- •Аннотация
- •Линия порядка
- •Примеры линий второго порядка
- •1. Эллипс.
- •2. Гипербола.
- •3. Парабола.
- •4. Пара пересекающихся прямых.
- •5. Пара параллельных прямых.
- •6. Пара совпавших прямых.
- •7. Мнимый эллипс.
- •8. Пара мнимых пересекающихся прямых.
- •9. Пара мнимых параллельных прямых.
- •Теорема о классификации кривых второго порядка
- •Вопросы для самоконтроля
- •Общая теория кривых второго порядка
- •1. Пересечение линии второго порядка с прямой.
- •2. Асимптотические направления.
- •3. Центр линии второго порядка.
- •4. Касательная к линии второго порядка.
- •5. Диаметры линии второго порядка.
- •6. Сопряженные диаметры. Сопряженные направления.
- •7. Главные направления.
- •8. Главные диаметры.
- •Вопросы для самоконтроля
- •ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
- •1. Эллипсоид.
- •2. Однополостный гиперболоид.
- •3. Двуполостный гиперболоид.
- •4. Конус.
- •5. Эллиптический параболоид.
- •6. Гиперболический параболоид.
- •Цилиндры.
- •Мнимые поверхности.
- •Литература
Для гиперболы (6) число p = |
b2 |
называется ее фокальным |
|
a |
|||
|
|
||
параметром. |
|
||
Замечание. Гипербола, полуоси |
которой равны a = b , |
называется равносторонней. Ее каноническое уравнение имеет вид
x2 − y2 = a2 . |
Асимптоты |
равносторонней |
гиперболы |
перпендикулярны. |
|
|
3. Парабола.
Параболой γ называется множество всех точек плоскости,
расстояние от каждой из которых до данной точки F равно расстоянию до данной прямой d , не проходящей через точку F . Точка F называется фокусом параболы, а прямая d – ее директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным параметром параболы и обозначается через p .
d
y
M (x, y)
x
F
Рис. 3
Найдем уравнение параболы в декартовой системе координат Oxy . Пусть O – середина отрезка FD , где D – ортогональная проекция точки F на прямую d . В этой системе координат фокус F
имеет |
координаты |
F |
p |
,0 |
, |
а директриса d |
– |
уравнение |
|||
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x + |
p |
= 0 . Пусть |
M (x, y) γ |
– произвольная |
точка |
параболы. |
|||||
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расстояния от точки M до фокуса F и директрисы d вычисляются
|
|
|
p 2 |
|
2 |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
по формулам: |
FM = |
x − |
|
+ y |
|
, |
ρ(M , d) = |
x + |
|
|
. |
Из |
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
определения параболы следует равенство:
|
p 2 |
|
2 |
|
p |
|
|
x − |
|
|
+ y |
|
= x + |
2 |
. |
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
Возводя обе части этого равенства в квадрат, получим следующее уравнение
y2 = 2 px . |
(7) |
Доказали, что точки параболы удовлетворяют уравнению (7). Как обычно, докажем обратное: точка M , координаты которой удовлетворяют уравнению (7), принадлежит параболе. В самом деле, подставим выражение (7) в формулу расстояния FM , получаем:
FM = |
|
p |
2 |
2 |
= |
x |
2 |
− px + |
p2 |
+ 2 px = |
|
p 2 |
= |
x + |
p |
x − |
|
+ y |
|
|
4 |
x + |
|
2 |
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Следовательно, FM = ρ(M , d) , т.е M (x, y) γ . Уравнение (7)
называется каноническим уравнением параболы.
Из уравнения (7) следуют следующие свойства параболы. Все точки параболы принадлежат полуплоскости, определяемой неравенством x ≥ 0 . Так как переменная y входит в уравнение (7) во второй степени, то из того, что M (x0 , y0 ) γ следует, что
M (x0 , − y0 ) γ . Следовательно, парабола симметрична относительно
оси OF . Точка O пересечения этой оси с параболой называется
вершиной параболы.
По определению считают, что эксцентриситет параболы ε =1.
4. Пара пересекающихся прямых.
Рассмотрим линию второго порядка, заданную уравнением
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
− |
y2 |
= 0, |
(8) |
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
b2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где a > 0,b > 0 . Уравнение |
(8) |
равносильно |
совокупности: |
||||||||
y − |
b |
x = 0 , |
y + |
b |
x = 0 . Значит, |
|
кривая, заданная |
уравнением (8), |
|||
|
|
|
|||||||||
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
распадается на пару пересекающихся прямых (рис. 4). Эти прямые проходят через начало координат. Оси координат являются осями симметрии пары прямых, а начало координат – их центром симметрии.
|
y |
|
|
|
y |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– a |
|
a |
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– b |
|
|
|
|
– a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4 |
|
|
|
Рис. 5 |
5. Пара параллельных прямых. |
|
|||
Рассмотрим линию второго порядка, заданную уравнением |
|
|||
|
|
y2 − a2 |
= 0, |
(9) |
где a > 0. |
Уравнение (9) |
равносильно совокупности: y − a = 0 , |
||
y + a = 0 . |
Следовательно, |
кривая, |
заданная уравнением |
(9), |
распадается на пару параллельных прямых (рис. 5). Эти прямые отстоят на одинаковом расстоянии от оси ox , следовательно, ось ox является их осью симметрии.
6. Пара совпавших прямых.
Рассмотрим линию второго порядка, заданную уравнением
y2 = 0 . (10)
Уравнение (10) распадается на пару совпавших прямых y = 0 .
7. Мнимый эллипс.
Кривая второго порядка, которая задается уравнением вида
x2 |
+ |
y2 |
= −1, |
(11) |
|
a2 |
b2 |
||||
|
|
|
где a > 0,b > 0 , не имеет ни одной вещественной точки и называется
мнимым эллипсом. Этому уравнению удовлетворяют лишь точки с комплексными координатами.