Задачі з фізики для ІнМТ (Ат)

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ВІННИЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Кафедра загальної фізики та фотоніки

КОНТРОЛЬНА РОБОТА З ФІЗИКИ

Виконав:

Перевірив:

Вінниця-2014

Задача 1.

Обчислити індукцію магнітного поля на осі соленоїда, якщо кількість витків на одиницю його довжини , а сила струму у витках .

Дано:

Розв'язування.

Соленоїдом називають сукупність спірально намотаних на циліндричну поверхню витків ізольованого провідника, по якому проходить електричний струм. Як правило, вважають, що провідник намотаний в один шар щільно, рівномірно і кількість витків обмотки на одиницю довжини циліндричної поверхні є величина сталою і дорівнює . Нехтуючи зазором між витками при щільній упаковці їх, можна вважати, що , де – загальна кількість витків соленоїда, а – його довжина. У такому разі соленоїд можна вважати сукупністю кілець зі струмом і тоді для обчислення індукції магнітного поля в довільній точці його осі можна скористатися формулою – індукція магнітного поля на осі колового струму.

Якщо довжина соленоїда більше ніж у 10 разів перевищує діаметр його витків , то такий соленоїд називають нормальним (нехтують крайовими ефектами). Особливістю такого соленоїда є те, що всередині його вздовж осі магнітне поле має однаковий напрям і однакове в усіх точках значення, тобто є однорідним.

Розрахуємо індукцію магнітного поля, наприклад у точці О осі нормального соленоїда (див. рисунок). Для цього виділимо спочатку вузьку (плоску) смугу витків соленоїда завтовшки , розміщену між проведеними з точки О радіусами , які утворюють з віссю соленоїда кути і . Довжина цієї смуги . Кількість витків , що укладаються на виділеній смузі,

.

Елементарна індукція магнітного поля , створювана в точці О витками провідника зі струмом І, за формулою буде такою:

.

Оскільки , а , то

.

Щоб знайти результуюче значення індукції магнітного поля в точці О, проінтегруємо останню формулу у межах кутів і :

.

Для нескінченно довгого соленоїда і . Тоді

.

Для довільної основи соленоїда (наприклад, у центрі верхньої основи і )

,

Тобто у два рази менша, ніж на осі всередині соленоїда.

Для нашої умови задачі після підстановки числових значень отримаємо:

а) в центрі соленоїда:

;

б) в центрі верхньої основи:

.

Відповідь: , .

Задача 2 .

Матеріальна точка здійснює прямолінійний рух (вздовж осі Ох), кінематичне рівняння руху якої має такий вигляд, де , , . Визначити координату точки, миттєву швидкість та прискорення для моменту часу після початку руху, де - номер варіанту.

Дано:

Розв’язування.

Координату точки знаходимо,в рівняння руху підставляємо час: .

Миттєву швидкість знаходимо, продиферинціювавши координату за часом (взяти похідну): Знак мінус вказує на те, що в заданий момент часу точка рухається в від’ємному напрямку координатної осі Ох.

Миттєве прискорення в довільний момент часу, знаходимо, взявши другу похідну від координати за часом або першу похідну від швидкості за часом: . Знак мінус вказує на те, що в заданий момент часу прискорення направлено в від’ємному напрямку координатної осі Ох.

Відповідь: 4м, -4м/с, -6 м/с².

Задача 3.

Матеріальна точка здійснює обертальний рух, кінематичне рівняння руху якої має такий вигляд , де , , . Визначити кутову координату точки, миттєву кутову швидкість та кутове прискорення для моменту часу після початку руху, де - номер варіанту.

Дано:

Розв’язування.

Кутову координату точки знаходимо, в рівняння руху підставляємо час : .

Миттєву кутову швидкість знаходимо, продиферинціювавши кутову координату за часом (взяти похідну):

Миттєве кутове прискорення в довільний момент часу, знаходимо, взявши другу похідну від кутової координати за часом або першу похідну від кутової швидкості за часом: .

Відповідь: 4рад, -4рад/с, -6 рад/с².

Задача 4.

Тіло обертається навколо нерухомої осі. Залежність кута повороту тіла від часу задана рівнянням , де , . Знайти модуль повного прискорення точки , розміщеної на відстані від осі обертання, в момент часу, де - номер варіанту.

Дано:

Розв’язування.

Повне прискорення точки , яка рухається по кривій лінії, можна знайти як геометричну суму тангенціального прискорення , направленого по дотичній до траєкторії, та нормального прискорення , направленого до центра кривизни траєкторії:

(1)

Оскільки вектори взаємно перпендикулярні, то модуль повного прискорення : . (2)

Тангенціальне та нормальне прискорення точки тіла, що обертається, виражаються за формулами:

, ,

де -кутове прискорення тіла; – кутова швидкість тіла.

Замінимо у формулі (2) і на відповідні вирази. Тоді знайдемо:

. (3)

Кутову швидкість обчислюємо за першою похідною від кута повороту за часом :

.

Кутове прискорення знаходимо, взявши першу похідну від кутової швидкості за часом :

.

Кутове прискорення заданого руху є сталим, тобто не залежить від часу. Підставимо значення і та задане значення у формулу (3):

=0,1.

Відповідь: 1,65 м/с².

Задача 5.

Матеріальна точка масою рухається по колу радіусом в площині ХОУ, причому рух її заданий такими кінематичними рівняннями: ; . Визначити силу , яка діє на цю точку в момент часу , де N – номер варіанту.

Дано:

Розв’язування.

За відомими кінематичними рівняннями руху точки ,

, та її масою знайти силу, що діє на точку в будь-який момент часу.

Розв’язок цієї задачі одержуємо безпосередньо з другого закону Ньютона в диференціальній формі. Для цього знаходимо проекції сили на осі координат:

, , , за проекціями сили визначаємо модуль сили : , а також її напрямок у будь-який момент часу .

Із заданих рівнянь знаходимо проекції прискорення на осі координат:

,.

Помноживши ці рівняння на масу матеріальної точки, дістанемо проекції сили на ці осі:

, .

Модуль шуканої сили визначимо за формулою:

.

Після підстановки числових значень отримаємо:

.

Визначимо напрямок сили . Для цього знайдемо напрямні косинуси:

;

.

Одночасно напрямні косинуси радіуса-вектора можна виразити так:

;

.

Отже, ці вектори спрямовані по одній прямій, але в різні боки. Тому силу визначають за такою формулою: . З цього рівняння видно, що сила притягувальна, оскільки її напрямок протилежний до напрямку радіуса-вектора і вона пропорційна масі точки та її відстані до центра притягання, який знаходиться в центрі кола.

Відповідь: 2366,3 Н.

Задача 6.

Два джерела струму з електрорушійними силами та під’єднані в коло постійного струму, електрична схема якого показана на рис.1. Внутрішній опір кожного джерела струму , . Опір зовнішнього навантаження . Знайти струми на кожній вітці електричного кола.

Дано:

Розв'язування.

Відповідно до першого правила Кірхгофа алгебраїчна сума сили струмів в електричному вузлі дорівнює нулю. Для цього слід врахувати правило знаків: струмам які входять до електричного вузла надають знак «плюс», а струмам, які виходять з електричного вузла надають знак «мінус».

Математично це записується так:

.

Для нашої електричної схеми, зокрема для вузла А маємо:

. (1)

Відповідно до другого правила Кірхгофа алгебраїчна сума електрорушійних сил Е в замкнутому електричному контурі дорівнює сумі спадів напруг на кожному елементі контура, враховуючи спад напруги на джерелі. Для цього теж враховують правило знаків: якщо струм за напрямком співпадає з вибраним напрямком обходу контура (за годинниковою стрілкою), то відповідний спад напруги (добуток струму на опір ) входить в рівняння з знаком «плюс», в іншому випадку спад напруги входить в рівняння з знаком «мінус». Якщо електрорушійна сила Е при обході контура змінює свій знак всередині джерела з «мінуса» на «плюс», то її приписують знак «плюс», в іншому випадку її приписують знак «мінус».

За другим правилом Кірхгофа отримаємо відповідно для контурів: , , такі рівняння:

, (2)

, (3)

. (4)

Підставимо в рівняння (2)-(4) значення відповідних опорів і електрорушійних сил, тоді отримаємо систему лінійних рівнянь:

,

,

,

.

Необхідно розв’язати систему чотирьох лінійних рівнянь з чотирма невідомими. Для цього можна використати різні методи, зокрема метод Гаусса, метод детермінантів. Для цього перепишемо рівняння в наступному вигляді:

,

,

,

.

Значення відповідних струмів знайдемо із таких виразів:

, , ,,

де - визначник системи рівнянь; , , , - визначники, отримані заміною відповідних стовпців визначника стовпцями, складеними із вільних членів чотирьох рівнянь системи. Знайдемо:

,

,

,

.

Задача 7.

Визначити електричну ємність С плоского конденсатора з двома шарами діелектриків: фарфору товщиною і ебоніту товщиною , якщо площа пластин рівна .

Дано:

Розв’язування.

Ємність конденсатора, за означенням, , де – заряд на пластинах конденсатора; – різниця потенціалів пластин. Замінимо в цій рівності загальну різницю потенціалів конденсатора сумою напруг на шарах діелектриків , отримаємо

. (1)

Прийнявши до уваги, , і , рівність (1) можна переписати у вигляді

, (2)

де – поверхнева густина електричного заряду на пластинах; і – напруженості поля в першому і в другому шарі діелектрика відповідно; – зміщення поля в діелектрику.

Помноживши, чисельник і знаменник рівності (2) на і враховуючи, що , остаточно отримаємо

.

Зробивши обчислення в останній формулі, знайдемо

.

Відповідь: 98 пФ.

Задача 8.

Обчислити індукцію магнітного поля лінійного колового провідника радіуса , по якому проходить струм силою у точці , віддаленій уздовж осі Oz від центра кола О на відстань (рисунок).

Дано:

0,5 м

Розв'язування.

Щоб обчислити індукцію магнітного поля в точці O’ на відстані від лінійного колового провідника зі струмом, поділимо його на нескінченно малі елементи і обчислимо спочатку за законом Біо-Савара-Лапласа індукцію , створювану елементом :

, або (1)

, (2)

де . Вектор перпендикулярний до площини, в якій лежать вектори та , і направлений до осі ОО’ під кутом . Тому проекція на вісь Oz , а на вісь Oy - .

Визначивни відповідні проекції елементарних індукцій від інших елементів струму , на які можна розбити увесь коловий струм, помітимо, що всі проекції на осі Ox I Oy елементарних індукцій взаємно компенсуються і результуючі значення цих проекцій дорівнюватимуть нулеві , а проекції на вісь Oz будуть направлені вздовж осі Oz в один бік. Тому їх можна додавати алгебраїчно, тобто