
- •4. Полярная система координат на плоскости.
- •5. Прямоугольные декартовые координаты пространств.
- •9. Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой.
- •10. Линии второго порядка. Окружность.
- •11.Линии второго порядка.Эллипс
- •12. Линии второго порядка.Гипербола.
- •13 Линии второго порядка. Парабола
- •14 .Основные понятия и определения. Теория матрицы
- •15. Линейные действия над матрицами
- •16.Произведение матриц
- •17.Транспонировние матрицы
- •18. Определители 2-ого и 3-ого порядков.
- •19. Обратная матрица
- •20. Ранг матрицы
- •21. Система линейных уравнений. Основные понятия
- •22.Решение систем линейных уравнений с помощью определителя(теорема Крамера)
- •23. Исследование систем линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли, базисный минор, базисные и свободные неизвестные)
- •24.Матричный метод решения систем линейных уравнений
- •25)Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
- •29.Умножение вектора на число. Свойства линейных операций над векторами.
- •31. Составляющие вектора: на плоскости, по прямой и плоскости, по трем прямым
- •Вопрос32. Разложение вектора по базису
- •Вопрос33.Прямоугольные декартовы координаты в пространстве
- •34. Длина вектора. Линейные операции над векторами в прямоугольных координатах: сумма, разность, умножение на число. Признак коллинеарности двух векторов в прямоугольных координатах.
- •35. Скалярное произведение векторов
- •37.Смешанное произведение 3 векторов.
- •38. Линейная зависимость векторов
- •39.Уравнение поверхности и линии
- •Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •41. Прямая в пространстве (направляющий вектор, каноническое уравнение) .Параметрическое уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
- •44. Понятие сложной функции. Четные и нечетные функции, переодические функции.Основные элементарные функции.
- •45. Функция натурального аргументы и ее предел.
- •47. Предел функции в точке и на бескон. Определение
- •49. Основныесв-ва пределов функций.
- •50.Замечательные пределы
- •51. Непрерывные ф-ции.Точки разрыва ,их классификация.
29.Умножение вектора на число. Свойства линейных операций над векторами.
Произведением
ненулевого вектора на
действительное число
называется
вектор
,
удовлетворяющий условиям:
1) длина
вектора равна
,
т.е.
;
2)
векторы и
коллинеарные
;
3)
векторы и
одинаково
направлены, если
,
и противоположно направлены, если
.
(рис. 9). Если среди сомножителей
есть 0, то под произведением
понимается нулевой вектор.
Геометрический
смысл операции умножения вектора на
число следующий: если
,
то при умножении вектора
на число
вектор
«растягивается» в
раз, а если
– «сжимается» в
раз. На рис. 9 изображен случай
.
Утверждение
1. Если
векторы
и
коллинеарны
и
,
то существует единственное число
,
что
.
Свойства линейных операций над векторами
Сложение
векторов и умножение вектора на число
называются линейными
операциями над векторами.
Для любых векторов ,
,
и
любых действительных чисел
справедливы
равенства:
30.Угол между векторами. Скалярное произведение векторов
Скалярным
произведением двух
ненулевых векторов и
называется
число, равное произведению длин этих
векторов на косинус угла между ними:
31. Составляющие вектора: на плоскости, по прямой и плоскости, по трем прямым
Проведём
a
и b,,
,a
b,
.
Из точки О
отложим
.По
правилу парал. сложения векторов устанав,
что
,
где
сост
вектора
,
леж на прямыхa
и b,
соответственно. Предст вектора
равенством назразлож
вектора
на
состав
,
леж на прямых a
и b.Заданы
прямая
и плоскость
,
причём
не лежит в
и не паралл
.
.
Возьмём
и отложим его от О. Получим
.
Пусть точка
– проекцияV
на
в направлении в направлении
,
то есть
.
на
выбрана так, что
Тогда(1)
или(2),где
явл сост
,
леж на
и на
.Представление
равенствами(1) или(2) назывразлож
на
составл
,
леж на
и на
.Пусть
заданы три прямые a,
b,
c,
пересек в O
и не леж в одной плоскости.
.
Разлаживаем
по прямa
и плосa:
на
составляющие
Теперь
разложим на составляющие
, леж наb
и c,
в a
:
В
итоге имеем, что
.где
составляющиеv,леж
на a,
b,
c,соответственно.Представление
назыв разлож
на сост
,
леж наa,
b,
c.
Вопрос32. Разложение вектора по базису
Разложить
по базису
– это значит представить его
.Числкоэфx,
y,
zв
правой части равенства – координаты
в базисе
.Координаты
векторов (как и их сост.) обладают
след.св-ми (операции слож. векторов и
умн. на число):
При
слож векторов их координаты
складываются.
Разл.
вектора
по базису
имеет вид
,
где
– действ.числа. Тогда сум.
,
и предст. вектор
с координатами
,
,
в базисе
При
умнож.вектора на число его координаты
умнож. на это число.
- действ. число. Разлож
по базису
имеет вид
.
Тогда
.Тройка
базисных векторов в пространстве наз.
Правой (левой), если эти векторы, отлож.
от одной точки, распол. так, как распол.
большой, указательный и средний пальцы
правой (левой) руки.
Вопрос33.Прямоугольные декартовы координаты в пространстве
Координатами
вектора
,
начало кот. Точка А(
),
а конец В(
)
в прям. дек. системе координатOxyz
наз. числа
,
,
. Сначала фикс. в прям. дек. сист. координат
Охуz
точку А(х, у, z).
Потом строят точку В(х+
,
у+
,
z+
).
Получаем
равн.
.
Радиусом-вектором – наз. вектор
с точкой прилож. в нач. координат О, а
конец - в А.
.