[ v (A[ ϕa1 /v1] . . . [ ϕan /vn])] = И, что и требовалось доказать.

Теперь докажем, что из

[( v A)[ ϕa1 /v1] . . . [ ϕan /vn]] = И

следует

[( v A)[ a1 /v1] . . . [ an /vn]] = И.

Пусть [ v (A[ ϕa1 /v1] . . . [ ϕan /vn])] = И. Тогда найдётся такой элемент b M,

что [A[ ϕa1 /v1] . . . [ ϕan /vn][ b /v]] = И. Обозначим элемент ϕ−1(b) через a. Из

[A[ ϕa1 /v1] . . . [ ϕan /vn][ ϕa /v]] = И по предположению индукции получаем, что

[A[ a1 /v1] . . . [ an /vn][ a /v]] = И. Следовательно, [ v (A[ a1 /v1] . . . [ an /vn])] = И. Случаи A B, A B, A → B, v A доказываются аналогично предыдущим. Пример 3.150. Рассмотрим интерпретации L, M и изоморфизм ϕ из приме-

ра 3.144. Обозначим через C формулу y (x y y x ◦ x). В качестве переменной v1 возьмём переменную x. В качестве элемента a1 возьмём 5. Для выбранных C, v1, a1 лемма 3.149 обосновывает, почему утверждения ( y R) (5 y y 5 + 5) и ( y R+) (e5 y y e5 · e5) равносильны.

3.24Доказательство невыразимости с помощью автоморфизмов

[ВШ2, 3.5], [УВП, 2.14]

Определение 3.151. Изоморфизм из M в M называется автоморфизмом интерпретации M.

(УВП, с. 51.)

Определение 3.152. Пусть R — некоторый n-местный предикат на множестве M, а ϕ — некоторая функция из M в M. Говорят, что функция ϕ сохраняет предикат R,

если для всех a1, . . . , an M выполнено R(a1, . . . , an) = R(ϕa1, . . . , ϕan).

(УВП, с. 51.)

Теорема 3.153. Если ϕ — автоморфизм интерпретации M, то ϕ сохраняет все выразимые в M предикаты.

(ВШ2, теорема 27, с. 104.)

(УВП, теорема 13, с. 52.)

Доказательство. Пусть M = M, Ω . Пусть формула A сигнатуры Ω выражает предикат R относительно списка переменных v1, . . . , vn. Согласно определению 3.62 и лемме 3.149

R(a1, . . . , an) = [A[ a1 /v1] . . . [ an /vn]] = [A[ ϕa1 /v1] . . . [ ϕan /vn]] = R(ϕa1, . . . , ϕan).

Пример 3.154. Рассмотрим трёхместный предикат R на множестве Z, определённый так: R(a1, a2, a3) = И тогда и только тогда, когда a1 + a2 = a3. Этот предикат невозможно выразить формулой сигнатуры =, < в стандартной интерпретации на Z, так как автоморфизм m → m + 1 не сохраняет предикат R.

(УВП, теорема 14, с. 52.)

3.25 Аксиоматический метод

[УВП, 3.1], [П1, 5.8], [Сто, 3.1–3.4], [Шён, 1.1–1.2]

3.155. Аксиоматическим методом называется способ построения научной теории, при котором некоторые утверждения, называемые аксиомами, принимаются без

доказательства, а все остальные утверждения этой теории, называемые теоремами, получаются как логические следствия аксиом.

Аксиоматический метод в математике впервые был использован Евклидом в III веке до н. э.

Открытие в XIX веке неевклидовой геометрии Николаем Ивановичем Лобачевским и Яношем Больяй и построение различных моделей геометрии Лобачевского средствами геометрии Евклида привели к осознанию возможности рассматривать

аксиоматическую теорию формально.

В формальной аксиоматической теории не предполагают какое-либо определённое значение исходных (то есть неопределяемых) понятий. Например, в системе аксиом геометрии, разработанной Давидом Гильбертом на рубеже XIX и XX веков, имеются восемь исходных понятий: «точка», «прямая», «плоскость», отношение связи точки и прямой, отношение связи точки и плоскости, трёхместное отношение «находиться между» (для точек), отношение равенства отрезков, отношение равенства углов. Мы вольны выбирать значения этих понятий каким угодно образом, лишь бы при этом оказывались истинными аксиомы.

3)x y z (x = y y = z → x = z),

4)x1 x2 y1 y2 (x1 = y1 x2 = y2 → x1 · x2 = y1 · y2),

5)x y z ((x · y) · z = x · (y · z))

называется теорией полугрупп.

Определение 3.166. Теоремами теории первого порядка T в сигнатуре Ω называются замкнутые формулы сигнатуры Ω, которые логически следуют из T .

(П1, с. 42.)

3.167. Как видно из предыдущего определения, в данном курсе термин «теория первого порядка» соответствует термину «неформальная аксиоматическая теория»

(или «семантическая теория») из учебника [УВП, с. 73].

Пример 3.168. Формула x y (x · y = e → y · x = e) является теоремой теории групп.

Пример 3.169. Формула x y (x · y = y · x) не является теоремой теории групп.

Замечание 3.170. Если A — аксиома теории T , то A является теоремой теории T . Определение 3.171. Теория называется совместной, если она имеет хотя бы одну

модель.

(П1, с. 41.)

Пример 3.172. Теория групп является совместной. Например, одноэлементная интерпретация с тождественно истинным значением предикатного символа = является моделью теории групп.

Пример 3.173. Рассмотрим сигнатуру Ω, содержащую двуместный предикатный символ R. Теория с аксиомами x y R(x, y) и x ¬y R(y, x) является несовместной.

Пример 3.174. Наивной теорией множеств называется теория с сигнатурой =, и аксиомами

1)x y (x = y ↔ z (z x ↔ z y)).

2)x y (y x ↔ A), где x и y — различные переменные и FV(A) = {y}.

Наивная теория множеств является несовместной, так как формула x y (y x ↔ ¬ y y) является

ложной в любой интерпретации.

Замечание 3.175. Замкнутая формула A сигнатуры Ω является логическим следствием (то есть теоремой) теории T сигнатуры Ω тогда и только тогда, когда теория T {¬A} является несовместной.

(П1, теорема 5.5, с. 42.)

(УВП, теорема 1 в, с. 58.)

Замечание 3.176. Если теория T сигнатуры Ω несовместна, то все замкнутые формулы сигнату-

ры Ω являются теоремами этой теории.

Замечание 3.177. Если существует такая замкнутая формула A, что A и ¬A являются теоремами теории T , то теория T несовместна.

3.28 Элементарная теория интерпретации

[ВШ2, 5.3], [УВП, 3.6], [Bil, 6]

Определение 3.178. Пусть дана интерпретация M = M, Ω . Элементарной теорией интерпретации M называется множество Th(M), состоящее из всех замкнутых формул сигнатуры Ω, истинных в интерпретации M.

(ВШ2, с. 212.)

Замечание 3.179. Элементарная теория интерпретации M является совместной.

Замечание 3.180. У элементарной теории интерпретации M множество теорем совпадает с мно-

жеством аксиом.

Замечание 3.181. Две интерпретации одной и той же сигнатуры элементарно эквивалентны то-

гда и только тогда, когда их элементарные теории совпадают (L M тогда и только тогда, когда

=

Th(L) = Th(M))

3.29 Полные теории первого порядка

[ВШ2, 5.3], [УВП, 3.6], [ЛМ, II.6, II.7], [КД, с. 158], [Bil, 15]

Определение 3.182. Теория T сигнатуры Ω называется полной, если для каждой замкнутой формулы A сигнатуры Ω ровно одна из формул A и ¬A является теоремой теории T .

Замечание 3.183. Каждая полная теория является совместной.

Замечание 3.184. Элементарная теория интерпретации M является полной.

3.30 Теории первого порядка с равенством

[ВШ2, 5.1, 5.3], [Мен, 2.8], [ЛМ, II.7], [УВП, 3.4], [П1, 6.5], [КД, с. 106]

Определение 3.185. Теория первого порядка T сигнатуры Ω называется теорией первого порядка с равенством, если сигнатура Ω содержит выделенный двуместный

предикат = и следующие формулы являются теоремами теории T :

1)x (x = x),

2)x y (x = y → y = x),

3)x y z (x = y y = z → x = z),

4)x1 . . . xn y1 . . . yn (x1 = y1 . . . xn = yn → f (x1, . . . , xn) = f (y1, . . . , yn)), где n > 0 и f — n-местный функциональный символ из сигнатуры Ω,

5)x1 . . . xn y1 . . . yn (x1 = y1 . . . xn = yn P (x1, . . . , xn) → P (y1, . . . , yn)), где n > 0 и P — n-местный предикатный символ из сигнатуры Ω.

Определение 3.186. Теория с сигнатурой =, < и аксиомами

1)x (x = x),

2)x y (x = y → y = x),

3)x y z (x = y y = z → x = z),

4)x1 x2 y1 y2 (x1 = y1 x2 = y2 x1 < x2 → y1 < y2),

5)x ¬(x < x),

6)x y z (x < y y < z → x < z)

называется теорией частично упорядоченных множеств. Она является теорией

первого порядка с равенством.

Определение 3.187. Если к теории частично упорядоченных множеств добавить аксиому x y (x < y x = y y < x), то получим теорию линейно упорядоченных множеств.

Определение 3.188. Если к теории линейно упорядоченных множеств добавить аксиому x y (x < y → z (x < z z < y)), то получим теорию плотных линейно упорядоченных множеств.

Определение 3.189. Интерпретация M сигнатуры Ω с выделенным двуместным предикатом = называется нормальной интерпретацией, если в интерпретации M предикатному символу = ставится в соответствие предикат тождества. Если нор-

мальная интерпретация M является моделью некоторой теории, то M называется

нормальной моделью этой теории.

Пример 3.190. Пусть Ω = e, ·, = . Интерпретация Z, Ω , ставящая в соответствие константе e число 0, функциональному символу · операцию сложения и предикатному символу = отношение сравнимости по модулю 6, является моделью теории групп, но не является нормальной моделью теории групп.

Теорема 3.191. Пусть теория T сигнатуры Ω является теорией первого порядка с равенством. Пусть u, v1 и v2 — различные индивидные переменные, а t — терм сигнатуры Ω. Тогда

T v1 v2 (v1 = v2 → t[v1/u] = t[v2/u]).

Теорема 3.192. Пусть теория T сигнатуры Ω является теорией первого порядка с равенством. Пусть u, v1 и v2 — различные индивидные переменные, а A — формула сигнатуры Ω. Если переменные

v1 и v2 свободны для u в формуле A, то T v1 v2 (v1 = v2 → (A[v1/u] ↔ A[v2/u])).

Определение 3.193. Когда рассматривают теорию первого порядка с равенством, то можно использовать запись !v A (или 1v A) как сокращение для формулы v A v u (A A[u/v] → v = u), где u — новая переменная, отличная от v и не встречающаяся в формуле A.

3.31 Истинность в конечных интерпретациях

[УВП, 2.12]

Теорема 3.194. Рассмотрим сигнатуру Ω, содержащую только один символ — выделенный двуместный предикатный символ =.

1.Для каждого k 1 существует такая замкнутая формула Fk сигнатуры Ω, что для каждой нормальной интерпретации M, Ω формула Fk истинна в M, Ω тогда и только тогда, когда множество M содержит не более чем k элементов.

2.Для каждого k 1 существует такая замкнутая формула Gk сигнатуры Ω, что для каждой нормальной интерпретации M, Ω формула Gk истинна в M, Ω тогда и только тогда, когда множество M содержит не менее чем k элементов.

3.Для каждого k 1 существует такая замкнутая формула Ek сигнатуры Ω, что для каждой нормальной интерпретации M, Ω формула Ek истинна в M, Ω тогда и только тогда, когда множество M содержит ровно k элементов.

(УВП, теорема 8, с. 45.)

Доказательство. Положим G1 . Для каждого k 1 положим

Fk x1 . . . xk y (y = x1 . . . y = xk ),

Gk+1 ¬Fk , Ek Fk Gk .

39 20.10.2006

Определение 3.195. Интерпретация M = M, Ω называется конечной, если множество M конечно.

Теорема 3.196. Рассмотрим сигнатуру Ω, содержащую только один символ — выделенный двуместный предикатный символ =. Существует необщезначимая замкнутая формула сигнатуры Ω, истинная во всех конечных интерпретациях.

(УВП, теорема 9, с. 45.)

4Исчисление высказываний

4.1.В этом разделе буквы A, B и т. д. обозначают формулы логики высказываний, а буквы Γ, ∆ и т. д. обозначают множества формул логики высказываний.

4.1Аксиомы и правила гильбертовского исчисления высказываний

[ВШ2, 2.1], [П1, 4.1–4.2], [КД, с. 45–48], [Мен, 1.4, 1.6], [Кли, 9], [Bil, 3]

Определение 4.2. Аксиомами классического исчисления высказываний являются формулы следующих видов:

1)A → (B → A),

2)(A → B) → ((A → (B → C)) → (A → C)),

3)A B → A,

4)A B → B,

5)A → (B → A B),

6)A → A B,

7)B → A B,

8)(A → C) → ((B → C) → (A B → C)),

9)(A → B) → ((A → ¬B) → ¬A),

10)¬¬A → A.

Правило вывода modus ponens: A A → B (MP). B

Определение 4.3 (вывод). Выводом в исчислении высказываний (или просто

выводом) называется конечная последовательность формул, каждая из которых является аксиомой или получается из некоторых предыдущих формул по правилу вывода.

(ВШ2, с. 48.)

(П1, с. 23.)

Пример 4.4. Следующая последовательность формул является выводом:

Определение 4.5 (выводимая формула). Формула A называется выводимой

в исчислении высказываний или теоремой исчисления высказываний (обозначениеA), если существует вывод, в котором последняя формула есть A.

(ВШ2, с. 48.)

(П1, с. 23.)

Пример 4.6. P Q → Q P .

Определение 4.7 (вывод из гипотез). Пусть Γ — некоторое множество формул.

Выводом из Γ называется конечная последовательность формул, каждая из которых

либо принадлежит множеству Γ, либо является аксиомой, либо получается из предыдущих формул по правилу вывода. Элементы множества Γ называются гипотезами.