З урахуванням (1.1.12) і (1.1.13) одержимо

. (1.1.15)

А оскільки не всі електрони формують центральний максимум, тому

, (1.1.16)

де x і p_x ― похибки у визначені координати й імпульсу частинки; – стала Планка поділена на 2.

Співвідношення (1.1.16) можна узагальнити для всіх напрямків, тому:

,

, (1.1.17)

.

Це і є співвідношення невизначеностей Гейзенберга.

Оскільки точні значення координати й імпульсу для мікрочастинки не існують, то про траєкторію частинки в мікросвіті можна говорити лише з певним наближенням. З цієї точки зору електрони в атомі не мають точних значень електронних орбіт.

У квантовій теорії використовується також співвідношення невизначеностей для енергії Е і часу t, тобто невизначеності цих параметрів задовольняють умову:

, (1.1.18)

де E ― похибка у визначенні енергії частинки; t ― похибка у визна-ченні часу, коли частинка має енергію E.

Cпіввідношення невизначеностей неодноразово були предметом філософських дискусій. Однак вони не виражають собою певних обмежень пізнання мікросвіту, а лише указують межі використання у таких випадках понять класичної механіки.

Ще раз підкреслимо, що співвідношення невизначеностей не пов'язано з недосконалістю вимірювальної техніки, а є об'єктивною властивістю матерії: таких станів мікрочастинок, у яких і координата, і імпульс частинки мають визначене значення, просто не існує в природі.

Співвідношення невизначеностей допомагають зрозуміти багато особливостей поведінки мікрочастинок і дозволяють швидко й просто оцінити параметри їх стану. Для прикладу розглянемо застосування співвідношень невизначеностей до опису руху електрона в атомі водню.

Будемо вважати, що електрон локалізований в області простору, розміри якого дорівнюють розмірам атома. Тоді невизначеність координати електрона можна прийняти рівною радіусу атома: ∆ x = r. Звідси, відповідно до рівнянь (1.1.17), невизначеність значення імпульсу електрона ∆p =h / (2r). Очевидно, що значення самого імпульсу не може бути меншим його невизначеності, тому мінімально можливе значення імпульсу електрона дорівнює

(1.1.19)

Рівняння (1.1.19) можна записати у вигляді p ∆ r = h/2π , або mvr = ћ. Цей результат – не що інше, як умова стаціонарної орбіти електрона в атомі водню відповідно до постулатів Н. Бора. Але, якщо Н. Бор увів свої постулати довільно, і тільки для атома водню, то ми одержали цю умову із загального універсального принципу – співвідношення невизначеностей.

Оцінимо енергію електрона в атомі водню. Енергія електрона складається з кінетичної енергії E_k = p²/2m і потенціальної енергії, що на відстані r від ядра дорівнює E_p= -e²/4₀r. Тоді повна енергія, з урахуванням рівняння (1.1.19), дорівнює

(1.1.20)

Залежність E(r) показана на графіку.

Як бачимо, залежність має мінімум при r = r₀. Величину r₀ легко знайти, узявши похідну від енергії E (1.1.20) по координаті r і прирів-нявши її до нуля:

Звідси

(1.1.21)

Ми одержали формулу й значення для радіуса першої “орбіти” електрона в атомі водню. Підставляючи значення r₀ у рівняння (1.1.20), знаходимо вираз для мінімальної енергії електрона в атомі водню:

,

(1.1.22)

що збігається зі значенням енергії електрона на першій “орбіті” атома водню за теорією Бора. Отримані результати мають глибокий фізичний зміст. Відповідно до класичних уявлень, електрон буде мати мінімальну енергію, коли він упаде на ядро. Квантова механіка показує, що енергія електрона мінімальна, якщо він не “лежить на ядрі”, а рухається в межах сфери з радіусом r₀ , при цьому його точне положення всередині даної сфери принципово не може бути визначено. При r < r₀ енергія електрона зростає.

Мінімальна енергія E_min, знайдена за допомогою співвідношення невизначеностей, збігається з мінімальним значенням енергії електрона в атомі водню за теорією Н. Бора. Однак ще раз підкреслимо, що наші результати отримані із загального, універсального принципу невизначеностей як окремий випадок, стосовно до атома водню, тоді як Н.Бор увів свої постулати винятково тільки для атома водню.

Звичайно, розглянута задача розв’язана приблизно, проте навіть таке наближене розв’язування пояснює, чому електрон не падає на ядро, і дозволяє правильно оцінити розміри атома і мінімальну енергію електрона.

Зупинимося на змісті, вкладеному в поняття “орбіта електрона” в атомі. На відміну від теорії Бора, у квантовій механіці не існує визначених орбіт електрона в атомі. Існування визначених орбіт, тобто точно відомих відстаней електрона від ядра, суперечить співвідношенню невизначеностей. Під терміном “орбіта електрона” у квантовій механіці розуміється відстань від ядра, на якій імовірність знайти електрон максимальна.

Лекція 2. Основні поняття квантової механіки

1.2.1. Поняття стану частинки у квантовій механіці. Хвильова функція і її статистичний зміст. Стандартні умови.

1.2.2. Загальне (часове) рівняння Шредінгера.

1.2.3. Рівняння Шредінгера для стаціонарних станів.

1.2.1. Подання стану частинки у квантовій механіці. Хвильова функція і її статистичний зміст. Стандартні умови

У класичній механіці при одновимірному русі вздовж осі х стан частинки в кожний момент часу t задається двома величинами: координатою частинки x(t) і її швидкістю або імпульсом частинки. Таке визначення стану частинки є головним вихідним моментом побудови класичної механіки.

В фізиці мікрочастинок через наявність у них хвильових властивостей, класичне визначення стану частинки втрачає будь-який зміст, а з ним і поняття сили, яка за визначенням є функцією класичного стану.

Установити фізичний зміст квантового стану допомогло відкриття корпускулярно-хвильового дуалізму матерії. У квантовій фізиці стан частинки задається хвильовою функцією, яка є комплексною величиною і визначається у всіх точках простору і в будь-який момент часу.

Аналогічно класичним хвилям рух елементарних частинок характеризується хвилями де Бройля. Рівняння хвилі де Бройля елементарної частини називається хвильовою функцією і позначається . Хвильова функція не має жодного відношення до механічних хвиль. Класичні хвилі поширюються у пружних середовищах, а елементарні частинки можуть рухатись також і у вакуумі. Слід мати на увазі, що хвилі де Бройля властиві будь-яким частинкам, як зарядженим так і нейтральним, в той час як електромагнетні хвилі випромінюються лише зарядженими частинками при їх прискореному русі.

Для класичних хвиль характерні найбільш суттєві властивості, такі як енергія, імпульс, інтенсивність, яка визначається квадратом амплітуди хвилі.

Поняття фізичного змісту хвильової функції прийшло після того, як вияснилось, що в інтерференції хвиль де Бройля проявляються властивості окремих частинок, а не їх системи. Це підтверджується незалежністю інтерференції від інтенсивності частинок в пучку. Інтерференція спостерігається навіть в тих випадках, коли за час польоту від джерела до детектора пролітає лише одна частинка. Цей факт можна тлумачити так лише у випадках, коли рух будь-якої мікрочастинки підпорядковується статистичним закономірностям.

За аналогією з класичними хвилями знайдемо фізичний зміст квадрата модуля хвильової функції

(1.2.1)

де ― функція, комплексно спряжена до.

В досліді Девіссона і Джермера, схема якого показана на рис. 1.1 встановлено, що струм, який реєструється гальванометром, пропорційний квадрату модуля хвильової функції

. (1.2.2)

З іншого боку величина цього струму пропорційна також об’єму детектора dV

(1.2.3)

З урахуванням (1.2.2) і (1.2.3) маємо:

. (1.2.4)

Якщо імовірність попадання частинок в детектор дорівнює dp, то величина струму гальванометра буде також пропорційною величині цієї імовірності

I = k₂dp. (1.2.5)

Прирівнявши рівності (1.2.4) і (1.2.5), одержимо:

. (1.2.6)

Завжди можна вибрати значення хвильової функції таке, щоб k₁=k₂.

Тоді (1.2.6) набуде вигляду

, (1.2.7)

звідки

. (1.2.8)

Квадрат модуля хвильової функції (1.2.8) визначає густину імовірності виявити частинку в точці з радіусом-вектором в момент часуt. Квантова механіка на відміну від класичної дає імовірнісне пояснення квантового стану, а хвильова функція має статичний зміст.

При відомій хвильовій функції рівність (1.2.8) дозволяє визначити імовірність виявити частинку в об’ємі dV

. (1.2.9)

Якщо частинка знаходиться у довільній точці простору, то ця подія є достовірною, а імовірність такої події дорівнює одиниці, тобто

dV =1. (1.2.10)

Умова (1.2.10) називається умовою нормування.

Як бачимо, квантова механіка має статистичний характер; у ній не ставиться питання про знаходження положення частинки або її траєкторії в просторі, оскільки через хвильові властивості мікрочастинок такі питання взагалі втрачають зміст. У квантовій механіці за допомогою хвильової функції визначається лише імовірність виявлення мікрочастинки в різних точках простору. Зі сказаного випливає, що хвильова функціяповинна задовольняти певні обмежувальні умови, які ще називаютьсястандартними умовами: вона має бути скінченою, однозначною і неперервною, тому що імовірність не може бути більшою за 1; бути неоднозначною і змінюватись стрибкоподібно.