Лабораторная работа № 17

Исследование затухающих электрических колебаний в колебательном контуре

Приборы и принадлежности:блок колебательного контура, осциллограф, генератор импуль-сов, магазин сопротивлений, набор конденсаторов и катушек индуктивности.

Цель работы:1.Изучение зависимости периода собственных колебаний от величинLиC.

2. Определение добротности и логарифмического декремента затухания.

3. Исследование влияния Rна затухание колебаний и добротность контура

Краткая теория

Замкнутая цепь, состоящая из емкостиC, индуктивностиLи активного сопротивленияR, образует колебательный контур(рис.1). сопротивлениеRв большинстве случаев распределено между витками катушки индуктивности, между контактами, в соединительных проводах, а иногда и в конденсаторах. При относительно невысоких частотахR,LиCможно считать сосредоточенными в определенных участках цепи. Такие колебательные контуры называются колебательными системами с сосредоточенными постоянными.

Данная работа посвящена исследованию различных колебательных процессов и измерению основных параметров колебательного контура.

Рассмотрим контур, состоящий из последовательно соединенных R,LиC. Пусть в начальный момент конденсатор заряжен до разности потенциаловU, а ток в контуре равен нулю. В этот момент вся энергия колебательного контура сосредоточена в конденсаторе, который начинает разряжаться, через катушку и активное сопротивление потечет ток. Электрическая энергия конденсатора начнет превращаться в магнитную энергию катушки индуктивности. Этот процесс закончится, когда заряд конденсатора обратится в нуль, а ток в контуре достигнет максимума. Начиная с этого момента ток, не меняя направления, начинает убывать. Однако он не сразу упадет до нуля, т.к. этому препятствует ЭДС самоиндукции. Ток будет перезаряжать конденсатор и вновь возникшее электрическое поле будет ослаблять ток. В конце концов ток обратится в нуль, а заряд (напряжение) на конденсаторе достигнет некоторого максимального значения, но по абсолютной величине меньшего, чем в исходном состоянии, т.к. часть запасенной конденсатором энергии выделится в виде джоулева тепла на сопротивленииR. Конденсатор снова начнет разряжаться и в контуре потечет ток, но уже в противоположном направлении: возникнут затухающие колебания тока, напряжения и заряда конденсатора.

Затухающие колебания напряжения на конденсаторе и тока в контуре сопровождаются процессами превращения энергии электрического поля в энергию магнитного поля и обратно. Таким образом в контуре возникнут и затухающие электромагнитные колебания, которые также условно называют просто электрическими. Электрические колебания, происходящие в колебательном контуре без воздействия внешних ЭДС, называют свободными или собственными электрическими колебаниями.

Однако в зависимости от величины R,LиCразряд конденсатора в контуре может носить различный характер, который можно исследовать аналитически.

Уравнение колебательного контура получим, исходя из того, что сумма падений напряжений на индуктивности, активном сопротивлении и емкости в любой момент времени равняется нулю(2-й закон Кирхгофа).

L+iR+ = 0. (1)

Учитывая, что i=иq=CU, преобразуем соотношение (1):

(2)

Вводя обозначение (коэффициент затухания) и(циклическая частота собственных колебаний контура), уравнение (2) примет вид:

. (3)

Решение этого однородного дифференциального уравнения второго порядка зависит от соотношения постоянных коэффициентов и.

СЛУЧАЙ 1: При условии, что(затухание в контуре мало), решение уравнения (3) может быть записано в форме:

(4)

где- частота затухающих колебаний, - амплитуда затухающих колебаний, - начальное напряжение на конденсаторе (приt=0).

В контуре возникнут затухающие колебания, причем амплитуда колеба-ний изменятся по экспонен-циальному закону (рис. 2).

Для характеристики колебаний вводят логарифмический декремент затухания – натуральный логарифм отношения двух амплитуд(в общем случае напряжения, заряда, тока), отстоящих друг от друга по времени на один период, например:

(5)

где - период затухающих колебаний.

Можно показать, что , где- число полных колебаний, совершаемых за время, в течение которого амплитуда уменьшается вeраз.

Колебательный контур часто удобно охарактеризовать его добротностью, которая определяется как величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания:

. (6)

если затухание очень мало(), можно считать, что. Тогда:

, где- характеристическое или волновое сопротивление контура.

Можно показать, что

, (7)

где W– энергия, запасенная в контуре, - энергия, рассеиваемая в контуре за один цикл колебания.

Отсюда видно, что добротность контура характеризует его способность сохранять запасенную энергию.

Частота , периодT, логарифмический декремент затухания, добротностьявляются характеристическими параметрами контура, они полностью определяются только значениямиR,Lи С.

CЛУЧАЙ 2:При(“потери” энергии на активном сопротивлении велики) в контуре происходит апериодический разряд конденсатора, свободные колебания не возникают (рис. 3,4).

Видно, что хотя вид графика апериодического процесса зависит от начальных условий, но характерным является то, чтоUасимптотически приближается к нулю приt.

Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим. Значение критического сопротивления

Rопределяется из условия: , т.е.:

. (9)