Будылин А.М. Вариационное исчисление. 2001., 50 стр
.pdf
экстремалей функционала
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = xZ1 |
|
|
pv(y) 0 |
|
dx . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + y |
2 |
|
|
|
|
|||
Поскольку функция Лагранжа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
F = |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
v(y) |
0 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + y |
2 |
|
|
|
|||
не зависит явно от x, приходим к первому интегралу движения |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y0 |
∂F |
|
|
|
− F = C1 , |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
∂y0 |
|
||||||||||||||||
т.е. |
|
|
0+ y02 |
− p |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
v 1 |
1 v |
|
0 |
|
|
= C1 , |
||||||||||||||
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ y |
2 |
|
|
|||
откуда |
p |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= C , |
(4.2) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
v |
1 + y02 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
здесь мы положили C = −C1. Экстремали будут иметь вид
x = Z |
√1Cv C2v2 . |
|
|
|
dy |
|
|
− |
Отметим, что формально равенство (4.2) ведет к хорошо известному закону преломления Снеллиуса
sin θ1 = sin θ2 . v1 v2
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 51 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
v = v2 
θ2
ϕ2
y = 0
v = v1
θ1
Рис. 8: Закон Снеллиуса
Действительно, если y = 0 — граница раздела двух однородных сред, так что
(
v(y) = v1 , y < 0 , v2 , y > 0 ,
то в каждой среде тангенс угла наклона экстремали (т.е. y0 = tg ϕ), согласно (4.2), является постоянным, при этом
1 |
|
||
sin θ = cos ϕ = |
|
|
, |
p |
|
||
1 + tg2 ϕ |
|||
см. рис. 8, что ведет к равенству
sin θ
v
= C .
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа Приложения
Обобщения Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 52 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
5.Обобщения
5.1. Случай нескольких искомых функций
Получим дифференциальные уравнения, которым должны удовлетворять дважды непрерывно дифференцируемые функции y(x), . . . z(x), чтобы быть экстремалями интеграла
x2 |
|
|
I = Z |
F (x, y, . . . , z, y0, . . . , z0) dx . |
(5.1) |
x1
Обозначим через y(x) , . . . , z(x) функции, доставляющие интегралу I наименьшее (наибольшее) значение и построим однопараметрическое семейство сравнимых функций
Y (x) = y(x) + tη(x) , . . . Z(x) = z(x) + tζ(x) ,
где η(x), . . . ζ(x) — произвольные непрерывно дифференцируемые функции, удовлетворяющие граничным условиям
((
η(x1) = 0 , |
ζ(x1) = 0 , |
η(x2) = 0 , |
. . . |
ζ(x2) = 0 . |
Замещая в интеграле I экстремальные функции y, . . . , , z сравнимыми функциями, получим функцию одной вещественной переменной t
x2
Z
I(t) = F (x, Y, . . . , Z, Y 0, . . . , Z0) dx ,
x1
где Y 0, . . . Z0 обозначают производную по x. При t = 0 интеграл I получает свое экстремальное значение и, следовательно, его вариация δI равна нулю:
I0(0) = 0 .
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 53 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Ввиду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
∂Y |
|
= η , . . . , |
= ζ0 |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
∂t |
∂t |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
находим (согласно (3.9) и (3.10)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x2 |
∂Y · η + . . . + ∂Z · ζ + ∂Y 0 · η0 |
+ . . . + ∂Z0 · ζ0 |
dx . |
||||||||||||||||||||
I0(t) = Z |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
h |
∂F |
|
|
∂F |
|
∂F |
|
|
∂F |
|
i |
|||||||||||
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При t = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I0(0) = Z |
h |
∂F |
|
|
|
|
|
∂F |
∂F |
|
|
|
∂F |
|
|
|
|
|||||||
|
· η + . . . + |
|
|
· ζ + |
|
|
· η0 + . . . + |
|
· ζ0 |
dx = 0 . |
||||||||||||||
∂y |
∂z |
∂y0 |
∂z0 |
|||||||||||||||||||||
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
Выбор η, . . . ζ — произволен. Положим все вариации, кроме η, равными нулю, тогда
x2
Z
h∂F∂y · η + ∂y∂F0 · η0i dx = 0 .
x1
Отсюда, как в одномерном случае, интегрируя по частям во втором слагаемом и используя граничные условия, получаем
x2 |
∂y − dx ∂y0 |
|
· η , dx = 0 . |
||||||||||
Z |
|
|
|||||||||||
|
h |
∂F |
|
d |
|
∂F |
i |
||||||
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В силу основной леммы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 . |
|
|
∂F |
− |
|
d |
|
∂F |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
∂y |
dx |
∂y0 |
||||||||
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа Приложения
Обобщения Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 54 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Аналогично поступаем в остальных случаях. Получаем систему дифференциальных уравнений Эйлера–Лагранжа
|
|
|
|
|
|
∂F |
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
∂F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂F |
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
∂F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
= 0 , . . . , |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.2) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
dx |
∂y0 |
∂z |
|
dx |
∂z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Отметим тождество |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
d |
y0 · |
∂F |
+ . . . + z0 · |
∂F |
|
|
− F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
dx |
∂y0 |
∂z0 |
|
∂y0 + . . . + z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= y00 · ∂y0 +y0 |
· |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
+z0 · dx |
∂z0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
00 |
|
}|· ∂z |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂F |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
∂F |
|
|
|
|
z |
∂F |
|
|
|
|
|
d |
∂F |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
{z |
|
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 |
|
|
. . . |
|
|
|
|
|
|
z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
. . . |
|
|
∂F |
|
z00 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y · |
− |
− ∂z |
· |
− |
|
∂y0 · |
00 |
− |
− z∂z0}|· |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− ∂x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂F |
|
∂F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂F |
|
|
|
|
|
∂F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
}z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= y0 |
|
∂F |
|
|
|
d ∂F |
|
.{z. . |
|
|
|
∂F |
|
|
|
|
d ∂F |
|
∂F . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
h |
|
|
− |
|
|
|
|
i − |
− |
h |
|
− |
|
|
|
i − |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
dx |
∂y0 |
∂z |
dx |
∂z0 |
∂x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Если F не зависит явно от x, получаем первый интеграл системы (5.2):
y0 · |
∂F |
+ . . . + z0 · |
∂F |
− F = C1 . |
(5.3) |
|
|
||||
∂y0 |
∂z0 |
5.2. Параметрическое представление
В некоторых задачах поиск экстремалей интеграла
x2
Z
I = F (x, y, y0) dx
x1
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 55 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
в явном виде y = y(x) может быть чрезмерно ограничительным. В этом случае следует перейти к параметрическому представлению
(
x = x(τ) ,
y = y(τ) ,
τ [τ1, τ2] .
Тогда (в предположении x˙ 6= 0)
τ2
Z
I = F x, y, xy˙˙ x˙ dτ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
= Z |
G(x, y, x,˙ y˙) dτ , |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
dx |
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
y˙ |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x˙ = |
|
|
|
, y˙ = |
|
|
, G = F x, y, |
|
· x˙ . |
|
||||||||||
dτ |
dτ |
x˙ |
|
||||||||||||||||||
Система Эйлера–Лагранжа примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∂G |
d |
|
∂G |
|
|
|
∂G |
|
d |
|
∂G |
|
|
||||||||
|
|
− |
|
|
|
= 0 , |
|
|
− |
|
|
|
= 0 . |
(5.5) |
|||||||
|
∂x |
dτ |
∂x˙ |
|
∂y |
dτ |
∂y˙ |
||||||||||||||
Возникает естественный вопрос, на сколько серьезные изменения при этом произошли по сравнению с исходным уравнением Эйлера–Лагранжа? Подвергнем полученную систему небольшому анализу в этом направлении. Заметим, что
|
|
|
|
|
|
∂G |
|
∂F |
|
|
|
∂G |
|
∂F |
|
− |
y˙ |
|
· x˙ + F = F − y0 |
∂F |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
· x˙ , |
|
|
|
|
= |
|
· |
|
|
, |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂x |
∂x˙ |
∂y0 |
x˙ 2 |
∂y0 |
|
|
||||||||||||||||||||
и (ввиду тождества (3.15)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
d |
|
∂G |
|
|
|
d |
∂G |
dx |
|
|
d |
|
|
|
∂F |
|
|
|
∂F |
|
d |
|
∂F |
|
∂F |
||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
· |
|
= x˙ |
|
F − y0 |
|
|
= x˙ ny0h |
|
− |
|
|
|
|
i + |
|
o , |
||||||||
dτ |
∂x˙ |
dx |
∂x˙ |
dτ |
dx |
∂y0 |
∂y |
dx |
∂y0 |
∂x |
||||||||||||||||||||||||
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод Уравнение Эйлера–Лагранжа Приложения
Обобщения Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 56 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
откуда (ввиду y˙ = y0 · x˙ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
∂G |
|
|
|
d |
|
|
∂G |
|
∂F |
|
|
d |
|
|
∂F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= y˙h |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
i . |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
∂x |
dτ |
∂x˙ |
|
∂y |
dx |
∂y0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Аналогично |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∂G |
∂F |
|
|
∂G |
|
|
|
∂F |
1 |
|
|
|
∂F |
|
|
|
|
|
|
d |
|
∂G |
|
d |
|
∂F |
|
||||||||||||||
|
|
= |
|
· x˙ , |
|
|
= |
|
|
|
· |
|
|
|
· x˙ = |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
· x˙ , |
|||||||
|
∂y |
∂y |
∂y˙ |
∂y0 |
x˙ |
∂y0 |
|
|
dτ |
∂y˙ |
dτ |
∂y0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
и тогда |
|
|
|
∂G |
|
|
|
d |
|
|
∂G |
|
∂F |
|
|
d |
|
|
∂F |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
) = x˙ h |
|
|
− |
|
|
|
|
|
i . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂y |
dτ |
|
|
∂y˙ |
∂y |
dx |
∂y0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Мы проверили важное свойство инвариантности уравнения Эйлера–Лагранжа:
если кривая, вне зависимости от того, задана она однозначно или параметрически, удовлетворяет уравнению Эйлера–Лагранжа
∂F − d ∂F = 0 , ∂y dx ∂y0
то она также удовлетворяет системе (5.5) и обратно при любом выборе параметра при условии x˙ 6= 0.
Это свойство позволяет при решении вариационной задачи использовать наиболее удобные для данной задачи координаты. Так, например, для экстремалей инте-
грала
x2
Z
pp
I = |
x2 + y2 · 1 + y02 dx |
x1
в исходных декартовых координатах получаем уравнение
p |
|
|
|
|
|
p1 + y0 |
|
|
|
||||
y |
1 + y02 |
− |
d y0 |
|
x2 |
+ y2 |
= 0 , |
||||||
x2 |
+ y2 |
dx |
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
p |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
||
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 57 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
анализ которого весьма не прост. Однако, если воспользоваться параметрической формой в полярных координатах
(
x = r(θ) cos θ , y = r(θ) sin θ ,
интеграл I приводится к виду
θ2
Z
p
I = r r2 + r02 dθ ,
θ1
где функция Лагранжа не зависит явно от θ: поиск функции y = y(x), доставляющей экстремальное значение интегралу I, подменен поиском функции r(θ). Мы получаем возможность сразу выписать первый интеграл, см. (3.16), уравнения Эйлера– Лагранжа:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rr0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
r0 |
|
√ |
|
|
|
|
|
|
− rpr + r02 = C1 , |
|
|
|
||||||||||||||||||
и решить задачу |
|
|
|
r + r02 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
r3 = −C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r2 + r02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
Cdr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p Cdr |
1 |
|
|
|
d |
|
C2 |
|
||||||||||||||
θ = |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
6 |
|
|
2 |
r |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
C 2 |
|||||||||||||
|
r |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Z |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
Z r |
q1 |
− |
r4 |
|
|
|
|
|
|
Z q1 − |
r2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
= − |
1 |
arcsin |
C |
+ θ0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
= sin 2(θ0 − θ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r = |
|
|
|
|
|
|
r0 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| sin 2(θ0 − θ)| |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод Уравнение Эйлера–Лагранжа Приложения Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 58 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
где r0 и θ0 — постоянные интегрирования (r02 = |C| = −C1). Нетрудно видеть, что найденные экстремали являются гиперболами. Действительно, поворотом системы координат xy на угол θ0 мы добиваемся (в новых декартовых координатах) равенства θ0 нулю. Тогда, например, при θ (0, π2 )
xy = r2 |
(θ) |
sin 2θ |
= |
r2 |
|
|
0 |
. |
|||
|
2 |
||||
|
2 |
|
|
||
Следует, однако, проявлять определенную осторожность в связи с требованием строгой монотонности зависимости x от параметра. Так, например, при решении предыдущей задачи нами были потеряны экстремали вида y = kx, что в полярных координатах соответствует лучам θ = Const. В этом случае (т.е. когда точки P1 и P2 лежат на таких лучах) введения полярного угла θ в качестве параметра невозможно.
5.3.Случай производных высших порядков
Рассмотрим интеграл, зависящий от производных искомых функций до n-го порядка
включительно:
x2
Z
I = F (x, y, y0, . . . , y(n)) dx ,
x1
считая, что функция F непрерывно дифференцируема по всем переменным (n + 1) раз. Какому дифференциальному уравнению должна удовлетворять 2n раз непрерывно дифференцируемая функция y, сообщающая интегралу I экстремальное значение?
Замещая в интеграле I экстремальную функцию y = y(x) сравнимой
Y (x) = y(x) + tη(x) ,
где η — n раз непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая граничным условиям
η(x1) = η(x2) = η0(x1) = η0(x2) = . . . = η(n−1)(x1) = η(n−1)(x2) = 0 ,
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа Приложения Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 59 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
получим функцию переменной t
x2
Z
I(t) = I = F (x, Y, Y 0, . . . , Y (n)) dx ,
x1
где Y (k) — производная по x: Y (k) = y(k) +tη(k). Как и ранее, в силу экстремальности интеграла при t = 0,
x2 |
∂y |
· η + ∂y0 |
· η0 + . . . + ∂y(n) · η(n) |
dx = 0 . |
||||
I0(0) = Z |
|
|||||||
|
|
∂F |
|
∂F |
|
∂F |
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
||
Интегрируя по частям в каждом слагаемом соответствующее число раз (k-ое слагаемое интегрируется (k − 1) раз), перебрасывая производные с функции η на производные от F , приходим к равенству
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dn |
|
|
|
|
I0(0) = Z |
|
∂F |
|
d |
|
∂F |
|
|
|
∂F |
η dx = 0 , |
||
|
∂y |
− dx |
|
∂y0 |
|
+ . . . + (−1)n dxn |
|
∂y(n) |
|||||
x1 |
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
внеинтегральные члены обращаются в ноль ввиду нулевых граничных условий для функции η и ее производных. В силу основной леммы (вариант, допускающий гладкость функции η любого конечного порядка, см. стр. 26), заключаем, что
∂F |
− |
d |
|
∂F |
|
+ . . . + (−1)n |
dn |
|
∂F |
= 0 . |
∂y |
dx |
∂y0 |
dxn |
∂y(n) |
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 60 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход