Тема №8. Лінійне програмування. Дослідження операцій.

8.1. Задачі лінійного програмування;

8.2. Транспортна задача.

8.1 Лінійне програмування

Лінійне програмування – це сукупність математичних методів розв'язку екстремальних задач (пошуку оптимальних рішень), в якій всі залежності описуються лінійно, тобто рівняннями першого ступеня.

Рішення, найбільш вигідне для всієї організації, називається оптимальним, а вигідне одному або декілька підрозділам – субоптималь­ним. Наприклад, виробничий відділ зацікавлений у збільшенні (максимізації) виробітку однорідної продукції великими партіями, що призводить до мінімізації витрат; а відділу збуту потрібний великий асортимент виробів; фінансовому відділу при цьому необхідна мінімізація оборотних коштів.

Особливості методу лінійного програмування:

• системний підхід (окрема задача розглядається в загальній системі керування);

• більш складні задачі розв'язуються з урахуванням рішень, отриманих для більш простих задач;

• наближення до оптимального рішення;

• комплексний підхід, дослідження всієї множини факторів, що впливають на розв'язок поставленої задачі.

Основні етапи розв'язку задач лінійного програмування:

• постановка задачі (вербальний опис проблеми);

• побудова математичної моделі (формалізація задачі);

• пошук рішення за допомогою математичних методів;

• перевірка адекватності (порівняння прогнозованої поведінки системи з фактичними даними) та коригування побудованої моделі;

• реалізація отриманого рішення на практиці.

Класи задач лінійного програмування:

• управління запасами - при збільшенні запасів збільшуються витрати на збері­гання, але при цьому зменшуються збитки при їх можливій нестачі;

• розподіл ресурсів – проблема виникає в тому випадку, коли не вистачає певного виду ресурсу;

• ремонт та заміна обладнання – оскільки обладнання підлягає як моральному, так і фізичному зносу, то застаріле обладнання має модернізуватись або замінюватись на нове. Задача ЛП полягає у визначенні найкращих строків ремонту та зміни обладнання;

• масове обслуговування - дослідження та аналіз систем обслуговування з чергами заявок та вимог (телефонні станції, білетні каси, майстерні, перукарні). Задачею економетриста в цьому випадку є мінімізація сумарних очікуваних збитків від несвоєчасного обслуговування заявок та простоїв обладнання;

• мережеве планування - при виконанні складних та дорогих проектів необхідно узгоджувати строки завершення окремих комплексів робіт та моменту запуску операцій всього комплексу;

• вибір маршруту – при дослідженні різнобічних процесів на транспорті та в системах зв’язку.

8.2 Загальна постановка транспортної задачі (т-задача, тз)

Перша строга постановка Т-задачі належить Хічкоку, тому у західній літературі її називають проблемою Хічкока. Перший точний метод розв’язку Т-задачі було розроблено радянськими вченими Канторовичем і Гавуріним.

Загальна постановка транспортної задачі полягає у визначенні оптимального плану перевезення деякого однорідного вантажу з m пунктів відправлення А₁, А₂, ..., A_m до n пунктів споживання В₁, В₂, ..., В_n.

При цьому як критерій оптимальності обирають мінімальний час поста­чання абомінімальну вартість перевезення всього вантажу.

Розглянемо Т-задачу, в якої за критерій оптимальності оберемо мінімальну вартість перевезення вантажу. Позначимо через:

C_ij - тариф (вартість) перевезення одиниці вантажу з i-го пункту відправ­лення до j-того пункту споживання;

а_i – запаси вантажу в і-тому пункті відправлення (базі);

b_j- це потреба у вантажі в j-тому пункті споживання;

х_ij - це кількість одиниць вантажу, що перевозять з і-того пункту відправлення до j-го пункту споживання.

Тоді математична постановка задачі матиме такий вигляд:

(8.1)

Обмеженнями до даної цільової функції будуть:

1) (8.2)

2) (8.3)

Перше обмеження означає, що має бути повне задоволення попиту в усіх пунктах споживання.

Друге обмеження означає, що має бути повний вивіз продуктів з усіх пунктів вироблення (баз).

Оскільки змінні х_ij задовольняють системі обмежень лінійних рівнянь (8.2) та (8.3) і умовам невід'ємності, то забезпечується постачання необхідної кількості вантажу в кожен з пунктів призначення, при цьому повернення товару забороняється.

Будь-яке рішення системи лінійних рівнянь визначається матрицею X=(х_ij), яку називають опорним планом транспортної задачі.

План X^*=(х^*_іj), при якому функція F (8.1) приймає мінімальне значення називається оптимальний планом перевезень.

Вихідні дані транспортної задачі записуються у вигляді таблиці:

Типи Т-задач. Якщо загальна потреба у вантажі в пунктах призначення дорівнює запасу вантажу в пунктах відправлення:

, (8.4)

то це модель транспортної задачі закритого типу. Така умова є необхідною та достатньою для розв'язання транспортної задачі.

Якщо , то це - модель Т-задачівідкритого типу.

Для її вирішення необхідно перетворити її на транспортну модель закритого типу шляхом введення фіктивного (n+1)-го пункту призначення з потребою у вантажі та нульовими тарифами у(n+1)-му стовпці .

Якщо , то вводимо фіктивний(m+1) пункт відправлення (базу) з наявним вантажем та нульовими тарифами у(m+1)-му рядку.

Число змінних x_ij в Т-задачі зm пунктами відправлення таn пунктами споживання дорівнюєmn, а кількість рівнянь в системі будеm+n. Кількість лінійних незалежних рівнянь будеm+n-1, таким чином, опорний план Т-задачі може мати не більше, ніжm+n-1 невідомих змінних, що не є 0.

Існує два методи для визначення опорного плану транспортної задачі:

• метод "північно-західного кута";

• метод мінімального тарифу.

Метод "північно-західного кута".

Заповнення таблиці з опорним планом починається з верхнього лівого кута, далі рухаємося по рядку праворуч. В клітинку (1,1) заносимо найменше з чисел a₁ і b₁, тобто Х₁₁ = min {a₁; b₁}. Якщо а₁>b₁, то Х₁₁= b₁ і перший стовпчик є закритим. Далі розглядаємо клітинку (1,2): Х₁₂ = min {а₁–b₁; b₂}

Якщо b₂ > а₁, то перший рядок закрито. Тепер переходимо на другий рядок: X₂₁ = min {a₂; b₁ – X₁₁} і т.д.

Всі ці дії виконуються доки не вичерпаються ресурси в базах a_i і не буде задоволено потреби в них у b_j.

Метод мінімального тарифу. Цей метод відрізняється від попереднього методу лише тим, що на кожному кроці, включаючи перший, обирається клітинка з найменшим тарифом.

Для перевірки отриманого опорного плану на оптимальність викори­стовують метод потенціалів. Для цього кожному постачальнику вантажу a_i ставимо у відповідність потенціал V_j (останній рядок в таблиці), а кожному пункту призначення - U_i в додатковому стовпці.

Спочатку припустимо, що U₁=1. Враховуючи це, проставляємо всі інші потенціали лише в клітинки з наявними X_ij за формулою U_i + V_j = С_ij.

Перевіримо наш план перевезення вантажу на оптимальність. Для цього розрахуємо додаткові тарифи (у клітинках з відсутніми X_ij ) С’_ij = U_i + V_j і перевіримо умову:

С’_ij  С_ij (8.5)

Ця умова є умовою оптимальності транспортної задачі.

Якщо С’_ij>С_ij, то план не є оптимальним, і необхідно здійснити цикл перерахунку.

Цикл перерахунку має вигляд прямокутника або багатокутника з прямими кутами, одна верхівка якого знаходиться у вільній клітинці – критичній точці, а інші - у зайнятих клітинках. В одному рядку або в одному стовпчику не повинно бути більше, ніж 2 вершини циклу. У критичній клітинці, з якої починається цикл, одразу ставимо "+", а далі рухаємося за годинниковим покажчиком і змінюємо по черзі знаки. Серед клітинок циклу, де стоїть “-” обирають клітинку з мінімальним значенням . Далі в циклі кожну клітинку з позначкою “-” розвантажують на , а до кожної клітинки з “+” довантажують вміст клітинки на  . Після цього отриманий план знов перевіряється на оптимальність методом потенціалів, і при необхідності здійснюється наступний цикл перерахунку. Ця процедура закінчується тоді, коли опорний план стане оптимальним, тобто в кожній незаповненій клітинці буде справедливою умова (8.5).