§4 Точкові оцінки параметрів

Озн. 1 Точковою наз. Оцінку не відомого параметра, яка визначається

одним числом.

1. Математичне сподівання

Озн. 2 Число наз. емпіричним (вибірковим) математичним

сподіванням, або середнім по вибірці.

Якщо за вибіркою побудований групований варіаційний ряд, то середнє арифметичне

де - наз. “зваженим” середнім або м.с.;

- вага;

Властивості:

1. Сума відхилення результатів спостережень від середнього арифметичного дорівнює 0: =0;

2. Якщо всі результати спостережень зменшити (збільшити) на одне і теж саме число С, то зменьш. (збільш.) теж на С;

3. Якщо всі результати спостережень збільшити в k разів, то теж збільш. в k разів;

Якщо числа великі, або їх багато для зручності переходят до умовних варіант за формулою , де С - умовний “0” який відповідає найбільшій частоті появи варіанти, k – найбільший спільний дільник, якщо ряд дискретний, якщо інтервальний:

k=h=x, , .

Приклад:

Маємо ряд розподілу. Перейти до умовних варіант.

X	85	95	105	115
n	1	2	5	2
X=U	-2	-1	0	1

X=U=(X-C)/x

x=h=10

C=105; X=(85-105)/10=-2

Тоді =()/n=(-2-2+2)/10=-2

=-0,2*10+105=103

2. Дисперсія

Озн. 3 Число наз. емпіричною (вибірковою) дисперсією.

Якщо дані груповані .

Для того, щоб оцінка була добротною, потрібно, щоб виконувались де-які умови, тобто, щоб оцінка була:

1. Незсунена М(х), тобто щоб використовуючи замість М(х) ми не робили систематичної помилки в бік підвищення або зменьшення.

2. Конзистентна: і або тобто коли і .

3. Ефективна і - min , тобто щоб обрана незсунена оцінка була менш випадкова, щоб мала найменшу дисперсію.

Перевіримо чи буде незсуненою конзистентною та ефективною оцінка для дисперсії:

конзистентна

Тая як статистична дисперсія не залежить від того, де вибрати початок координат, то можемо зсунути центр m і знайдемо математичне сподівання.

але , , таким чином

не є зсуненою і ми маємо систематичну похибку. Щоб її ліквідувати домножимо на таким чином:

Якщо n>50 цей многочлен і його можна опустити, т.ч.:

, для групованих даних:

Якщо обчислення має велике число або багато, то будують групований ряд і переходять до умовних варіант за формулою тоді .

Приклад:

В результаті випробувань отриманий статистичний матеріал, який має 150 даних. Треба знайти групований ряд розподілу і знайти перейшовши до умовних варіант:

Границі інтервалів
i
1	14,132	15,467
2	15,468	16,803
3	16,804	18,139
4	18,140	19,475
5	19,476	20,811
6	20,812	22,147
7	22,148	23,483
8	23,484	24,819
9	24,820	26,155

1. N=2+E(3,322lg(150))=2+E(7,229)=9

2. X=(25,488-14,80)/(N-1)=10,688/8=1,336

3. Xл=14,80-1,336/2=14,132

4. Xп=14,80+1,336/2=26,152

5. Xср (середини інтервалів) і частоти

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Xср	14,8	16,136	17,472	18,808	20,144	21,480	22,816	24,152	25,488
n	2	3	21	32	40	29	19	3	1
U	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4

=C+=20,144+(-0,079)1,336=20,046