Варіаційна задача будівельної механіки

Дослідження екстремуму функціонала ( виразу потенційної енергії балки) за методом Рітца

Послідовність виконання роботи:

1. Записати вираз потенційної енергії роботи, який є виразом

функціонала, тобто, функція від функції (інтеграл від диференціала).

Суть варіаційних методів розв’язування диференційних рівнянь

полягає в тому, що функція, яка задовольняє диференційне рівняння

при заданих граничних умовах , замінюється наближеним

аналітичним виразом (координатною функцією). Цей вираз

підбирається так, щоб він найкраще апроксимував дану функцію,

тобто, щоб відхилення від істинного значення було найменшим.

2. Вибір координатної функції для балки з заданими граничними

умовами. Практичне застосування варіаційних методів показує, що

найзручнішою формою координатної функції є подання функції у

вигляді ряду.

3. Координатну функцію та її похідні підставляють у функціонал.

Інтегрування координатних функцій та їх похідних у виразі

потенційної енергії системи дає можливість отримати аналітичну

залежність виразу потенційної енергії роботи системи від ступенів

вільності П = f(а₁, а₂... а_n). Ступені вільності системи – це число

незалежних геометричних параметрів, які повністю визначають

положення всіх її точок. Реальна пружна система має нескінченне

число ступенів вільності. Для числового розв’язування задачі

деформований стан слід охарактеризувати переміщеннями

скінченного числа точок, тобто число ступенів вільності вважається

скінченним.

4. Для знаходження екстремуму отриманого виразу функціонала

обраховуються похідні по всіх ступенях вільності а₁, а₂... а_n та

прирівнюються до нуля.

5. З отриманої системи алгебричних рівнянь визначаються

значення ступенів вільності а₁, а₂... а_n.

6. Записується рівняння лінії прогинів стержня.

Таблиця 5 - Вихідні дані до РГР № 5

Розрахунково-графічна робота № 6

Розрахунок статично невизначеної рами за методом сил

Алгоритм розрахунку:

1. Вибрати основну систему методу сил та записати канонічні рівняння методу сил.

1. Побудувати епюри внутрішніх сил () в основній системі.

2. Визначити коефіцієнти канонічних рівнянь.

3. Розв'язати систему лінійних алгебричних рівнянь.

4. Побудувати кінцеві епюри внутрішніх сил ()в заданій

статично невизначеній рамі.

5. Провести деформаційну перевірку правильності побудови кінцевих

епюр ().

Таблиця 6 - Вихідні дані до РГР № 6

№	Розміри			Навантаження
	L,м	h,м		P,кН	q,кН/м	W,кН	,кН/м
1	9	8	1,5	3	0,7			5
2	16	14	1,7			2	0,8	10
3	10	8	1,9	5	1,2			15
4	15	13	2,1			4	1	20
5	11	9	2,2	4	0,8			5
6	14	12	2,4			3	1	10
7	12	10	2,6	8	1			15
8	13	11	2,8			4	0,7	20
9	11	9	3,0	5	1,1			5
10	10	8	2,9			3	0,8	10
11	9	7	2,7	7	0,9			15
12	15	12	1,4			3,5	0,6	20
13	14	12	1,6	6	0,6			5
14	10	8	1,8			4	1,4	10
15	13	11	2,0	7	0,7			15
16	11	9	2,2			5	0,6	20
17	9	8	2,4	4,5	0,5			5
18	10	9	2,7			3,5	1,2	10
19	14	12	3,0	6,5	1,2			15
20	12	10	2,1			6	1,2	20

Рисунок 7 – Розрахункові схеми до РГР № 6. Розрахунок статично невизначеної рами за методом сил

Рисунок 8 – Розрахункові схеми до РГР № 6. Розрахунок статично невизначеної рами за методом сил

Розрахунково-графічна робота № 7

Розрахунок нерозрізної балки на постійне та тимчасове навантаження

Алгоритм дій:

1. Вибрати основну систему методу сил та записати рівняння 3-х моментів при розрахунку на постійне навантаження від власної ваги.

2. Побудувати епюри в основній системі та визначити коефіцієнти рівнянь 3-х моментів. Розв’язати СЛАР і побудувати кінцеві епюриМ_р та Q_p в нерозрізній балці.

3. Провести деформаційну (кінематичну) перевірку отриманих епюр М_р .

4. Провести розрахунок нерозрізної балки з тимчасовим навантаженням за методом фокусів.

5. Побудувати лінії впливу в нерозрізній балці для реакцій, опорних моментів, пролітних моментів та поперечних сил.

Таблиця 7 - Вихідні дані до РГР № 7

№	L1,м	L2,м	L3,м	L4,м	Lk,м	Навантаження
						постійне	тимчасове
						q,кН/м	P,кН	q,кН/м
1	4	6	8	12	2	0,5	3	0,6
2	6	8	12	4	2	0,6	4	0,8
3	8	12	4	6	2	0,7	5	1,0
4	12	4	6	8	2	0,8	6	1,2
5	12	8	6	4	2	0,9	7	1,4
6	5	7,5	10	15	2,5	1,0	8	1,6
7	7,5	10	15	5	2,5	1,1	9	1,8
8	10	15	5	7,5	2,5	1,2	10	2,0
9	15	5	7,5	10	2,5	0,5	11	0,7
10	15	10	7,5	5	2,5	0,6	12	0,9
11	6	9	12	18	3	0,7	3	1,0
12	9	12	18	6	3	0,8	4	1,1
13	12	18	6	9	3	0,9	5	1,3
14	18	6	9	12	3	1,0	6	1,5
15	18	12	9	6	3	1,1	7	1,7
16	8	12	16	24	4	1,2	8	1,9
17	12	16	24	8	4	0,5	9	0,8
18	16	24	8	12	4	0,6	10	1,0
19	24	8	12	16	4	0,7	11	1,2
20	24	16	12	8	4	0,8	12	1,5

Рисунок 9 – Розрахункові схеми до РГР № 7. Розрахунок нерозрізної балки на постійне та тимчасове навантаження

Рисунок 10 – Розрахункові схеми до РГР № 7. Розрахунок нерозрізної балки на постійне та тимчасове навантаження

Розрахунково-графічна робота № 8

Розрахунок статично невизначеної рами за методом переміщень

Послідовність дій:

1. Визначити ступінь кінематичної невизначеності рами, вибрати основну систему методу переміщень, записати канонічні рівняння методу переміщень.

2. Побудувати одиничні епюри в основній системі методу

переміщень.

3. Визначити коефіцієнти канонічних рівнянь, розв'язати СЛАР.

4. Побудувати кінцеві епюри М_р, Q_р, N_р для заданої рами.

5. Перевірити вірності побудови кінцевих епюр.

Таблиця 8 - Вихідні дані до РГР № 8

	Розміри			Навантаження
	L, м	h, м		РІ, кН	Р2,кН	q1 кН\м	q2 кН\м
1	6,0	6,0	1,5	4,0		1,0
2	8,0	6,0	1,7		4,0		1,0
3	11,0	9,0	1,9	6,0		1,0
4	10,0	8,0	2,0		6,0		1,0
5	6,0	4,0	1,3	3,0		1,0
6	8,0	8,0	1,8		3,0		1,0
7	10,0	6,0	1,4	5,0		1,5
8	8,0	6,0	2,0		5,0		1,5
9	10,0	7,0	1,3	8,0		1,2
10	14,0	8,0	1,8		8,0		1,2
11	14,0	10,0	1,4	9,0		1,6
12	12,0	10,0	2,0		9,0		1,6
13	14,0	7,0	1,5	6,0		1,2
14	16,0	10,0	1,6		6,0		1,2
15	8,0	6,0	1,2	7,0		1,5
16	11,0	7,0	1,8		7,0		1,5
17	9,0	7,0	1,9	10,0		1,0
18	15,0	10,0	2,0		10,0		1,0
19	11,0	8,0	1,5	12,0		2,0
20	9,0	7,0	1,2		12,0		2,0

Рисунок 11 – Розрахункові схеми до РГР № 8. Розрахунок статично невизначеної рами за методом переміщень

Рисунок 12 – Розрахункові схеми до РГР № 8. Розрахунок статично невизначеної рами за методом переміщень