Будылин А.М. Вариационное исчисление. 2001., 50 стр
.pdf
5.4.Свободные концы
5.4.1. Естественные условия
Обратимся к задаче с свободными концами. Для начала найдем экстремали инте-
грала
x2
Z
I = F (x, y, y0) dx ,
x1
удовлетворяющие граничному условию
y(x1) = y1 ,
условия же для y(x2) нет. Как и ранее полагаем
Y (x) = y(x) + tη(x) ,
где y — экстремаль задачи и
η(x1) = 0 .
Условия гладкости стандартные: функции F и y считается дважды непрерывно дифференцируемой, функция η — непрерывно дифференцируемой.
Подставляя сравниваемую функцию Y в интеграл, получаем функцию перемен-
ной t
x2
Z
I(t) = F (x, Y, Y 0) dx .
x1
Нулевая вариация
I0(0) = 0
как и ранее является необходимым условием экстремальности, при этом
x2 |
∂y |
· η + ∂y0 · η0 |
dx = 0 . |
|||
I0(0) = Z |
|
|||||
|
|
∂F |
|
∂F |
|
|
x1 |
|
|
|
|
||
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 61 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Однако интегрирование по частям в втором слагаемом на этот раз ведет к равенству
x2
|
∂y0 |
· η |
x=x2 |
+ Z |
|
∂y |
− dx |
|
∂y0 η dx = 0 . |
(5.6) |
||||
|
∂F |
|
|
|
x1 |
h |
∂F |
|
d |
|
∂F |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как и ранее η — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
произвольная, |
в частности, возможно взять функцию η, удовле- |
|||||||||||||
творяющую нулевому условию в точке x2: η(x2) = 0, что уничтожает внеинтегральный член. Тогда по основной лемме снова приходим к уравнению Эйлера–Лагранжа
∂F − d ∂F = 0 . ∂y dx ∂y0
При выполнении уравнения Эйлера–Лагранжа уравнение (5.6) сводится к равенству
∂F
· η = 0 . ∂y0 x=x2
Выбирая теперь функцию η так, чтобы η(x2) = 1, получаем естественное условие
на правом конце |
= 0 . |
(5.7) |
||
|
∂y x=x2 |
|||
∂F |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если бы левый конец был также свободным, |
мы получили бы аналогичное есте- |
|||
ственное условие на левом конце |
|
|
||
|
∂y x=x1 |
= 0 . |
|
|
∂F
5.4.2. Задача о навигации
Вернемся к задаче о навигации (1.20):
pc2(1 + y02) − v2 − vy0
F = |
|
|
. |
|
c2 |
− v2 |
|||
|
|
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 62 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Поскольку F не зависит явно от y, выписываем первый интеграл
|
|
|
|
|
|
|
∂F |
= C1 , |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
∂y0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
т.е. |
|
|
|
|
c2(1 + y002) − v2 − vi |
= C1 . |
|||||||||||
c2 − v2 h |
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
c2y |
|
|
|
|
|
|
||||
Но в силу естественного |
условия (5.7) находим: |
|
|
|
. Как следствие, |
||||||||||||
|
|
|
p |
|
|
C1 |
= 0 |
||||||||||
|
0 |
|
= p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
− |
|
|
|
||||||
|
c2y0 = v |
c2(1 + y02) − v2 |
|
|
|
||||||||||||
|
c4y 2 |
|
v2c2(1 + y 2) v4 |
|
|
||||||||||||
|
c2(c2 − v2)y02 = v2(c2 − v2) |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
y0 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
v(s)ds . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
y = c Z0 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если предположить, например, что v(b) = 0 (отсутствие течения у берега), то и y0(b) = 0, что означает, что «приставать» к берегу надо перпендикулярно.
5.4.3. Условия трансверсальности
Задача со свободными концами может рассматриваться без обязательной привязки концов к вертикальным прямым. Будем искать экстремали интеграла
x2
Z
I = F (x, y, y0) dx ,
x1
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа Приложения
Обобщения Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей Динамика частиц Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 63 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
y
P2
g(x, y) = 0
P1
x
Рис. 9: К условиям трансверсальности
считая, что
y(x1) = y1 , |
(5.8) |
и определяя верхний предел интегрирования x2 как абсциссу точки пересечения кривой y = y(x) с заданной кривой вида
g(x, y) = 0 , |
(5.9) |
см. рис. 9. Мы будем считать функцию g — непрерывно дифференцируемой, а функции F и y — дважды непрерывно дифференцируемыми.
Пусть y — экстремаль, удовлетворяющая граничным условиям (5.8)-(5.9), в частности
g(x2, y2) = 0 , y2 = y(x2) .
Введем, как всегда, однопараметрическое семейство функций сравнения
Y (x) = y(x) + tη(x) ,
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 64 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
считая, что η — непрерывно дифференцируемая функция. Кривая y = Y (x) также должна удовлетворять условиям (5.8)-(5.9). Это означает, что, во-первых,
η(x1) = 0 ,
и во-вторых,
g(X2, Y2) = 0 , |
(5.10) |
где Y2 = y(X2) + tη(X2). Уравнение (5.10) при фиксированной вариации η должно выполняться тождественно по t, таким образом
= ∂g ∂X2
откуда
|
|
|
|
|
|
dg |
|
∂g |
|
|
dX2 |
|
|
∂g |
|
dY2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
dt |
∂X2 |
|
dt |
∂Y2 |
dt |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
dX |
|
|
∂g |
dy |
|
dX |
|
|
|
|
|
|
|
|
dη |
|
|
dX |
|||||||||||||||
· |
|
2 |
|
+ |
|
|
|
|
h |
|
|
|
· |
|
2 |
+ η(X2) + t |
|
· |
|
2 |
i = 0 , |
|||||||||||||
|
|
dt |
∂Y2 |
dX2 |
|
dt |
dX2 |
dt |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dX2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
η(X2) · |
∂g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Y2 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
||||||||||||
|
|
|
dt |
|
∂g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂g |
|
|
|
|
|
|
∂g |
|
|
||||||||||
|
|
|
∂X2 + y0(X2) · |
|
∂Y2 |
+ tη0(X2) |
∂Y2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
а при t = 0
|
t=0 |
|
|
|
|
∂g |
|
|
x=x2 |
|
|
|
dt |
|
− ∂x2 |
+ y0 |
|
|
∂y2 |
|
|
||||
dX2 |
|
= |
|
|
η · |
∂y2 |
|
|
|
. |
(5.11) |
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂g |
|
|
|
|
∂g |
|
|
|
Подставим в функционал I вместо y функцию для сравнения Y :
X2
Z
I(t) = F (x, Y, Y 0) dx .
x1
Условие экстремальности интеграла I при t = 0 запишется, как всегда,
I0(0) = 0 .
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 65 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Используя формулу (3.8) дифференцирования интеграла, зависящего от параметра, найдем
X2
I0(t) = |
dt2 |
· F |
x=X2 + Z |
|
∂Y |
· η + ∂Y 0 · η0 |
dx |
||
|
dX |
|
x1 |
|
∂F |
|
∂F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X2
= dt2 |
· F + ∂Y 0 · η |
x=X2 |
+ Z |
|
∂Y |
− dx ∂Y 0 |
η dx , |
|||
|
dX |
∂F |
|
x1 |
h |
∂F |
d |
|
∂F |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и при t = 0
|
|
|
|
∂g |
|
|
|
x=x2 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Z |
h |
|
|
|
|
|
|
|
||||
∂y0 − |
∂x2 |
+ y0 |
|
∂y2 |
∂y |
− dx ∂y0 |
η dx = 0 . |
(5.12) |
||||||||||
I0(0) = |
∂F |
|
∂y2 |
· F |
|
η |
|
+ |
∂F |
|
d |
|
∂F |
|||||
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
i |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂g |
|
|
|
∂g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Положим сначала η(x2) = 0. Тогда имеет место уравнение Эйлера–Лагранжа
∂F − d ∂F = 0 . ∂y dx ∂y0
Считая теперь, что уравнение Эйлера–Лагранжа выполнено, положим в (5.12) η(x2) = 1. Тогда получаем условие
∂y0 − |
|
|
∂g |
|
|
|
x=x2 |
|
|
∂x2 |
+ y0 |
|
∂y2 |
|
|
||||
∂F |
|
|
∂y2 |
· F |
|
|
= 0 , |
(5.13) |
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂g |
|
|
|
∂g |
|
|
|
которое называется условием трансверсальности экстремали и кривой (5.9). Заметим, что если кривая (5.9) задана явно
y = ϕ(x) : g(x, y) = ϕ(x) − y , |
∂g |
= ϕ0 , |
∂g |
= −1 , |
|
|
|||
∂x |
∂y |
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 66 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
то условие трансверсальности примет вид |
x=x2 |
|
|
|
|
||||
∂y0 |
+ ϕ0 − y0 |
= 0 , |
|
|
(5.14) |
||||
|
∂F |
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
0 (x, y, y0) |
x=x2 |
= 0 . |
(5.15) |
|
F (x, y, y0) + |
ϕ0(x) − y0(x) Fy0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, что условие трансверсальности выполняется для экстремали, пересекающей кривую (5.9), а не касающейся ее (y0 6= ϕ0), отсюда и название.
Аналогичное условие возникнет и для левого конца, если ему разрешить меняться на какой–нибудь заданной кривой.
Посмотрим, что означает условие трансверсальности в случае функции Лагранжа F вида
p
F (x, y, z) = H(x, y) 1 + z2 .
Ограничимся явным заданием кривой. В этом случае в точке свободного конца
|
p1 + y0 |
|
|
p0 |
− y0 |
|
|
H |
|
y0 |
|
+ |
H |
1 + y02 |
= 0 , |
|
|
|
2 |
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда (считая, что H 6= 0)
ϕ0y0 − y02 + 1 + y02 = 0 ,
т.е.
ϕ0y0 = −1 .
Но это есть в точности условие ортогональности экстремали y = y(x) и кривой свободного конца y = ϕ(x).
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей Динамика частиц Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 67 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
∂D
∂D
∂D
D
Рис. 10: Ориентация границы
5.5.Случай кратных интегралов
5.5.1. |
Экстремали двойного интеграла |
|
5.5.1.1. |
Уравнение Эйлера Рассмотрим двойной интеграл |
|
|
I = ZZ F (x, y, z, zx0 , zy0 ) dxdy |
(5.16) |
|
D |
|
по области D плоскости xy. Функция Лагранжа F считается дважды непрерывно дифференцируемой. Область D считается замкнутой и ограниченной, с границей, состоящей из конечного числа гладких замкнутых кривых, ориентированных стандартно, см. рис. 10. Нас будет интересовать дифференциальное уравнение (в частных
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей Динамика частиц Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 68 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
производных), которому должна удовлетворять дважды непрерывно дифференцируемая функция z(x, y), доставляющая интегралу (5.16) экстремальное значение. Предполагается, что функция z принимает на границе области ∂D заданные значения:
z(x, y) = f(x, y) , (x, y) ∂D . (5.17)
∂D
Как и ранее, будем считать, что z(x, y) — функция, доставляющая решение поставленной задаче, и введем однопараметрическое семейство функций сравнения
Z(x, y) = z(x, y) + tζ(x, y) ,
где вариация функции ζ является непрерывно дифференцируемой функцией, удовлетворяющей нулевым граничным условиям
ζ(x, y) = 0 . (5.18)
∂D
Заменяя z в интеграле на Z, приходим к функции одной вещественной переменной
ZZ
I(t) = F (x, y, Z, Zx0 , Zy0 ) dxdy
D
с условием экстремальности при t = 0:
I0(0) = 0 .
Согласно теореме дифференцирования интеграла, зависящего от параметра
I0(t) = ZZ ∂Z |
· ζ + ∂Zx0 |
· ζx0 + ∂Zy0 · ζy0 dxdy . |
|
|||||
|
|
∂F |
|
∂F |
|
|
∂F |
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
При t = 0 получаем равенство |
∂zx0 · ζx0 + |
|
∂zy0 · ζy0 dxdy = 0 . |
|
||||
ZZ ∂z · ζ + |
|
(5.19) |
||||||
|
∂F |
∂F |
|
∂F |
|
|||
D
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод Уравнение Эйлера–Лагранжа Приложения
Обобщения Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 69 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Воспользуемся формулой Грина |
|
|
|
dxdy = I |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
ZZ |
|
∂x − |
|
∂y |
P dx + Qdy . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
∂Q |
|
|
∂P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
D |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
∂x |
|
∂zx0 · ζ |
+ ∂y |
|
∂zy0 |
· ζ |
dxdy = I |
∂zx0 · ζdy − |
∂zy0 · ζdx , |
|||||||||||
ZZ |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
∂ |
|
∂F |
|
|
|
∂ |
|
∂F |
|
|
|
|
|
∂F |
∂F |
||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
D |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
откуда в силу нулевых граничных условий для функции ζ (что обращает в ноль
интеграл по границе области) |
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
+ |
|
∂zy0 |
· ζ dxdy . |
||||||||||||
ZZ |
∂zx0 · ζx0 + |
∂zy0 · ζy0 |
dxdy = − ZZ |
∂zx0 |
∂y |
|||||||||||||||||||
|
|
∂F |
∂F |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
∂F |
|
∂ |
|
∂F |
|
|||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учет последнего равенства в (5.19) ведет к равенству |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
ZZ |
∂z − |
|
∂x |
∂zx0 |
|
− ∂y ∂zy0 |
|
· ζ dxdy = 0 , |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
∂F |
|
∂ |
|
∂F |
|
|
∂ |
|
|
∂F |
|
|
|
|
|
|
|
||
D
и, в силу основной леммы (ввиду произвольности ζ), — к уравнению Эйлера
∂F |
− |
∂ |
|
∂F |
− |
∂ |
|
∂F |
= 0 . |
(5.20) |
|
|
∂z |
∂x |
∂zx0 |
∂y |
∂zy0 |
||||||
5.5.1.2. Естественное условие на границе |
Мы можем легко расширить резуль- |
||||||||||
тат предыдущего пункта на случай отсутствия условий на границе области. Вариа-
ция интеграла запишется в виде |
∂z |
− ∂x |
|
|
|
− ∂y |
|
|
· ζ dxdy = 0 . |
||||||||
I |
∂zx0 |
· ζdy − ∂zy0 |
· ζdx + ZZ |
|
∂zx0 |
|
|
∂zy0 |
|||||||||
|
|
∂F |
|
∂F |
|
|
∂F |
|
∂ |
|
∂F |
|
|
∂ |
|
∂F |
|
∂ |
D |
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод Уравнение Эйлера–Лагранжа Приложения
Обобщения Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 70 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход