C.7 Розрахунок опорних реакцій просторової конструкції

До невагомої жорсткої плити АВСD(рис.7.1-7.5) прикладені сили ,і пара сил з моментом М, що діє в площині плити . Опорами плити є : в т. А - просторовий шарнір , в т. В - циліндричний шарнір і в т. С стержень ОС.

Належність сил ,до площин вказується на рисунках за варіантами, а їх напрямок і напрямок стержня ОС визначається кутами  ,  і  . Геометричні розміри плити і положення то­чок прикладання сил вказується розмірами а , b , с, d .

Дані для розрахунків приводяться в таблиці 7. 1, де сили задані в Н, момент в Нм, кути в градусах, а розміри в санти­метрах .

Знайти модулі реакцій опор в точках А, В , С при рівновазі плити і показати на графіку їх залежність від змінного кута, що помічений в таблиці 7.1 (*), який змінюється в межах від 0° до 360°.

Таблиця 7. 1.

Варіант			М	А	b	с	d			
1	15	5	22	6	4	2	3	30	*	45
2	6	8	18	8	5	3	2	*	15	20
3	12	14	14	10	3	1	4	75	*	60
4	8	3	10	12	5	3	3	45	30	*
5	7	8	15	9	8	4	2	*	20	75
6	11	10	19	14	6	2	3	60	*	15
7	4	12	10	10	8	4	3	15	75	*
8	10	7	14	16	7	5	2	*	60	30
9	8	5	16	11	5	3	3	30	*	20
0	9	6	17	15	8	4	2	20	45	*

Рисунок 7.1

Рисунок 7.2

Рисунок 7.3

Рисунок 7.4

Рисунок 7.5

7.1 Приклад виконання завдання

Невагома плитаABCD , що зображена на рис.7.6, знаходиться в рівновазі під дією сили F₁ = 20 Н і пари сил з моментом М = 30 Н м , що діє в площині плити . Сила F₁ лежить в площині паралельній до площини yAz і діє під кутом  до осі y. Розміри плити і положення точки прикладання сили F₁ визначаються величинами : a = 6 м , b = 8 м i c = 2 м .

F₁ – в пл. yAz

Рисунок 7.6

Плита утримується опорами : в т. А - сферичним шарніром , в т. В - циліндричним шарніром і в т. С - стержнем ОС , що лежить в площині паралельній до координатної площини xAz і складає з вертикаллю кут ^

Знайти реакції опор в точках А , В і С в залежності від кута  , який змінюється від 0 ^о до 360 ^о . Побудувати графіки залежностей R_A ( ) , R_B ( ) , R_C (  ) .

Розв’язання. На рис 7.7 показуємо сили і реакції , що діють на плиту . В опорі А реакцію R_A розкладаємо на складові X_A , Y_A , Z_A , в опорі В реакцію R_B розкладаємо на X_B i Y_B , а в точці С реакція R_C направлена по стержню ОС .

Р

F₁ – в пл. yAz

исунок 7.7

Pівняння рівноваги для просторової довільної системи сил:

X _i = 0 , M(F) = 0 ,

Y _i = 0 , M(F) = 0 ,

Z _i = 0 , M(F) = 0 .

У відповідності з рис.7.7 ці рівняння мають вигляд :

X _i = X_A + X_B + R_C sin  = 0 , (7.1)

Y_i = Y_A - F₁ cos  = 0 , (7.2)

_i = Z_A + Z_B + F₁ sin  + R_C cos  = 0 , (7.3)

M_{x i} = F₁ sin  c + Z_B a + R_C cos  a = 0 , (7.4)

M_{y i} = F₁ sin  b + R_C cos  b = 0 , (7.5)

M_{z i} = M - X_B a + F₁ cos  b - R_C sin  a = 0 . (7.6)

Одержані рівняння розв’язуємо в такій послідовності: (7.2),(7.5),(7.6),

(7.1),(7.4),(7.3) .

Y_A = F₁ cos   .7)

R_C = - ( F₁ sin b ) / ( b cos  ) , (7.8)

X_B = ( M + F₁ cos b - R_C sin  a ) / a , (7.9)

X_A = - X_B - R_C sin , (7.10)

Z_B = - ( F₁ sin  c + R_C cos  a ) / a , (7.11)

Z_A = - Z_B - F₁ sin  - R_C cos  . (7.12)

Модулі реакцій R_A i R_B знайдемо за формулами

______________

R_A =√ X_A² + Y_A² + Z_A² , (7.13)

________

R_B = √X_B² + Z_B² . (7.14)

За формулами (7.7) - (7.14) складаємо програму на мові BASIC і

виконуємо розрахунки за допомогою ЕОМ . Приводимо програму з ім’ям “ С 3 “ і частину результатів значень реакцій в залежності від кута .

10 REM " C3 “

20 PI=3.14

30 F1=20

40 M=30

50 B=PI/3

60 S1=SIN(B)

70 C1=COS(B)

80 A=6

90 B=8

100 C=2

110 FOR F=0 TO 360 STEP 30

120 S2=SIN(F*PI/180)

130 C2=COS(F*PI/180)

140 YA=F1*C2

150 RC=-(F1*S2*B)/(B*C1)

160 XB=(M+F1*C2*B-RC*S1*A)/A

170 XA=-XB-RC*S1

180 ZB=-(F1*S2*C+RC*C1*A)/A

190 ZA=-ZB-F1*S2-RC*C1

200 RA=SQR(XA^2+YA^2+2A^2)

210 RB=SQR(XB^2+ZB^2)

220 PRINT ”------------------------------------------------------------------------------“

230 PRINT " KYT F="F

240 PRINT "XA="XA,"YA="YA,"ZA="ZA,"RA="RA

250 PRINT "XB="XB,"ZB="ZB,"RB="RB,"RC="RC

260 NEXT F

270 END

KYT F= 0

XA=-31.66667 YA= 20 ZA= 0 RA= 37.45368

XB= 31.66667 ZB= 0 RB= 31.66667 RC= 0

KYT F= 30

XA=-28.09755 YA= 17.32316 ZA=-6.663602 RA= 33.67444

XB= 45.38889 ZB= 6.-663601 RB= 45.87543 RC=-19. 97244

KYT F= 60

XA=-18. 34559 YA= 10,00919 ZA=-11.54347 RA= 23.87459

XB= 48.29967 ZB=11.54347 RB= 49.65994 RC=-34.59859

KYT F= 300

XA=-18.27198 YA= 9.953986 ZA= 11.56466 RA= 23.80522

XB=-11.73709 ZB=-11.56466 RB= 16.47728 RC= 34.66212

KYT F= 330

XA=-28.05499 YA= 17.29124 ZA= 6.70035 RA= 33.62981

XB= 10.66829 ZB=-6.70035 RB= 12.5979 RC- 20.082P9

KYT F= 360

XA=-31.66654 YA= 19.9999 ZA= 4.246789E-02 RA= 37.45353

XB= 31.55634 ZB=-4.246789E-02 RB= 31.55637 RC= 0.1272867

φ

Рисунок 7.8

На рис. 7.8 зображені залежності R_A (  ) , R_B ( ) , R_C (  ) , які побудовані на основі одержаних числових розрахунків .