Розділ 2. Елементи статистики

Лекція 1. Основні статистичні поняття

2.1.1. Статистичний і термодинамічний методи вивчення макро-скопічних систем.

2.1.2. Імовірність. Середні значення фізичних величин. Функція розподілу.

2.1.3. Фазовий простір. Комірка фазового простору. Число станів у просторі імпульсів. Густина станів для вільної частинки.

2.1.1. Статистичний і термодинамічний методи вивчення макро-скопічних систем

Молекулярна фізика вивчає явища, які є результатом сукупної дії величезної кількості частинок. Явища, в яких бере участь велика кількість частинок, підпорядковуються статистичним закономірностям. Статистика використовує середні значення фізичних величин, які визначають поведінку і властивості кожної окремої молекули. Введення середніх значень фізичних величин обумовлене не лише тим, що неможливо стежити за рухом кожної окремої молекули, а й тим, що сукупність великої кількості молекул має нові властивості, які не властиві кожній окремій молекулі.

Вивчення властивостей макроскопічних систем в стані термодинамічної рівноваги відноситься до термодинамічних методів. У цьому випадку мікропроцеси в великих молекулярних системах не розглядаються. Термодинаміка опирається на два начала – фундаментальні закони, які одержані шляхом узагальнення великої кількості експериментальних фактів. Термодинаміка використовує такі поняття як тиск, об’єм, температура, кількість теплоти, внутрішня енергія та інші.

Обидва методи статистичний і термодинамічний мають право на існування і доповнюють один одного.

Існує певний якісний і кількісний зв’язок між властивостями сукупності молекул і середніми значеннями їх фізичних властивостей, які характеризують поведінку та властивості кожної окремої молекули. Так температура газу пов’язана з середніми значеннями кінетичної енергії молекул. Для встановлення такого зв’язку немає потреби точно знати положення або швидкість кожної окремої молекули, а достатньо знати їх найбільш імовірні значення.

Категорії імовірності відіграють значну роль і тісно пов’язані з пізнанням внутрішніх властивостей і розкриттям внутрішньої структури молекулярних об’єктів. Вивчення властивостей та аналіз фізичних систем неодмінно пов’язано з введенням імовірностей і застосуванням імовірнісних методів. Тому статичні закономірності є об’єктивною необхідністю вивчення різноманітних молекулярних систем.

2.1.2. Імовірність. Середні значення фізичних величин. Функція розподілу

Виникнення тих чи інших випадкових подій характеризується їх імовірністю. Імовірність W_iтого, що при вимірюванні фізична величинах має певні значеннях_і, визначається границею відношення числа виникнення певних значеньх_ідо загального числаNвсіх вимірювань, при умові, що число таких вимірювань зростає до нескінченності

, (2.1.1)

де N_i– число виникнення певних значеньх_і;N– загальне число всіх вимірювань, серед яких може з’явитись певне, очікуване значення.

Знаючи імовірності виникнення різних результатів вимірювання, можна знайти середнє значення даної фізичної величини. Якщо фізична величина хможе мати набір певних значеньх₁, х₂, х₃, ... , х_і(дискретний спектр), то

, (2.1.2)

Поділимо систему значень величини хна інтервали однакової шириниа, деа– порівняно мала величина. В цьому випадку будуть одержані інтервали значень величиних, як 0<х<а,а<х<2а, 2а<х<3а, тощо. Нехай імовірність того, що результати вимірювання деякої фізичної величинихвиявляться в інтервалі 0<х<адорівнює ∆W₁; в інтерваліа<х<2а– ∆W₂; в інтервалі 2а<х<3а– ∆W₃, тощо. Побудуємо гістограму одержаних імовірностей ∆W₁, ∆W₂, ∆W₃, ... , ∆W_nвздовж осі значеньх(рис. 2.1).

Площа заштрихованої частини на рис. 2.1авідповідає імовірності ∆W_хпопадання числа вимірювань величинихв інтервал відхдох+а. Вся площа гістограми відповідає одиниці. Чим менша ширинаа, тим точніше визначається розподіл імовірностей вимірювання величиних. У випадку, колиа→0, ступінчата лінія гістограми перетворюється на гладеньку криву, яку називають функцією розподілу імовірностей і позначаютьf(x)(рис. 2.1 б). В цьому випадку заштрихована смужка відповідає імовірності того, що результати вимірювань виявляться в межах відхдох+dx, тобто

, (2.1.3)

де f(x)– функція розподілу імовірностей вимірювання деякої фізичної величинихв межах значень цієї величини, тобто

. (2.1.4)

а)

б)

Рис. 2.1 а, б

Площа, обмежена функцією розподілу f(x), подібно до площі гісто-грами, також нормована на одиницю, тобто

. (2.1.5)

Слід мати на увазі, що величиною хможуть бути будь-які фізичні величини, наприклад, швидкості газових молекул, значення кінетичних енергій молекул, імпульсів молекул, тощо. Тому середнє значення довільної величинихможна отримати, якщо відома її функція розподілу, тобто

. (2.1.6)

Аналогічно знаходять середнє значення довільної функціональної залежності φ(х), якщо відома функція її розподілу f(x), тобто

(2.1.7)