Метода Румянцев

4

5

ПРЕДИСЛОВИЕ

Интенсивный процесс проникновения математических методов в различные области науки, техники, экономики, и, в частности, широкое использование во всех этих областях современной вычислительной техники выдвигают повышенные требования к подготовке высококвалифицированных специалистов. Современный инженер должен не только обладать общей математической культурой, свободно владеть современной вычислительной техникой и соответствующим программным обеспечением, но и уметь сформулировать на математическом языке техническую или экономическую проблему. Без этого умения все его математические знания останутся «мертвым грузом».

Кроме того, пользуясь тем или иным программным продуктом, инженер должен ясно представлять себе, какие вычислительные методы этот продукт реализует, уметь грамотно выбрать нужный метод и квалифицированно им воспользоваться. Одним словом, он должен ориентироваться в современных численных методах, знать их возможности, достоинства и недостатки. Очень важно также знать типичные ошибки, которые могут быть допущены при пользовании этими методами, знать, каковы признаки того, что ошибка допущена, и как ее избежать. Поэтому в планы подготовки студентов технических специальностей в последние годы все чаще включаются дисциплины, знакомящие их с основами прикладной математики и методов вычислений. Названия этих дисциплин отличаются на разных факультетах, но непременно содержат слова «математические модели…», «математическое моделирование…», «вычислительная математика» и т. д.

Следует отметить, что по прикладной математике, в частности, по численным методам и математическому моделированию написано немало учебной литературы. Однако в большинстве своем эти книги ориентированы на профессиональных математиков и студентов математических специальностей. Большая часть их содержания посвящена обоснованию описываемых методов, доказательству их сходимости, выводу расчетных формул и другим специальным вопросам. Приводимые в них примеры расчетов обычно немногочисленны и носят, в основном, иллюстративный характер.

Инженеров же гораздо больше интересуют не доказательства теорем и выводы формул, а технология применения различных численных методов в реальных технических, экономических и управленческих задачах. При организации сложных вычислений у них нередко возникают вопросы, связанные с особенностями применения тех или иных методов, на которые им не всегда удается найти ответы в вышеуказанной литературе.

Иными словами, необходимы такие учебные пособия по прикладной математике, ориентированные на студентов технических специальностей и инженеров, в которых были бы учтены все перечисленные особенности. В настоящий момент испытывается явный недостаток в литературе такого рода.

Данная книга имеет своей целью восполнить этот недостаток. Она написана на основе курса лекций, которые автор читал на протяжении ряда лет в

6

Уральском государственном университете путей сообщения студентам различных технических специальностей. Цель этого курса – дать студентам общее представление о прикладной математике, о проблемах, связанных с применением математических методов и вычислительной техники при решении технических, экономических и управленческих задач, в том числе задач оптимизации различных объектов и процессов.

В ходе изложения материала автор старался свести до минимума обсуждение абстрактных теоретических вопросов и сосредоточить основное внимание на технологии практического применения описываемых методов, а также на рекомендациях по их выбору и анализе наиболее типичных ошибок. Все теоретические положения курса поясняются многочисленными иллюстрациями и примерами. По мере необходимости приводится материал справочного характера.

Книга, как и курс, которому она соответствует, знакомит студентов с технологией постановки и решения математическими методами различных технических, экономических и других «нематематических» по своей изначальной сути проблем. Кроме того, она призвана помочь будущему инженеру расширить круг задач, которые он, пользуясь современной вычислительной техникой, мог бы решить самостоятельно, не привлекая профессиональных математиков.

С учетом всех приведенных соображений в книгу не включен ряд сложных вопросов, традиционно включаемых в курсы лекций по методам вычислений. Это касается, главным образом, всевозможных многомерных задач, в том числе краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными, интегральных уравнений и т.п. Данное решение продиктовано тем, что упомянутые задачи требуют профессиональной математической подготовки. Их должны решать математики-специалисты.

При изложении тех или иных вычислительных методов автор вовсе не стремился охватить все известные методы (да это и невозможно). В большинстве случаев изложение ограничивается двумя-тремя наиболее представительными, либо наиболее простыми, либо наиболее удобными при компьютерной реализации, и потому чаще всего используемыми сегодня методами.

7

ВВЕДЕНИЕ Задачи прикладной математики и математическое моделирование

Характерной особенностью настоящего времени является то, что решение сколько-нибудь серьезных естественнонаучных, технических, экономических, социальных и многих других задач невозможно сегодня без применения математики и математических методов. Бурное развитие вычислительной техники привело не только к проникновению математических методов в различные области человеческой деятельности, но и к формированию современной прикладной математики. Так называется та область математики, которая занимается приложениями математики, т. е. применением математических методов к решению всевозможных практических, технических и других нематематических по своей изначальной сути задач.

Этой области математики присущи свои специфические особенности, отличающие ее от «классических» математических дисциплин. Как правило, любой математический текст, формулировка теоремы или вывод формулы начинаются со слов «Пусть дано…». Далее следует изложение исходных предпосылок на строгом математическом языке, позволяющем автору быть однозначно понятым любым математиком или другим специалистом, компетентным в соответствующей области.

Задавались ли Вы когда-нибудь вопросом «…а кем, собственно, дано?» или «почему дано именно это, а не что-то другое»? С точки зрения «классической» математики эти вопросы бессмысленны. Математик всегда формулирует ту задачу, которую он смог решить, при этом в качестве «дано» фигурируют те условия, при которых ему удалось решить эту задачу. Таким образом, он сам ставит себе задачу и сам определяет условия, при которых она имеет решение.

Иначе обстоит дело с прикладными исследованиями. В их основе лежит реальный «нематематический» объект: производственный процесс, конструкция, явление природы, экономический план, система управления и т. д. Таким образом, условие задачи первоначально бывает сформулировано на языке, характерном для сфер деятельности весьма далеких от математики и математического языка. Исследование проблемы начинается с формализации объекта, с придания задаче математической формы или, как говорят, с построения математической модели* объекта. Только после этого мы можем воспользоваться для его изучения математическими методами.

Иногда бывает и так, что «заказчик» вообще затрудняется объяснить, чего он, собственно, ожидает. Просто у него что-то не получается с реализацией нового проекта или конструкции, не так, как задумано, идет производственный процесс и т. п. Ему необходима математическая модель указанного процесса, конструкции и т. д., для того, чтобы предсказать, как они будут вести себя в тех или иных условиях, либо оптимизировать их в том или

_______________

* Понятие математической модели будет подробно определено в Главе 1.

8

ином смысле (т. е. изменить их так, чтобы они наилучшим возможным образом соответствовали какому-то важному для «заказчика» условию). В этом случае задачу еще предстоит вычленить, сформулировать на обычном языке, и лишь потом приступать к ее формализации на математическом языке, построению математической модели объекта и изучения его математическими методами.

Таким образом, в постановку и решение прикладной задачи оказываются вовлеченными люди разных профессий и, даже, разных сфер деятельности, говорящие на разных «профессиональных языках». Нередко бывает так, что исходные условия (то, что «дано») и сущность проблемы (то, что требуется найти или получить) задают одни люди, а постановку и решение соответствующей математической задачи осуществляют совсем другие. В этом случае сформулированные выше вопросы совсем не бессмысленны. Особенно, если учесть, что значительное количество исходных данных приходится получать путем измерений или проведения специальных экспериментов непосредственно в процессе формализации задачи по мере осмысления их необходимости.

Отметим второе важное отличие прикладной математики от «классических» математических дисциплин. В прикладных исследованиях все результаты должны быть доведены «до числа», отсюда следует, что исходная информация тоже не может быть задана «в общем виде», т. е. в виде букв или формально записанных функций (например, y=f(x)). Все исходные данные должны быть представлены численно, а все функциональные зависимости должны быть конкретизированы и определены вплоть до численного значения каждого коэффициента.

Следует заметить, что численное решение прикладных задач интересовало математиков всегда. Крупнейшие математики прошлого наряду с чисто теоретическими исследованиями уделяли внимание изучению всевозможных явлений природы и построению математических моделей этих явлений. Анализ все более сложных моделей потребовал создания специальных, численных методов решения задач. Названия многих методов носят имена их создателей – Ньютона, Эйлера, Гаусса, Лагранжа, Чебышева и др.

И все же, в докомпьютерную эпоху численные методы применялись весьма ограниченно. Причина кроется в огромном объеме рутинных вычислений. Лишь с появлением современной вычислительной техники началось широкое применение численных методов. Необходимость решения новых и все более сложных задач потребовала разработки большого количества новых методов (а также переосмысления многих старых), ориентирования их на использование в высокоскоростных вычислительных машинах в автоматическом режиме, т. е. в таком режиме, когда человек не контролирует качество промежуточных этапов вычислений и не может ничего «подправить» в вычислительной процедуре.

Не следует думать, что современное состояние программного обеспечения и совершенствование вычислительной техники позволяют сразу решить любую прикладную проблему. Во многих случаях требуется доводка методов,

9