
- •4. Полярная система координат на плоскости.
- •5. Прямоугольные декартовые координаты пространств.
- •9. Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой.
- •10. Линии второго порядка. Окружность.
- •11.Линии второго порядка.Эллипс
- •12. Линии второго порядка.Гипербола.
- •13 Линии второго порядка. Парабола
- •14 .Основные понятия и определения. Теория матрицы
- •15. Линейные действия над матрицами
- •16.Произведение матриц
- •17.Транспонировние матрицы
- •18. Определители 2-ого и 3-ого порядков.
- •19. Обратная матрица
- •20. Ранг матрицы
- •21. Система линейных уравнений. Основные понятия
- •22.Решение систем линейных уравнений с помощью определителя(теорема Крамера)
- •23. Исследование систем линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли, базисный минор, базисные и свободные неизвестные)
- •24.Матричный метод решения систем линейных уравнений
- •25)Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
- •29.Умножение вектора на число. Свойства линейных операций над векторами.
- •31. Составляющие вектора: на плоскости, по прямой и плоскости, по трем прямым
- •Вопрос32. Разложение вектора по базису
- •Вопрос33.Прямоугольные декартовы координаты в пространстве
- •34. Длина вектора. Линейные операции над векторами в прямоугольных координатах: сумма, разность, умножение на число. Признак коллинеарности двух векторов в прямоугольных координатах.
- •35. Скалярное произведение векторов
- •37.Смешанное произведение 3 векторов.
- •38. Линейная зависимость векторов
- •39.Уравнение поверхности и линии
- •Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •41. Прямая в пространстве (направляющий вектор, каноническое уравнение) .Параметрическое уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
- •44. Понятие сложной функции. Четные и нечетные функции, переодические функции.Основные элементарные функции.
- •45. Функция натурального аргументы и ее предел.
- •47. Предел функции в точке и на бескон. Определение
- •49. Основныесв-ва пределов функций.
- •50.Замечательные пределы
- •51. Непрерывные ф-ции.Точки разрыва ,их классификация.
34. Длина вектора. Линейные операции над векторами в прямоугольных координатах: сумма, разность, умножение на число. Признак коллинеарности двух векторов в прямоугольных координатах.
Длина
a
вектора
(а1,
а2,
а3)
вычисляется,
Пусть в пространстве
введена прямоугольная система координатв которой векторы
имеют координаты
(1),тогда
Признаком
коллинеарности векторов является
пропорционально их координат, при этом
,
имеем
,
Сложение векторов
По правилу
треугольника: если данный два вектора
,
то вектор
откладываем
от любой точки А пространства
.
Затем от конца В вектора
откладываем вектор
.
Суммой
векторов
и
будет
вектор
.
Итак
.
Суммой векторов
называется третий вектор
,
начало которого совпадает с началом
вектора
,
а конец – с началом вектора
,
отложен из конца вектора
.
Правило
параллелограмма: если даны два
неколлинеарных вектора
,
то откладываем их от одной произвольным
образом выбранной точки А пространства
.
Затем строим на отрезках АВ иAD
параллелограмм ABCD.
Вектор
Естественно, что
сумма
векторов
,
найденная по правилу параллелограмма
не зависит от выбора точки А и совпадает
с суммой
векторов
,
найденной по правилу треугольника.
Правило
параллелепипеда: если даны три
некомпланарных вектора
,
то откладываем их от одной произвольным
образом выбранной точки А пространства
.
Затем строим на отрезках АВ, АС иAD,
как на рёбрах, параллелепипед. Вектор
,
где
– диагональ на рёбрах параллелепипеда,
есть сумма
векторов
,
то есть.
Вычитание векторов.
Вычесть из вектора
вектор
–
значит найти такой вектор
,
который в сумме с вектором
даст вектор
.
если из вектора
,вычитается
вектор
,
то будем писать
.
Вектор
будем называть разнице векторов
.
Итак,
двух векторов
,
необходимо их одной произвольным образом
выбранной точки А пространства отложить
векторы
.
затем конец С вектора
соединить с концом В вектора
.
Получим вектор
,
который и будет разностью
векторов
.
Умножение вектора на число.
Пусть дан вектор
и действительное числоβ≠0
Произведением
вектора
на
числоβ≠0
называется вектор
такой,
что
Модуль
Вектор
сонаправлен с вектором
, если числоβ >0; вектор
направлен противоположно вектору
, если числоβ< 0.
Если
илиβ = 0, то
полагаем, что β×
=
и 0×
=
35. Скалярное произведение векторов
,
ортогонален
(
)
.
Длины
;
.
Угол
между векторами
36.
Векторным
произведением векторовa
и b
называется вектор c
, который определяется следующими
условиями:1) Его модуль равен a*b*sin
где
- угол между векторами .
2) Вектор cперпенд к плоскости, опр-мой перемнож векторами a и b .
3) Вектор c направлен так, что наблюдателю, смотрящему с его конца на перемножаемые векторы a и b, кажется, что для кратчайшего совмещения первого сомножителя со вторым первый сомножитель нужно вращать противчасовой стрелки (см. рисунок).
Основные свойства векторного произведения
1) Векторное произведение a*b=0 , если векторы a и bколлинеарны или какой-либо из перемножаемых векторов является нулевым.
2) При перестановке местами векторов сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный вектора a*b=-b*a .Векторное произведение не обладает свойством переместительности.