Будылин А.М. Вариационное исчисление. 2001., 50 стр
.pdf
y2 |
2ε |
y(x) |
|
y1 |
|
Y (x) |
|
x1 |
x2 |
Рис. 5: Окрестность кривой y(x) |
|
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод Уравнение Эйлера–Лагранжа Приложения Обобщения
Задачи на условный экстремум Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 31 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Итак, задача свелась к обычной задаче на минимум функции I(t) одной вещественной переменной, причем в данном случае мы заранее знаем, что минимум достигается при t = 0, откуда по теореме Ферма
I0(0) = 0 . |
(3.7) |
Далее нам придется воспользоваться правилами дифференцирования интеграла, зависящего от параметра, а также правилами дифференцирования сложной функции нескольких переменных. Напомним их.
3.3.Экскурс в дифференциальное исчисление
3.3.1. Дифференцирование интеграла по параметру.
Если
|
x2(t) |
|
I = I(t) = |
Z |
f(x, t) dx , |
x1(t)
где f , x1 , x2 — гладкие (непрерывно дифференцируемые) функции, то
dt |
= f(x2 |
, t) dt2 |
− f(x1 |
, t) dt1 |
+ |
x2(t) |
∂t dx . |
(3.8) |
||
Z |
||||||||||
dI |
|
|
dx |
|
|
dx |
|
|
∂f |
|
x1(t)
В частности, когда пределы интегрирования не зависят от параметра,
|
x2 |
|
|
|
dI |
= xZ1 |
∂f |
dx . |
(3.9) |
|
|
|||
dt |
∂t |
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод Уравнение Эйлера–Лагранжа Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 32 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
3.3.2. Цепное правило.
Если функция u = f(x, t) задана как сложная
u = F (x, y, z) ,
y = Y (x, t) ,
z = Y 0(x, t) ,
где все функции считаются гладкими, то
∂u |
= |
∂f |
= |
∂F |
· |
∂Y |
+ |
∂F |
· |
∂Y |
0 |
. |
(3.10) |
||
∂t |
|
∂t |
|
∂y |
∂t |
∂z |
∂t |
|
|||||||
3.4.Уравнение Эйлера–Лагранжа
3.4.1. Вывод уравнения
Вернемся к необходимому условию (3.7) минимума функции I(t). Используя правила (3.9)-(3.10) и равенства
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Y |
= η , |
|
|
|
∂Y 0 |
= η0 , |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x2 |
∂Y |
· ∂t + ∂Y |
0 |
· ∂t |
0 |
|
|
|
x2 |
∂Y |
· η + |
∂Y 0 · η0 |
dx . |
||||||||||
|
dt = Z |
|
dx = Z |
|
|||||||||||||||||||||
dI |
|
∂F |
∂Y |
|
|
∂F |
∂Y |
|
|
|
|
|
∂F |
∂F |
|
||||||||||
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|||||
Тогда уравнение (3.7) запишется в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂F |
|
|
|
∂F |
|
|
|
|
|
|
(3.11) |
|||||
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
∂y · η + ∂y0 · η0 |
dx = 0 . |
|
|
|||||||||||||
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей Динамика частиц Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 33 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
причем оно выполняется для произвольной непрерывно дифференцируемой функции η(x), удовлетворяющей нулевым граничным условиям (3.4).
Преобразуем второе слагаемое, интегрируя по частям
x2 |
∂F |
|
∂F |
|
x2 |
x2 |
d ∂F |
|
|||
Z |
· η0 dx = |
· η |
x1 |
− Z |
η dx . |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
∂y0 |
∂y0 |
dx ∂y0 |
|||||||||
x1 |
|
h |
|
i |
|
x1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечая, что внеинтегральные члены обращаются в ноль в силу (3.4), приведем равенство (3.11) к виду
x2
Z
h∂F − d ∂F iη dx = 0 . (3.12) ∂y dx ∂y0
x1
Осталось воспользоваться основной леммой 2.1 и получить уравнение
∂F |
− |
d |
|
∂F |
= 0 . |
(3.13) |
∂y |
dx |
∂y0 |
Это и есть уравнение Эйлера–Лагранжа.
В общем случае, это дифференциальное уравнение относительно y второго порядка:
∂F |
|
∂2F |
|
|
∂2F dy ∂2F dy0 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
− |
|
|
− |
|
|
|
· |
|
|
− |
|
|
· |
|
|
= 0 |
|
||
|
∂y |
∂x∂y0 |
|
∂y∂y0 |
dx |
∂y02 |
dx |
|
||||||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
∂2F |
|
|
|
∂2F |
|
|
∂2F |
∂F |
|
|||||||||||
|
|
|
· y00 + |
|
· y0 |
+ |
|
− |
|
|
= 0 . |
(3.14) |
||||||||||
|
|
∂y02 |
∂y∂y0 |
∂x∂y0 |
∂y |
|||||||||||||||||
Его решение, удовлетворяющее граничным условиям (3.2), и будет (если только оно находится однозначно) минимизирующей функцией y(x).
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 34 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
3.4.2. Замечания.
Следует подчеркнуть, что условие I0(0) = 0 не является достаточным условием минимума функции I(t) при t = 0. Это условие может соответствовать и точке максимума и не экстремальной стационарной точке. В принципе, все три эти ситуации могут быть интересны, если нет априорной информации о характере искомой функции y(x). Исторически сложилось под экстремальными значениями интеграла (3.1) понимать все три ситуации, отвечающие условию (3.7).
Определение 3.1. Экстремальными функциями или экстремалями интеграла (3.1) называются решения уравнения Эйлера–Лагранжа (3.13).
Как уже отмечалось в разделе 2.2, производная I0(0) называется первой вариацией функционала I и обозначается δI[η]:
x2 |
∂y |
− dx |
|
∂y0 η dx . |
||||
δI[η] = Z |
|
|
||||||
|
h |
∂F |
|
d |
|
∂F |
i |
|
x1 |
|
|
|
|
|
|||
Полагая η = δy пишут
x2
Z
δI = h∂F − d ∂F iδy dx . ∂y dx ∂y0
x1
Заметим, что функционал δI линейно зависит от δy. По аналогии с производной по Фреше f0,
n |
df |
|
|
Xj |
= f0(x0) ≡ l , |
||
|
|||
|
|||
f0(x0)h = ljhj , df = hl|dxi , dx |
|||
=1 |
|
|
|
когда производная функции нескольких переменных f0 отождествляется с вектором (градиентом) l = (l1, . . . ln), определяющим f0 как линейную функцию вектора h,
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 35 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
так и в вариационном исчислении функцию
L = ∂F − d ∂F , ∂y dx ∂y0
играющую роль вектора l:
δI = hL|δyi ,
называют вариационной производной функционала I и пишут
δI = ∂F − d ∂F . δy ∂y dx ∂y0
Здесь h·|·i — обозначение для стандартного скалярного произведения как в Rn, так и в пространстве непрерывных вещественных функций на интервале [x1, x2].
Мы можем теперь сказать, что экстремали интеграла I появляются как решения уравнения
δI
δy
= 0 .
3.5.Анализ уравнения Эйлера-Лагранжа
Отметим некоторые случаи, когда уравнение Эйлера–Лагранжа допускает понижение порядка.
3.5.1. F не зависит явно от y
Итак, пусть F = F (x, y0). Тогда уравнение Эйлера–Лагранжа примет вид
d ∂F
dx ∂y0
= 0 ,
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 36 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
откуда находим первый интеграл уравнения Эйлера–Лагранжа
∂F
∂y0 = C1 = Const .
Это есть дифференциальное уравнение первого порядка для определения y, но не содержащее явно y. Если это уравнение разрешить относительно производной y0, оно примет простейший для дифференциального уравнения вид
y0 = ϕ(x, C1) ,
откуда
Z
y = ϕ(x, C1) dx .
В случае геодезической на плоскости, где
p
F = 1 + y02 ,
находим
y0
1 + y02 = C1 ,
откуда
y0 = a
и
y = ax + b .
Постоянные a и b элементарно находятся из граничных условий. Разумеется, это тот случай, когда нетрудно показать, что прямые линии действительно минимизируют интеграл (1.2).
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 37 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
3.5.2. F не зависит явно от x
В этом случае F = F (y, y0) и полезно иметь в виду следующее тождество
d |
|
y0 |
∂F |
− F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
dx |
∂y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
z |
|
}|· |
|
|
{0 |
|
· dx |
∂y0 |
− |
∂x |
− ∂y · |
|
0 |
|
|
|
|
|
0}|· |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
∂y |
|
− z∂y |
|
{ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= y00 |
∂F |
+y0 |
|
d |
|
∂F |
|
∂F |
∂F |
y |
|
|
|
∂F |
|
y00 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂F |
|
|
|
d |
∂F |
|
|
∂F |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −y0h |
|
− |
|
|
|
i − |
|
. |
(3.15) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
dx |
∂y0 |
∂y |
||||||||||||||
Тогда, в силу ∂F∂x = 0 и уравнения Эйлера–Лагранжа, находим
dxd y0 ∂y∂F0 − F = 0 ,
откуда получаем первый интеграл уравнения Эйлера–Лагранжа в этом случае
y0 |
∂F |
− F = C1 . |
(3.16) |
∂y0 |
Это уравнение первого порядка, зависящее только от y и y0 и не зависящее явно от x. Если его удается явно разрешить относительно производной
y0 = ψ(y, C1) ,
мы получаем экстремали в виде
x = Z |
ψ(y, C1) . |
|
dy |
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 38 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
3.5.3. |
Случай полной производной F = |
|
d |
|
G(x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В этом случае интеграл I не зависит от выбора функции y: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = G(x2, y2) − G(x1, y1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Что это означает для уравнения Эйлера–Лагранжа? Будем считать, что G — дважды |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
непрерывно дифференцируема. В силу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
F = |
∂G |
+ |
∂G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2G |
= |
∂2G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· y0 |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
∂y |
|
∂x∂y |
∂y∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∂F |
|
d ∂F |
|
∂2G ∂2G |
|
d ∂G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
− |
|
|
|
= |
|
|
+ |
|
|
· y0 − |
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∂y |
dx |
∂y0 |
∂y∂x |
∂y2 |
dx |
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2G ∂2G |
|
|
|
|
∂2G ∂2G |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
· |
y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
y0 |
= 0 , |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y∂x |
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
∂x∂y |
|
∂y |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z }| { |
|
|
|
|
|
|
|
|
− z }| { − |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
т.е. уравнение Эйлера–Лагранжа выполняется тождественно. |
| |
|
{z |
|
|
} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| {z |
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Естествен вопрос: каков общий случай тождественного выполнения уравнения Эйлера–Лагранжа? Воспользуемся раскрытой записью, см. (3.14)
∂2F |
· y00 + |
|
|
∂2F |
· y0 |
+ |
∂2F |
− |
∂F |
|
= 0 . |
|||||
∂y02 |
|
∂y∂y0 |
∂x∂y0 |
∂y |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
| |
зависят |
только от |
x,y,y0 |
} |
|
|||||||||
|
|
|
{z |
|
||||||||||||
Очевидно, что необходимо выполнение условия
∂2F
∂y02 = 0 ,
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 39 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
т.е. F может быть лишь линейной функцией от y0:
F = P (x, y) + Q(x, y) · y0 .
В этом случае
∂F |
|
d |
|
∂F |
= |
∂P |
+ |
∂Q |
· y0 |
dQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
− |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∂y |
dx |
∂y0 |
∂y |
|
∂y |
dx |
+ z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∂y |
∂y |
}|· y{0 |
− |
∂x |
− z∂y}|· y{0 |
= |
∂y |
− ∂x . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂P |
|
∂Q |
|
∂Q |
∂Q |
|
∂P |
|
∂Q |
|||||||||
Уравнение Эйлера–Лагранжа в этом случае имеет вид
∂P∂y − ∂Q∂x = 0 ,
но это и есть условие того, что F — полная производная, при этом
P = |
∂G |
, |
Q = |
∂G |
. |
∂x |
|
||||
|
|
|
∂y |
||
Итак, мы получили необходимое и достаточное условие тождественного выпол-
нения уравнения Эйлера–Лагранжа: |
|
|
|
|
|
F = |
d |
G(x, y) . |
|
|
|
|
||
|
|
dx |
|
|
Из этого наблюдения получается полезное следствие. |
||||
Теорема 3.2. Пусть |
|
|
|
|
x2 |
|
|
x2 |
|
I = xZ1 |
F (x, y, y0) dx и J = xZ1 |
H(x, y, y0) dx , |
||
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 40 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход